Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 22
Calcul dans R : les racines carrées
Je sais simplifier des expressions contenant des racines carrées, rendre un dénominateur rationnel et résoudre une équation du type x² = a.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître la définition et les propriétés de la racine carrée
- Écrire une racine sous la forme a√b avec b entier le plus petit possible
- Réduire des sommes de racines et développer des produits avec les identités remarquables
- Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction avec l'expression conjuguée
Avant de commencer : Les leçons « Les nombres irrationnels », « Calcul dans R : les fractions » et « Calcul dans R : les puissances », ainsi que les identités remarquables.
1Je découvre
La famille de Hawa, à Nzérékoré, possède une parcelle carrée de 72 m². Son oncle veut l'entourer d'une clôture en bambou et demande : « Combien mesure un côté ? »
Hawa sait que l'aire d'un carré de côté c vaut c2. Elle cherche donc le nombre positif c tel que c2 = 72 : c'est c = √72.
Sa calculatrice affiche 8,485281374. Son professeur, lui, écrit au tableau √72 = 6√2 et ajoute : « Cette écriture est exacte, et elle permet de calculer plus vite : le périmètre vaut 4 × 6√2 = 24√2 mètres. »
Hawa se demande d'où vient ce 6√2, et si l'on peut calculer avec des racines comme avec des nombres ordinaires : additionner, multiplier, diviser.
Quelles sont les règles de calcul avec les racines carrées, et comment simplifier une expression qui en contient ?
2Je comprends
1. Définition
Soit a un réel positif ou nul. La racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif ou nul dont le carré est égal à a.
Pour a ≥ 0 : √a ≥ 0 et (√a)2 = a.
Exemples : √49 = 7 ; √0 = 0 ; √0,09 = 0,3 ; √254 = 52.
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ : √-4 n'a pas de sens, car aucun carré n'est négatif.
Racine d'un carré. Pour tout réel a :
- si a ≥ 0, √a2 = a ;
- si a ≤ 0, √a2 = -a.
Par exemple √(-5)2 = √25 = 5 = -(-5). Tu verras dans la leçon sur la valeur absolue que l'on écrit √a2 = |a|.
2. L'équation x² = a
- Si a > 0 : l'équation x2 = a a deux solutions, -√a et √a.
- Si a = 0 : une seule solution, 0.
- Si a < 0 : aucune solution réelle.
Ainsi x2 = 7 a pour solutions -√7 et √7. Pour la parcelle de Hawa, seule la solution positive a un sens : c = √72.
3. Les propriétés
Pour tous réels a ≥ 0 et b ≥ 0 :
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit | √a × b = √a × √b | √4 × 7 = 2√7 |
| Quotient (b > 0) | √ab = √a√b | √316 = √34 |
| Carré | (√a)2 = a | (√11)2 = 11 |
Attention : il n'existe pas de règle pour la somme. En général √a + b ≠ √a + √b.
On peut démontrer que, pour a > 0 et b > 0, on a toujours √a + b < √a + √b : les deux membres sont positifs et (√a + √b)2 = a + b + 2√ab > a + b.
4. Simplifier une racine : la forme a√b
On cherche dans le nombre sous la racine le plus grand carré parfait qui le divise (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…).
Méthode
Pour écrire √n sous la forme a√b (b entier le plus petit possible) :
- Je décompose n en produit d'un carré parfait (le plus grand possible) et d'un autre entier : n = k² × b.
- J'applique la propriété du produit : √n = √(k²) × √b = k√b.
- Je vérifie que b ne contient plus aucun carré parfait (autre que 1).
Exemple
Simplifier √72, √50 et √180.
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2. (Avec 72 = 4 × 18, on obtiendrait 2√18 : ce n'est pas fini, car 18 = 9 × 2.)
√50 = √(25 × 2) = 5√2.
√180 = √(36 × 5) = 6√5.
5. Sommes de racines
On ne peut additionner que des racines semblables (même nombre sous le radical), comme on additionne des termes semblables en calcul littéral : 3√2 + 5√2 = 8√2, comme 3x + 5x = 8x. Il faut donc d'abord simplifier chaque racine.
Exemple
Réduire A = √12 + √27 − √75.
√12 = √(4 × 3) = 2√3 ; √27 = √(9 × 3) = 3√3 ; √75 = √(25 × 3) = 5√3.
A = 2√3 + 3√3 − 5√3 = 0.
6. Produits et identités remarquables
On développe comme d'habitude, en utilisant (√a)2 = a et √a√b = √ab.
Exemple
Développer B = (2 + √3)² et C = (√5 − √2)(√5 + √2).
B = 2² + 2 × 2 × √3 + (√3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3.
C = (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3 (identité (a − b)(a + b) = a² − b²).
Remarque : C ne contient plus de racine. C'est le principe de l'expression conjuguée.
7. Rendre rationnel un dénominateur
Il est d'usage de ne pas laisser de racine au dénominateur.
- Dénominateur √b : on multiplie en haut et en bas par √b.
- Dénominateur a + √b ou a - √b : on multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée (a - √b ou a + √b), ce qui fait apparaître a2 - b.
Exemple
Écrire sans racine au dénominateur : D = 3/(2√3) et E = 2/(√5 − 1).
D = (3 × √3)/(2√3 × √3) = 3√3/(2 × 3) = √3/2.
E : le conjugué de √5 − 1 est √5 + 1.
E = 2(√5 + 1)/[(√5 − 1)(√5 + 1)] = 2(√5 + 1)/(5 − 1) = 2(√5 + 1)/4 = (√5 + 1)/2.
8. Comparer des racines
Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. Pour comparer 3√2 et 2√3 : (3√2)2 = 9 × 2 = 18 et (2√3)2 = 4 × 3 = 12. Comme 18 > 12, on a 3√2 > 2√3.
9. Retour à la parcelle de Hawa
Le côté mesure √72 = 6√2 m et le périmètre 24√2 m. Avec √2 ≈ 1,414, cela donne environ 33,9 m de clôture. La forme exacte permet de calculer sans erreur d'arrondi et de n'utiliser la valeur approchée qu'à la fin.
3Je retiens
Je retiens
Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré vaut a : (√a)² = a. √a n'existe pas si a < 0.
√(a²) = a si a ≥ 0 et √(a²) = −a si a ≤ 0.
x² = a : deux solutions ±√a si a > 0 ; une solution 0 si a = 0 ; aucune si a < 0.
√(ab) = √a × √b et √(a/b) = √a/√b (a ≥ 0, b > 0). Pas de règle pour la somme : √(a + b) ≠ √a + √b.
Simplifier : √(k² × b) = k√b, avec le plus grand carré parfait possible.
On n'additionne que des racines semblables : 3√2 + 5√2 = 8√2.
Conjuguée : (a − √b)(a + √b) = a² − b, pour rendre un dénominateur rationnel.
4Erreurs fréquentes
- Écrire √(9 + 16) = 3 + 4 : c'est faux, √(9 + 16) = √25 = 5.
- Additionner des racines non semblables : √2 + √3 n'est pas √5. On laisse √2 + √3 tel quel.
- Oublier de finir la simplification : √72 = 2√18 n'est pas terminé, car 18 = 9 × 2 ; il faut aller jusqu'à 6√2.
- Oublier le double produit : (2 + √3)² n'est pas 4 + 3 = 7 ; c'est 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris sous la forme a√b avec b entier le plus petit possible.
a) √48 b) √98 c) √200 d) 3√20
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) √48 = √16 × 3 = 4√3.
b) √98 = √49 × 2 = 7√2.
c) √200 = √100 × 2 = 10√2.
d) 3√20 = 3√4 × 5 = 3 × 2√5 = 6√5.
2Exercice 2
Réduis :
a) F = √75 - 2√12 + √27
b) G = 3√8 - √50 + √18
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) √75 = 5√3 ; 2√12 = 2 × 2√3 = 4√3 ; √27 = 3√3. F = 5√3 - 4√3 + 3√3 = 4√3.
b) 3√8 = 3 × 2√2 = 6√2 ; √50 = 5√2 ; √18 = 3√2. G = 6√2 - 5√2 + 3√2 = 4√2.
3Exercice 3
Développe et réduis :
a) (√3 - 1)2 b) (3 - √2)(3 + √2) c) (2√5 + 1)(√5 - 3)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (√3)2 - 2 × √3 × 1 + 12 = 3 - 2√3 + 1 = 4 - 2√3.
b) 32 - (√2)2 = 9 - 2 = 7.
c) 2√5 × √5 - 2√5 × 3 + 1 × √5 - 3 = 10 - 6√5 + √5 - 3 = 7 - 5√5.
4Exercice 4
Écris sans racine carrée au dénominateur :
a) 6√2 b) 1 + √2√2 - 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 6√2 = 6√22 = 3√2.
b) On multiplie par le conjugué √2 + 1 :
(1 + √2)(√2 + 1)(√2 - 1)(√2 + 1) = (1 + √2)22 - 1 = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2.
5Exercice 5
(Type examen) On pose a = 3 + √5 et b = 3 - √5.
a) Calcule a + b et a × b.
b) Déduis-en a2 + b2 en utilisant a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab, puis vérifie en calculant a2 et b2.
c) Calcule 1a + 1b.
d) Résous l'équation x2 = ab.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) a + b = 3 + √5 + 3 - √5 = 6. ab = (3 + √5)(3 - √5) = 9 - 5 = 4.
b) a2 + b2 = 62 - 2 × 4 = 36 - 8 = 28.
Vérification : a2 = 9 + 6√5 + 5 = 14 + 6√5 et b2 = 14 - 6√5, donc a2 + b2 = 28.
c) 1a + 1b = b + aab = 64 = 32.
d) x2 = 4 : comme 4 > 0, il y a deux solutions, x = -2 et x = 2. S = {-2 ; 2}.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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