Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 25
L'association de résistances en série et en dérivation
Je sais calculer la résistance équivalente d'une association de résistances en série, en dérivation ou mixte, et l'utiliser pour trouver les tensions et intensités, notamment dans une installation domestique.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Rappeler les lois des tensions et des intensités en série et en dérivation
- Établir et utiliser la résistance équivalente en série et en dérivation
- Calculer tensions et intensités dans un circuit mixte
- Expliquer pourquoi les appareils d'une maison sont branchés en dérivation
Avant de commencer : Les dipôles résistifs et la loi d'Ohm U = R × I ; les montages en série et en dérivation ; la loi d'additivité des tensions et la loi des nœuds.
1Je découvre
Dans la maison familiale de Kindia, Kadiatou remarque une chose étrange. Quand sa mère branche le fer à repasser pendant que les lampes et la télévision sont allumées, rien ne change pour les autres appareils : les lampes brillent toujours autant. Mais un jour où tout le monde a branché son appareil en même temps, le disjoncteur a « sauté » et toute la maison s'est retrouvée dans le noir.
Son voisin Mamadou, électricien, lui explique : « Dans une maison, tous les appareils sont branchés en dérivation. Chacun reçoit la même tension, mais le compteur, lui, doit fournir la somme de tous les courants. »
Kadiatou se souvient aussi des guirlandes de fête, où une seule ampoule grillée éteint toute la guirlande. Là, les ampoules sont branchées en série.
Comment se comportent plusieurs résistances branchées ensemble, en série ou en dérivation, et peut-on les remplacer par une seule résistance « équivalente » ?
2Je comprends
1. Rappel des lois du circuit
| Montage en série | Montage en dérivation |
|---|---|
| Une seule boucle : les dipôles sont les uns à la suite des autres | Plusieurs branches reliées aux deux mêmes nœuds |
| Même intensité partout : I = I1 = I2 | Même tension aux bornes de chaque branche : U = U1 = U2 |
| Les tensions s'additionnent : U = U1 + U2 | Les intensités s'additionnent (loi des nœuds) : I = I1 + I2 |
2. La résistance équivalente
La résistance équivalente Req d'une association est la résistance unique qui, soumise à la même tension, serait traversée par le même courant total. On peut remplacer toute l'association par Req sans que le générateur « voie » la différence.
3. Résistances en série
Deux résistors R1 et R2 en série sont traversés par la même intensité I. D'après la loi d'Ohm et l'additivité des tensions :
U = U1 + U2 = R1 I + R2 I = (R1 + R2) × I.
En série, les résistances s'additionnent : Req = R1 + R2 + R3 + …
La résistance équivalente est plus grande que chacune des résistances.
Exemple
On branche en série R1 = 100 Ω et R2 = 220 Ω aux bornes d'un générateur de 6,4 V. Calcule la résistance équivalente, l'intensité et la tension aux bornes de chaque résistor.
Req = 100 + 220 = 320 Ω.
I = U / Req = 6,4 / 320 = 0,02 A = 20 mA.
U1 = R1 × I = 100 × 0,02 = 2 V ; U2 = R2 × I = 220 × 0,02 = 4,4 V.
Vérification : U1 + U2 = 2 + 4,4 = 6,4 V. C'est bien la tension du générateur.
4. Résistances en dérivation
Deux résistors R1 et R2 en dérivation ont la même tension U à leurs bornes. D'après la loi d'Ohm et la loi des nœuds :
I = I1 + I2 = UR1 + UR2 = U × (1R1 + 1R2).
En dérivation, ce sont les inverses qui s'additionnent : 1Req = 1R1 + 1R2 + …
Cas particuliers très utiles :
- pour deux résistances : Req = R1 × R2R1 + R2 (le produit sur la somme) ;
- pour n résistances identiques de valeur R : Req = Rn.
La résistance équivalente est plus petite que la plus petite des résistances : chaque branche ajoutée offre un chemin de plus au courant.
- Même intensité dans tous les résistors
- Les tensions s'additionnent
- Req = R1 + R2
- Req plus grande que chaque résistance
- Un élément coupé : tout s'arrête
- Même tension aux bornes de tous les résistors
- Les intensités s'additionnent
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2
- Req plus petite que chaque résistance
- Un élément coupé : les autres fonctionnent
Exemple
On branche en dérivation R1 = 100 Ω et R2 = 400 Ω aux bornes d'un générateur de 8 V. Calcule Req, puis les intensités.
Req = (100 × 400) / (100 + 400) = 40 000 / 500 = 80 Ω.
I1 = U / R1 = 8 / 100 = 0,08 A ; I2 = U / R2 = 8 / 400 = 0,02 A.
I = I1 + I2 = 0,08 + 0,02 = 0,10 A.
Vérification : U / Req = 8 / 80 = 0,10 A. Les deux calculs concordent.
5. Les montages mixtes
Un montage mixte mélange série et dérivation. On le simplifie étape par étape, en remplaçant d'abord chaque groupe simple par sa résistance équivalente.
Méthode
Pour étudier un circuit mixte :
- Je repère les résistors en dérivation (entre les deux mêmes nœuds) et je calcule leur résistance équivalente.
- Je redessine le circuit simplifié, puis j'additionne les résistances qui sont maintenant en série.
- Je calcule l'intensité totale : I = U / Req.
- Je « remonte » : je calcule la tension aux bornes de chaque groupe avec U = R × I.
- Je calcule les intensités dans chaque branche de dérivation avec I = U / R, et je vérifie la loi des nœuds.
Exemple
R1 = 60 Ω est en série avec l'ensemble formé de R2 = 30 Ω et R3 = 60 Ω en dérivation. Le générateur délivre 12 V. Calcule Req, l'intensité totale, les tensions et les intensités dans R2 et R3.
R2 et R3 en dérivation : R23 = (30 × 60) / (30 + 60) = 1 800 / 90 = 20 Ω.
R1 et R23 en série : Req = 60 + 20 = 80 Ω.
I = 12 / 80 = 0,15 A.
U1 = 60 × 0,15 = 9 V ; U23 = 20 × 0,15 = 3 V (et 9 + 3 = 12 V).
I2 = 3 / 30 = 0,10 A ; I3 = 3 / 60 = 0,05 A ; I2 + I3 = 0,15 A = I.
6. L'installation électrique domestique
Dans une maison, le réseau fournit une tension alternative d'environ 220 V. Tous les appareils (lampes, ventilateur, télévision, réfrigérateur, fer à repasser) sont branchés en dérivation entre la phase et le neutre. Ainsi :
- chaque appareil reçoit la même tension de 220 V, celle pour laquelle il a été fabriqué ;
- les appareils sont indépendants : on peut en allumer ou en éteindre un sans toucher aux autres, et si une lampe grille, les autres continuent de fonctionner ;
- l'intensité totale fournie par le compteur est la somme des intensités de tous les appareils en marche. Plus on branche d'appareils, plus la résistance équivalente de l'installation diminue et plus l'intensité totale augmente.
C'est pourquoi un fusible ou un disjoncteur protège chaque circuit : si l'intensité dépasse la valeur prévue, il coupe le courant, pour éviter que les fils ne chauffent et ne provoquent un incendie. C'est ce qui s'est passé chez Kadiatou.
Les ampoules d'une guirlande, elles, sont en série : elles se partagent la tension, et une seule ampoule grillée ouvre la boucle unique et éteint tout.
Exemple
Chez Kadiatou, trois lampes identiques de résistance 484 Ω sont allumées sous 220 V. Calcule l'intensité dans chaque lampe, l'intensité totale et la résistance équivalente. Sa mère branche en plus un fer à repasser de résistance 48,4 Ω : que devient l'intensité totale ?
Chaque lampe : I = 220 / 484 ≈ 0,45 A.
Trois lampes : I = 3 × 220 / 484 ≈ 1,36 A.
Req = 484 / 3 ≈ 161,3 Ω (vérification : 220 / 161,3 ≈ 1,36 A).
Fer : I = 220 / 48,4 ≈ 4,55 A.
Nouvelle intensité totale : 1,36 + 4,55 ≈ 5,91 A. Le fer à lui seul consomme plus de trois fois l'intensité des trois lampes réunies.
3Je retiens
Je retiens
Série : même intensité ; les tensions s'additionnent ; Req = R1 + R2 + … (Req plus grande que chaque R).
Dérivation : même tension ; les intensités s'additionnent ; 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + … (Req plus petite que chaque R).
Deux résistances en dérivation : Req = R1 × R2 / (R1 + R2). n résistances identiques R en dérivation : Req = R/n.
Montage mixte : on simplifie groupe par groupe, puis on revient en arrière avec U = R × I.
À la maison, les appareils sont en dérivation sous 220 V : même tension, fonctionnement indépendant, intensités qui s'additionnent (d'où le fusible ou le disjoncteur).
4Erreurs fréquentes
- Additionner les résistances en dérivation : 100 Ω et 400 Ω en dérivation donnent 80 Ω, pas 500 Ω.
- Oublier de prendre l'inverse à la fin : si 1/Req = 1/20 + 1/30 = 5/60, alors Req = 60/5 = 12 Ω, et non 5/60 Ω.
- Croire qu'en série la tension est la même partout : c'est l'intensité qui est la même ; les tensions se partagent.
- Penser que brancher plus d'appareils en dérivation diminue le courant : au contraire, la résistance équivalente baisse et l'intensité totale augmente.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule la résistance équivalente.
a) 47 Ω, 33 Ω et 20 Ω en série.
b) 60 Ω et 30 Ω en dérivation.
c) Trois résistors de 90 Ω en dérivation.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Req = 47 + 33 + 20 = 100 Ω.
b) Req = 60 × 3060 + 30 = 1 80090 = 20 Ω.
c) Req = 903 = 30 Ω.
2Exercice 2
Deux résistors R1 = 20 Ω et R2 = 30 Ω sont branchés en série aux bornes d'un générateur de 10 V.
a) Calcule la résistance équivalente.
b) Calcule l'intensité du courant.
c) Calcule la tension aux bornes de chaque résistor et vérifie la loi d'additivité des tensions.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Req = 20 + 30 = 50 Ω.
b) I = 1050 = 0,2 A.
c) U1 = 20 × 0,2 = 4 V ; U2 = 30 × 0,2 = 6 V. U1 + U2 = 4 + 6 = 10 V : c'est bien la tension du générateur.
3Exercice 3
Les mêmes résistors (20 Ω et 30 Ω) sont maintenant branchés en dérivation aux bornes d'un générateur de 12 V.
a) Calcule la résistance équivalente.
b) Calcule l'intensité dans chaque résistor, puis l'intensité totale.
c) Vérifie ton résultat avec la résistance équivalente.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Req = 20 × 3020 + 30 = 60050 = 12 Ω.
b) I1 = 1220 = 0,6 A ; I2 = 1230 = 0,4 A ; I = 0,6 + 0,4 = 1 A.
c) UReq = 1212 = 1 A. On retrouve l'intensité totale.
4Exercice 4
(Type BEPC) Dans une maison de Faranah alimentée sous 220 V, on allume en même temps quatre lampes de résistance 484 Ω chacune et un fer à repasser de résistance 55 Ω. Le circuit est protégé par un fusible.
a) Comment ces appareils sont-ils branchés ? Donne deux avantages de ce montage.
b) Calcule l'intensité dans une lampe, puis dans le fer à repasser.
c) Calcule l'intensité totale dans le circuit.
d) Calcule la résistance équivalente de l'installation.
e) Le fusible supporte au maximum 5 A. Que se passe-t-il ? Quel calibre proposes-tu parmi 5 A, 10 A et 32 A ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Ils sont branchés en dérivation. Avantages : chaque appareil reçoit la tension de 220 V pour laquelle il est fabriqué ; les appareils fonctionnent indépendamment (si une lampe grille, les autres restent allumées).
b) Lampe : IL = 220484 ≈ 0,45 A. Fer : IF = 22055 = 4 A.
c) I = 4 × 220484 + 4 ≈ 1,82 + 4 = 5,82 A.
d) Req = UI = 2205,82 ≈ 37,8 Ω.
e) 5,82 A dépasse 5 A : le fusible fond et coupe le courant. On choisit 10 A : il laisse passer 5,82 A tout en protégeant l'installation. Un fusible de 32 A ne protégerait pas des fils prévus pour de petites intensités.
5Exercice 5
Un résistor R1 = 10 Ω est branché en série avec un ensemble de deux résistors R2 = R3 = 20 Ω montés en dérivation. L'ensemble est alimenté sous 6 V.
a) Calcule la résistance équivalente du circuit.
b) Calcule l'intensité débitée par le générateur.
c) Calcule la tension aux bornes de R1, puis aux bornes de l'ensemble R2–R3.
d) Calcule l'intensité dans R2 et dans R3.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) R23 = 202 = 10 Ω ; Req = 10 + 10 = 20 Ω.
b) I = 620 = 0,3 A.
c) U1 = 10 × 0,3 = 3 V ; U23 = 10 × 0,3 = 3 V (et 3 + 3 = 6 V).
d) I2 = I3 = 320 = 0,15 A ; I2 + I3 = 0,3 A = I.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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