Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 22
Inégalités dans R
Je sais comparer deux réels, utiliser correctement les règles des inégalités (addition, multiplication, carrés, inverses) et résoudre une inéquation du premier degré.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir l'ordre dans R à l'aide du signe de la différence
- Appliquer les règles opératoires sur les inégalités, en particulier le changement de sens
- Comparer deux réels par la différence, par les carrés ou par l'inverse
- Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue
Avant de commencer : Les leçons « Calcul dans R » (fractions, puissances, racines carrées) et la résolution des équations du premier degré.
1Je découvre
Ousmane et Mariama, deux élèves de 11e à Boké, comparent leurs dépenses de transport. Ousmane paie le taxi-moto x GNF par jour, Mariama paie y GNF par jour, et ils savent que x < y.
Le transporteur augmente tous les prix de 1 000 GNF. Ousmane dit : « Je paierai toujours moins que toi. » Mariama réfléchit : « Et si on compte sur 20 jours, tu paieras encore moins ? » Oui, bien sûr.
Mais leur professeur leur pose une question piège : « Vous savez que 2 < 5. Est-ce que -2 < -5 ? Est-ce que 12 < 15 ? » Les deux élèves hésitent. En fait, les deux réponses sont non : certaines opérations renversent le sens d'une inégalité.
Quelles opérations conservent le sens d'une inégalité, lesquelles le changent, et comment s'en servir pour comparer des nombres et résoudre des inéquations ?
2Je comprends
1. L'ordre dans R
Les réels sont rangés sur la droite graduée : plus un nombre est à droite, plus il est grand.
Définition. Pour tous réels a et b :
a ≤ b ⇔ b - a ≥ 0 et a < b ⇔ b - a > 0.
Comparer deux nombres revient donc à étudier le signe de leur différence. C'est la méthode la plus sûre.
Vocabulaire : a ≤ b se lit « a est inférieur ou égal à b » ; a < b se lit « a est strictement inférieur à b ». Deux réels quelconques sont toujours comparables : on a a < b, a = b ou a > b.
Transitivité. Si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c.
2. Les règles opératoires
Pour tous réels a, b, c, d :
| Opération | Règle | Sens |
|---|---|---|
| Ajouter un même nombre | a < b ⇔ a + c < b + c | conservé |
| Multiplier par c > 0 | a < b ⇔ ac < bc | conservé |
| Multiplier par c < 0 | a < b ⇔ ac > bc | changé |
| Additionner membre à membre | a < b et c < d ⇒ a + c < b + d | conservé |
| Multiplier membre à membre (tous positifs) | 0 ≤ a < b et 0 ≤ c < d ⇒ ac < bd | conservé |
Preuve de la règle du nombre négatif. Si a < b et c < 0 : ac - bc = c(a - b). Le facteur c est négatif et a - b est négatif, donc le produit est positif : ac - bc > 0, soit ac > bc.
On ne soustrait pas et on ne divise pas membre à membre des inégalités. Contre-exemple : 5 < 10 et 1 < 8, mais 5 - 1 = 4 n'est pas inférieur à 10 - 8 = 2.
3. Carrés, racines et inverses
Carrés. Pour des nombres positifs a et b : a < b ⇔ a2 < b2 (même sens).
Pour des nombres négatifs : a < b ⇔ a2 > b2 (sens changé). Exemple : -5 < -2 mais 25 > 4.
Racines carrées. Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 : a < b ⇔ √a < √b.
Inverses. Pour deux nombres de même signe (tous deux strictement positifs ou tous deux strictement négatifs) : a < b ⇔ 1a > 1b (sens changé).
Exemple : 2 < 5 et 12 > 15.
*Preuve pour 0 < a < b.* 1a - 1b = b - aab ; le numérateur est positif (a < b) et le dénominateur aussi : la différence est positive, donc 1a > 1b.
Comparaison avec 1. Pour a > 0 : si a > 1, alors a2 > a ; si 0 < a < 1, alors a2 < a. Par exemple 0,52 = 0,25 < 0,5.
4. Comparer deux réels : trois méthodes
Méthode
Pour comparer deux réels A et B :
- Méthode de la différence : je calcule A − B, je la factorise ou je la simplifie, et j'étudie son signe.
- Méthode des carrés : si A et B sont positifs, je compare A² et B² (même ordre).
- Méthode du quotient : si A et B sont strictement positifs, je compare A/B à 1.
- Je conclus par une phrase : « donc A < B » (ou A > B, ou A = B).
Exemple
Comparer √3 + √5 et √2 + √6.
Les deux nombres sont positifs : on compare leurs carrés.
(√3 + √5)² = 3 + 2√15 + 5 = 8 + 2√15.
(√2 + √6)² = 2 + 2√12 + 6 = 8 + 2√12.
Comme 15 > 12, on a √15 > √12, donc 8 + 2√15 > 8 + 2√12.
Donc √3 + √5 > √2 + √6.
Exemple
Montrer que pour tout réel a > 0, a + 1/a ≥ 2.
On étudie la différence : a + 1/a − 2 = (a² + 1 − 2a)/a = (a − 1)²/a.
Un carré est positif ou nul et a > 0, donc (a − 1)²/a ≥ 0.
Donc a + 1/a ≥ 2, avec égalité seulement si a = 1.
Exemple : a = 4 donne 4 + 0,25 = 4,25 ≥ 2.
Exemple
Montrer que pour tous réels a et b, a² + b² ≥ 2ab.
a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0, donc a² + b² ≥ 2ab.
5. Les inéquations du premier degré
Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue. Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui la vérifient. On procède comme pour une équation, en respectant les règles du paragraphe 2.
Exemple
Résoudre 3x − 5 < 7.
On ajoute 5 aux deux membres : 3x < 12.
On divise par 3 (positif, le sens est conservé) : x < 4.
Les solutions sont tous les réels strictement inférieurs à 4.
Contrôle : pour x = 0, 3 × 0 − 5 = −5 < 7 (juste) ; pour x = 4, 3 × 4 − 5 = 7, qui n'est pas strictement inférieur à 7.
Exemple
Résoudre −2x + 1 ≥ 5.
On retranche 1 : −2x ≥ 4.
On divise par −2 (NÉGATIF, le sens change) : x ≤ −2.
Les solutions sont tous les réels inférieurs ou égaux à −2.
Contrôle : pour x = −3, −2 × (−3) + 1 = 7 ≥ 5 (juste).
Dans la leçon sur les intervalles, tu apprendras à écrire ces ensembles de solutions de façon plus courte : ]-∞ ; 4[ et ]-∞ ; -2].
6. Retour à la question piège
De 2 < 5, on déduit -2 > -5 (multiplication par -1 : le sens change) et 12 > 15 (passage à l'inverse de nombres positifs : le sens change). En revanche, Ousmane a raison : x < y donne x + 1 000 < y + 1 000 et 20x < 20y.
3Je retiens
Je retiens
a ≤ b signifie b − a ≥ 0 : comparer, c'est étudier le signe de la différence.
Ajouter un même nombre ou multiplier par un nombre positif conserve le sens.
Multiplier (ou diviser) par un nombre négatif change le sens.
On peut additionner membre à membre ; multiplier membre à membre seulement si tout est positif ; jamais soustraire ni diviser membre à membre.
Nombres positifs : a < b ⟺ a² < b² ⟺ √a < √b.
Nombres de même signe (non nuls) : a < b ⟺ 1/a > 1/b.
Inégalités utiles : a² + b² ≥ 2ab ; pour a > 0, a + 1/a ≥ 2.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de changer le sens en divisant par un nombre négatif : −3x < 6 donne x > −2, et non x < −2.
- Élever au carré des nombres négatifs sans réfléchir : −4 < 1 mais (−4)² = 16 > 1.
- Passer à l'inverse des nombres de signes contraires : −2 < 3 et −1/2 < 1/3, le sens ne change pas ici. La règle ne vaut que pour des nombres de même signe.
- Soustraire membre à membre deux inégalités : c'est interdit. Pour encadrer a − b, on ajoute l'encadrement de −b.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On sait que a < b. Recopie en complétant par < ou >.
a) a - 7 … b - 7 b) -3a … -3b c) a5 … b5 d) 2 - a … 2 - b
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) a - 7 < b - 7 (on retranche le même nombre).
b) -3a > -3b (multiplication par -3 < 0 : le sens change).
c) a5 < b5 (division par 5 > 0).
d) -a > -b, puis on ajoute 2 : 2 - a > 2 - b.
2Exercice 2
Compare, en justifiant :
a) 79 et 1114 (méthode de la différence)
b) 2√7 et 3√3
c) 1√5 et 1√6
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 79 - 1114 = 98126 - 99126 = -1126 < 0, donc 79 < 1114.
b) Nombres positifs : (2√7)2 = 4 × 7 = 28 et (3√3)2 = 9 × 3 = 27. Comme 28 > 27, 2√7 > 3√3.
c) 5 < 6 donc √5 < √6 ; ces nombres sont strictement positifs, le passage à l'inverse change le sens : 1√5 > 1√6.
3Exercice 3
Résous les inéquations suivantes.
a) 4x + 3 ≥ 15 b) 5 - 2x > x + 11 c) x3 - 1 ≤ x + 12
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 4x ≥ 12, puis x ≥ 3 (division par 4 > 0). Solutions : tous les réels supérieurs ou égaux à 3.
b) 5 - 2x > x + 11 ⇔ -3x > 6 ⇔ x < -2 (division par -3 : le sens change). Solutions : tous les réels strictement inférieurs à -2.
c) On multiplie par 6 (positif) : 2x - 6 ≤ 3(x + 1), soit 2x - 6 ≤ 3x + 3, donc -x ≤ 9 et x ≥ -9. Solutions : tous les réels supérieurs ou égaux à -9.
4Exercice 4
Soient a et b deux réels strictement positifs.
a) Montre que ab + ba ≥ 2.
b) Montre que (a + b)(1a + 1b) ≥ 4.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ab + ba - 2 = a2 + b2 - 2abab = (a - b)2ab. Le numérateur est un carré (positif ou nul) et ab > 0 : la différence est positive ou nulle. Donc ab + ba ≥ 2.
b) En développant : (a + b)(1a + 1b) = 1 + ab + ba + 1 = 2 + ab + ba. D'après a), ab + ba ≥ 2, donc l'expression est supérieure ou égale à 2 + 2 = 4.
5Exercice 5
(Problème) Lansana veut imprimer des affiches pour la fête de son lycée. L'imprimeur A demande 50 000 GNF de frais fixes plus 2 500 GNF par affiche. L'imprimeur B demande 4 000 GNF par affiche, sans frais fixes. On note n le nombre d'affiches.
a) Exprime en fonction de n le prix à payer chez A et chez B.
b) À partir de combien d'affiches l'imprimeur A est-il strictement moins cher ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Prix chez A : PA = 50 000 + 2 500n. Prix chez B : PB = 4 000n.
b) On résout PA < PB : 50 000 + 2 500n < 4 000n ⇔ 50 000 < 1 500n ⇔ n > 50 0001 500 = 1003 ≈ 33,3.
n est un nombre entier d'affiches : A est strictement moins cher à partir de 34 affiches.
Vérification : pour 34 affiches, A coûte 50 000 + 85 000 = 135 000 GNF et B coûte 136 000 GNF ; pour 33 affiches, A coûte 132 500 GNF et B 132 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
