Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 22
Calcul dans R : les fractions
Je sais calculer sans erreur avec des fractions numériques et littérales (somme, produit, quotient, fractions étagées) et donner le résultat sous forme irréductible.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Appliquer les règles de calcul sur les fractions dans R
- Respecter les priorités opératoires dans une expression fractionnaire
- Simplifier une fraction étagée
- Calculer avec des fractions contenant une lettre en précisant les valeurs interdites
Avant de commencer : Les leçons « Ensembles de nombres » et « Nombres rationnels » (forme irréductible, PGCD) et le calcul littéral du collège (développer, factoriser).
1Je découvre
Aïssatou et son père cultivent un champ de 4,5 hectares près de Kankan. Cette saison, ils ont semé :
- 13 du champ en riz ;
- 25 du champ en maïs ;
- le reste en arachide.
Le père demande : « Quelle surface reste-t-il pour l'arachide ? » Aïssatou écrit rapidement 1 - 13 - 25 = 1 - 1 - 23 + 5… et obtient un nombre négatif. Impossible !
Elle comprend qu'elle a mélangé les règles : on n'additionne pas les dénominateurs. Au lycée, les calculs deviennent plus longs (fractions de fractions, fractions avec des lettres, racines carrées), et la moindre erreur de règle fausse tout le résultat.
Quelles sont les règles exactes du calcul avec les fractions dans R, et comment organiser un calcul long pour ne pas se tromper ?
2Je comprends
1. Une fraction dans R
Pour tous réels a et b avec b ≠ 0, le quotient ab est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Au lycée, a et b peuvent être des réels quelconques : √23, π4 ou x + 1x - 2 sont des fractions.
Règle d'or : on ne divise jamais par zéro. Dès qu'une lettre apparaît au dénominateur, on précise les valeurs interdites.
2. Les règles de calcul
Pour tous réels a, b, c, d avec les dénominateurs non nuls :
| Opération | Règle |
|---|---|
| Simplification | a × kb × k = ab (k ≠ 0) |
| Même dénominateur | ab + cb = a + cb |
| Dénominateurs différents | ab + cd = ad + bcbd |
| Produit | ab × cd = acbd |
| Inverse | l'inverse de ab (a ≠ 0) est ba |
| Quotient | ab ÷ cd = ab × dc (c ≠ 0) |
| Signe | -ab = a-b = -ab |
| Égalité | ab = cd ⇔ ad = bc |
Pour additionner, on utilise de préférence le plus petit dénominateur commun (le PPCM des dénominateurs) : les nombres restent petits.
Exemple
Exemple 1. Calculer A = 2/3 − 5/6 + 3/4.
Le plus petit dénominateur commun de 3, 6 et 4 est 12.
A = 8/12 − 10/12 + 9/12 = (8 − 10 + 9)/12 = 7/12.
7 et 12 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 : A = 7/12 est irréductible.
Exemple
Exemple 2. Calculer C = (7/3) × (9/14), en simplifiant avant de multiplier.
C = (7 × 9)/(3 × 14). On décompose : 9 = 3 × 3 et 14 = 7 × 2.
C = (7 × 3 × 3)/(3 × 7 × 2) = 3/2.
Simplifier avant de multiplier évite de calculer 63/42 puis de le réduire.
3. Les priorités opératoires
Dans une expression, on effectue dans l'ordre :
- les calculs entre parenthèses (et sous un grand trait de fraction, qui joue le rôle de parenthèses) ;
- les puissances ;
- les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
- les additions et soustractions, de gauche à droite.
Ainsi 12 + 12 × 43 = 12 + 23 = 36 + 46 = 76, et non 1 × 43.
4. Les fractions étagées
Une fraction étagée est une fraction dont le numérateur ou le dénominateur contient lui-même des fractions. On calcule séparément le numérateur et le dénominateur, puis on divise (c'est-à-dire on multiplie par l'inverse).
Méthode
Pour calculer une expression fractionnaire longue :
- Je repère la structure : grand trait de fraction, parenthèses, priorités.
- Je calcule séparément le numérateur et le dénominateur (chacun réduit en une seule fraction).
- Je remplace « diviser par une fraction » par « multiplier par son inverse ».
- Je décompose en facteurs et je simplifie avant de multiplier.
- Je donne le résultat sous forme irréductible, en vérifiant le signe.
Exemple
Exemple 3. Calculer B = (3/5 − 1/2) ÷ (1 + 1/4).
Numérateur : 3/5 − 1/2 = 6/10 − 5/10 = 1/10.
Dénominateur : 1 + 1/4 = 4/4 + 1/4 = 5/4.
B = (1/10) ÷ (5/4) = (1/10) × (4/5) = 4/50 = 2/25.
Exemple
Exemple 4. Calculer D = (1 − 1/3) / (1 + 1/3) − 1/(2 − 1/2).
Première fraction : 1 − 1/3 = 2/3 et 1 + 1/3 = 4/3, donc (2/3) ÷ (4/3) = (2/3) × (3/4) = 2/4 = 1/2.
Deuxième fraction : 2 − 1/2 = 3/2, donc 1 ÷ (3/2) = 2/3.
D = 1/2 − 2/3 = 3/6 − 4/6 = −1/6.
5. Fractions avec des lettres (fractions rationnelles)
On applique exactement les mêmes règles. Le dénominateur commun est souvent le produit des dénominateurs, sauf s'ils ont un facteur commun.
Exemple
Exemple 5. Écrire E = 1/x + 1/(x + 1) en une seule fraction.
Valeurs interdites : x = 0 et x = −1 (qui annulent un dénominateur).
Dénominateur commun : x(x + 1).
E = (x + 1)/[x(x + 1)] + x/[x(x + 1)] = (x + 1 + x)/[x(x + 1)] = (2x + 1)/[x(x + 1)].
Contrôle avec x = 1 : 1/1 + 1/2 = 3/2, et (2 × 1 + 1)/(1 × 2) = 3/2. C'est cohérent.
Exemple
Exemple 6. Simplifier F = (x² − 9)/(2x + 6).
Valeur interdite : 2x + 6 = 0, soit x = −3.
On factorise : x² − 9 = (x − 3)(x + 3) et 2x + 6 = 2(x + 3).
Pour x ≠ −3 : F = (x − 3)(x + 3)/[2(x + 3)] = (x − 3)/2.
On ne simplifie que des FACTEURS, jamais des termes d'une somme.
6. Retour au champ d'Aïssatou
Fraction réservée à l'arachide : 1 - 13 - 25 = 1515 - 515 - 615 = 415.
Surface : 415 × 4,5 = 4 × 4,515 = 1815 = 1,2 ha.
Vérification : le riz occupe 13 × 4,5 = 1,5 ha et le maïs 25 × 4,5 = 1,8 ha ; 1,5 + 1,8 + 1,2 = 4,5 ha. Le compte est juste.
3Je retiens
Je retiens
On ne divise jamais par 0 : avec une lettre au dénominateur, on donne les valeurs interdites.
a/b + c/d = (ad + bc)/(bd) ; on préfère le plus petit dénominateur commun.
a/b × c/d = (ac)/(bd) ; diviser par c/d, c'est multiplier par d/c.
Priorités : parenthèses (et grands traits de fraction), puissances, × et ÷, puis + et −.
Fraction étagée : calculer séparément le haut et le bas, puis multiplier par l'inverse du bas.
On ne simplifie que des facteurs communs, jamais des termes d'une somme.
Toujours donner le résultat sous forme irréductible.
4Erreurs fréquentes
- Additionner les dénominateurs : 1/3 + 1/5 n'est pas 2/8. On réduit au même dénominateur : 5/15 + 3/15 = 8/15.
- Simplifier des termes : (x + 3)/3 n'est pas égal à x. On ne peut barrer que des facteurs : (3x)/3 = x.
- Oublier l'inverse dans une division : (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 10/12 = 5/6, pas 8/15.
- Perdre un signe « − » devant une fraction : 1 − (x − 2)/3 = (3 − x + 2)/3 = (5 − x)/3 ; le signe « − » porte sur tout le numérateur.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.
a) 56 + 79 b) 34 - 56 × 910 c) 1235 ÷ 821
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Plus petit dénominateur commun : 18. 56 + 79 = 1518 + 1418 = 2918.
b) Priorité à la multiplication : 56 × 910 = 5 × 96 × 10 = 5 × 3 × 32 × 3 × 2 × 5 = 34. Donc 34 - 34 = 0.
c) 1235 × 218 = 12 × 2135 × 8 = (4 × 3) × (3 × 7)(5 × 7) × (4 × 2) = 910.
2Exercice 2
Calcule G = 12 + 1312 - 13 et H = 2 - 11 + 12.
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G : numérateur 36 + 26 = 56 ; dénominateur 36 - 26 = 16. G = 56 × 61 = 5.
H : 1 + 12 = 32, donc 132 = 23. H = 2 - 23 = 63 - 23 = 43.
3Exercice 3
Écris en une seule fraction, en précisant les valeurs interdites.
a) 2x - 3x - 1 b) x + 13 - x - 26
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a) Valeurs interdites : x = 0 et x = 1. 2x - 3x - 1 = 2(x - 1) - 3xx(x - 1) = 2x - 2 - 3xx(x - 1) = -x - 2x(x - 1).
b) Pas de valeur interdite (dénominateurs numériques). Dénominateur commun 6 : 2(x + 1)6 - x - 26 = 2x + 2 - x + 26 = x + 46.
4Exercice 4
Simplifie K = x2 - 4x + 4x2 - 4 après avoir donné les valeurs interdites.
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Valeurs interdites : x2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0, soit x = 2 ou x = -2.
x2 - 4x + 4 = (x - 2)2. Pour x ≠ 2 et x ≠ -2 : K = (x - 2)(x - 2)(x - 2)(x + 2) = x - 2x + 2.
5Exercice 5
(Type examen) Kadiatou dépense 25 de son salaire pour la nourriture, puis 14 de ce qui lui reste pour le transport. Il lui reste alors 540 000 GNF.
a) Quelle fraction du salaire dépense-t-elle pour le transport ?
b) Quelle fraction du salaire lui reste-t-il ?
c) Calcule son salaire.
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a) Après la nourriture, il lui reste 1 - 25 = 35 du salaire. Le transport représente 14 de ce reste : 14 × 35 = 320 du salaire.
b) Dépenses : 25 + 320 = 820 + 320 = 1120. Il reste 1 - 1120 = 920 du salaire.
c) Soit S le salaire : 920 S = 540 000, donc S = 540 000 × 209 = 60 000 × 20 = 1 200 000 GNF.
Vérification : nourriture 25 × 1 200 000 = 480 000 ; reste 720 000 ; transport 14 × 720 000 = 180 000 ; reste 720 000 - 180 000 = 540 000 GNF. C'est juste.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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