Nombres rationnels

1. Définition et écritures d'un rationnel

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire ab avec a ∈ ℤ et b ∈ ℕ^*. L'ensemble des rationnels se note ℚ.

Un même rationnel a une infinité d'écritures fractionnaires : 34 = 68 = -15-20 = 75100.

Égalité de deux fractions. Pour b ≠ 0 et d ≠ 0 :

ab = cd ⇔ a × d = b × c.

On appelle cela l'égalité des produits en croix.

Exemple : 1435 et 615 sont-elles égales ? 14 × 15 = 210 et 35 × 6 = 210. Oui.

2. La forme irréductible

Une fraction ab est irréductible lorsque a et b n'ont pas d'autre diviseur commun positif que 1 : on dit que a et b sont premiers entre eux.

Tout rationnel possède une seule écriture irréductible avec un dénominateur positif. Pour l'obtenir, on divise a et b par leur PGCD.

3. Le développement décimal d'un rationnel

Pour écrire ab sous forme décimale, on pose la division de a par b. À chaque étape, le reste est un entier compris entre 0 et b - 1. Deux cas seulement sont possibles :

• un reste devient nul : la division s'arrête, le développement est fini (le nombre est décimal) ;
• aucun reste n'est nul : comme il n'y a que b - 1 restes possibles non nuls, un reste finit forcément par revenir, et à partir de là, les mêmes chiffres se répètent : le développement est illimité périodique.

Le groupe de chiffres qui se répète s'appelle la période. On la souligne ou on la surmonte d'une barre. Ici, on écrit par exemple 0,27 pour 0,272727…

Propriété fondamentale.

• Tout rationnel a un développement décimal fini ou illimité périodique.
• Réciproquement, tout nombre dont le développement décimal est fini ou illimité périodique est un rationnel.

Conséquence : un nombre dont le développement décimal est illimité et non périodique n'est pas rationnel. C'est le cas de √2 = 1,41421356… et de π = 3,14159265… : ce sont des irrationnels.

4. Du développement périodique à la fraction

L'idée : multiplier le nombre par une puissance de 10 bien choisie pour décaler la période, puis soustraire pour faire disparaître la partie infinie.

Vérification : 3 ÷ 11 = 0,2727… En effet 30 = 11 × 2 + 8 et 80 = 11 × 7 + 3 : on retrouve le reste 3 de départ.

Un cas étonnant. Posons z = 0,999… Alors 10z = 9,999… et 10z - z = 9, donc 9z = 9 et z = 1. Le nombre 0,999… est exactement égal à 1 : ce sont deux écritures du même nombre.

5. Opérations et comparaison dans Q

La somme, la différence, le produit et le quotient (par un nombre non nul) de deux rationnels sont des rationnels : on dit que ℚ est stable par ces opérations. Par exemple 23 + 14 = 812 + 312 = 1112.

Pour comparer deux rationnels, on les réduit au même dénominateur positif, puis on compare les numérateurs. Pour comparer 58 et 712 : 58 = 1524 et 712 = 1424, donc 712 < 58.

Entre deux rationnels, il y a toujours un autre rationnel. Si r < s, leur moyenne r + s2 est un rationnel strictement compris entre eux. Entre 712 et 58, on trouve par exemple 12(1424 + 1524) = 2948. En recommençant, on en trouve autant qu'on veut.

6. Retour à la question du professeur

Le nombre 0,272727… a un développement périodique, donc il est rationnel : c'est 311. Et les 507 kg de riz d'Ibrahima font 7,142857 kg : un développement périodique, comme prévu pour un rationnel.