Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 22
Opérations sur les intervalles
Je sais déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles à l'aide d'une droite graduée et je m'en sers pour résoudre un système d'inéquations.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir l'intersection et la réunion de deux ensembles
- Déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles grâce à une représentation graphique
- Écrire le complémentaire d'un intervalle dans R
- Résoudre un système d'inéquations du premier degré et donner les solutions sous forme d'intervalle
Avant de commencer : La leçon « Les intervalles » (notations, bornes incluses ou exclues, représentation sur une droite graduée) et la résolution des inéquations du premier degré.
1Je découvre
Deux marchés hebdomadaires se tiennent dans la région de Kindia. Le marché A accueille les vendeurs de 7 h à 13 h, le marché B de 10 h à 17 h. Un transporteur, Lansana, veut savoir :
- pendant quelle période les deux marchés sont ouverts en même temps, pour y envoyer ses deux camions ;
- pendant quelle période au moins un des deux marchés est ouvert, pour organiser sa journée.
En notant t l'heure, le marché A est ouvert pour t ∈ [7 ; 13] et le marché B pour t ∈ [10 ; 17]. Les deux sont ouverts en même temps de 10 h à 13 h, soit t ∈ [10 ; 13]. Au moins un est ouvert de 7 h à 17 h, soit t ∈ [7 ; 17].
Lansana a fait sans le savoir deux opérations sur des intervalles : une intersection (« et ») et une réunion (« ou »).
Comment déterminer de façon sûre l'intersection et la réunion de deux intervalles, et à quoi cela sert-il ?
2Je comprends
1. Intersection et réunion : définitions
Soient A et B deux ensembles de nombres.
- L'intersection de A et B, notée A ∩ B (on lit « A inter B »), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B :
x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A et x ∈ B.
- La réunion de A et B, notée A ∪ B (on lit « A union B »), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux) :
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B.
Si A et B n'ont aucun élément commun, leur intersection est l'ensemble vide, noté ∅. On dit que A et B sont disjoints.
- mot-clé « et »
- éléments communs aux deux
- plus petit que A et que B
- peut être vide
- mot-clé « ou »
- éléments de l'un au moins
- plus grand que A et que B
- jamais vide si A ou B ne l'est pas
2. La méthode graphique
La méthode la plus sûre consiste à représenter les deux intervalles sur la même droite graduée, l'un au-dessus de l'autre (par exemple avec deux couleurs), puis à lire le résultat.
Méthode
Pour trouver l'intersection et la réunion de deux intervalles I et J :
- Je trace une droite graduée et j'y place toutes les bornes, dans l'ordre croissant.
- Je représente I (par exemple en rouge au-dessus de la droite) et J (en bleu en dessous), avec les crochets.
- Intersection : je garde la partie coloriée DEUX fois. Réunion : je garde la partie coloriée AU MOINS une fois.
- Pour chaque borne du résultat, je vérifie si elle est incluse : pour ∩, elle doit être incluse dans les deux ; pour ∪, il suffit qu'elle soit incluse dans l'un des deux.
- J'écris le résultat : un intervalle, ∅, ou une réunion d'intervalles qu'on ne peut pas simplifier.
Exemple
Déterminer I ∩ J et I ∪ J pour I = [−2 ; 5] et J = ]1 ; 7].
Ordre des bornes : −2 < 1 < 5 < 7.
Intersection : la partie commune va de 1 à 5.
– En 1 : 1 ∈ I mais 1 ∉ J (crochet ouvert), donc 1 est exclu.
– En 5 : 5 ∈ I et 5 ∈ J, donc 5 est inclus.
I ∩ J = ]1 ; 5].
Réunion : on va de −2 à 7 sans interruption.
– −2 ∈ I, donc inclus ; 7 ∈ J, donc inclus.
I ∪ J = [−2 ; 7].
3. Les cas particuliers
Intervalles disjoints. I = [0 ; 2] et J = [4 ; 6] n'ont aucun point commun : I ∩ J = ∅. Leur réunion [0 ; 2] ∪ [4 ; 6] n'est pas un intervalle (il y a un « trou » entre 2 et 4) : on la laisse sous cette forme.
Intervalles qui se touchent. Pour I = ]-∞ ; 3[ et J = [3 ; +∞[ : le nombre 3 n'est pas dans I mais il est dans J.
I ∩ J = ∅ et I ∪ J = ]-∞ ; +∞[ = ℝ.
En revanche, pour ]-∞ ; 3[ et ]3 ; +∞[, la réunion est ℝ privé de 3, notée ℝ setminus {3}.
Un intervalle contenu dans l'autre. Si I ⊂ J, alors I ∩ J = I et I ∪ J = J. Par exemple [1 ; 2] ∩ [0 ; 5] = [1 ; 2] et [1 ; 2] ∪ [0 ; 5] = [0 ; 5].
Exemple
Déterminer K ∩ L et K ∪ L pour K = ]−∞ ; 4[ et L = [−1 ; +∞[.
Ordre : −1 < 4.
Intersection : partie commune de −1 à 4 ; −1 ∈ K et −1 ∈ L, donc inclus ; 4 ∉ K, donc exclu.
K ∩ L = [−1 ; 4[.
Réunion : K couvre tout ce qui est à gauche de 4, L tout ce qui est à droite de −1 : ensemble, ils couvrent toute la droite.
K ∪ L = R.
4. Le complémentaire d'un intervalle
Le complémentaire d'un intervalle I dans ℝ, noté ℝ setminus I, est l'ensemble des réels qui n'appartiennent pas à I. Les bornes « changent de statut » : une borne incluse dans I est exclue du complémentaire, et inversement.
Exemple
Déterminer le complémentaire de I = [1 ; 4[ dans R.
x ∉ I signifie : x < 1 ou x ≥ 4.
R \ I = ]−∞ ; 1[ ∪ [4 ; +∞[.
Contrôle : 1 est dans I, donc pas dans le complémentaire (crochet ouvert en 1) ; 4 n'est pas dans I, donc il est dans le complémentaire (crochet fermé en 4).
5. Résoudre un système d'inéquations
Un système d'inéquations est formé de plusieurs inéquations qui doivent être vérifiées en même temps. Le mot « et » indique une intersection : l'ensemble des solutions du système est l'intersection des ensembles de solutions de chaque inéquation.
Exemple
Résoudre le système : 2x − 1 > 3 et x + 4 ≤ 10.
Première inéquation : 2x > 4, donc x > 2. S₁ = ]2 ; +∞[.
Deuxième inéquation : x ≤ 6. S₂ = ]−∞ ; 6].
Système : S = S₁ ∩ S₂ = ]2 ; 6].
Contrôle avec x = 3 : 2 × 3 − 1 = 5 > 3 et 3 + 4 = 7 ≤ 10. Juste.
Exemple
Résoudre : x − 3 ≥ 1 ou 2x < −2.
Première : x ≥ 4, S₁ = [4 ; +∞[. Deuxième : x < −1, S₂ = ]−∞ ; −1[.
Le mot « ou » indique une réunion : S = ]−∞ ; −1[ ∪ [4 ; +∞[.
Exemple
Résoudre le système : 3x + 2 < −4 et 5 − x < 1.
Première : 3x < −6, donc x < −2, S₁ = ]−∞ ; −2[.
Deuxième : −x < −4, donc x > 4, S₂ = ]4 ; +∞[.
Il n'existe aucun réel à la fois inférieur à −2 et supérieur à 4 : S = S₁ ∩ S₂ = ∅. Le système n'a pas de solution.
6. Retour aux marchés de Kindia
Les deux marchés sont ouverts en même temps pour t ∈ [7 ; 13] ∩ [10 ; 17] = [10 ; 13], soit 3 heures. Au moins un marché est ouvert pour t ∈ [7 ; 13] ∪ [10 ; 17] = [7 ; 17], soit 10 heures. Lansana enverra ses deux camions entre 10 h et 13 h.
3Je retiens
Je retiens
A ∩ B (« et ») : éléments communs à A et à B. A ∪ B (« ou ») : éléments de A ou de B.
∅ désigne l'ensemble vide ; A et B sont disjoints si A ∩ B = ∅.
Méthode : placer les deux intervalles sur une même droite graduée, puis lire la partie coloriée deux fois (∩) ou au moins une fois (∪).
Une borne est dans A ∩ B si elle est dans les deux ; elle est dans A ∪ B si elle est dans l'un au moins.
Si I ⊂ J : I ∩ J = I et I ∪ J = J.
R \ I : les réels qui ne sont pas dans I ; les crochets des bornes s'inversent.
Système d'inéquations (« et ») : on prend l'intersection des solutions ; « ou » : la réunion.
4Erreurs fréquentes
- Confondre ∩ et ∪ : l'intersection est la partie commune (« et »), la réunion est tout ce qui est colorié (« ou »).
- Écrire [0 ; 2] ∪ [4 ; 6] = [0 ; 6] : c'est faux, car 3 n'appartient à aucun des deux intervalles. Cette réunion ne se simplifie pas.
- Se tromper sur les bornes : ]1 ; 5] ∩ [1 ; 3] = ]1 ; 3], car 1 n'est pas dans le premier intervalle.
- Oublier qu'un système peut n'avoir aucune solution : x < −2 et x > 4 donne S = ∅.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Détermine I ∩ J et I ∪ J dans chaque cas.
a) I = [-3 ; 2] et J = [0 ; 6]
b) I = ]-∞ ; 1] et J = ]-2 ; 4[
c) I = [-5 ; -1[ et J = [2 ; 3]
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Bornes dans l'ordre : -3 < 0 < 2 < 6. I ∩ J = [0 ; 2] ; I ∪ J = [-3 ; 6].
b) Ordre : -2 < 1 < 4. Partie commune de -2 à 1 : -2 ∉ J (exclu), 1 ∈ I et 1 ∈ J (inclus). I ∩ J = ]-2 ; 1]. Réunion : I ∪ J = ]-∞ ; 4[.
c) -1 < 2 : aucun point commun. I ∩ J = ∅ ; I ∪ J = [-5 ; -1[ ∪ [2 ; 3] (ne se simplifie pas).
2Exercice 2
Détermine :
a) ]0 ; 3] ∩ [3 ; 7] b) ]0 ; 3[ ∪ ]3 ; 7] c) [-1 ; 1] ∩ ℝ_+ d) ]-∞ ; 2] ∪ [-4 ; +∞[
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le seul point commun est 3, qui appartient aux deux intervalles : ]0 ; 3] ∩ [3 ; 7] = {3} (un seul élément).
b) 3 n'appartient à aucun des deux : ]0 ; 3[ ∪ ]3 ; 7] = ]0 ; 7] setminus {3}, que l'on laisse écrit ]0 ; 3[ ∪ ]3 ; 7].
c) ℝ_+ = [0 ; +∞[ : [-1 ; 1] ∩ [0 ; +∞[ = [0 ; 1].
d) Les deux intervalles se chevauchent entre -4 et 2 et couvrent toute la droite : la réunion est ℝ.
3Exercice 3
Écris le complémentaire dans ℝ de :
a) [-2 ; 5] b) ]3 ; +∞[
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x ∉ [-2 ; 5] ⇔ x < -2 ou x > 5. ℝ setminus [-2 ; 5] = ]-∞ ; -2[ ∪ ]5 ; +∞[.
b) x ∉ ]3 ; +∞[ ⇔ x ≤ 3. ℝ setminus ]3 ; +∞[ = ]-∞ ; 3].
4Exercice 4
Résous les systèmes suivants et donne les solutions sous forme d'intervalle.
a) x + 5 > 2 et 3x - 1 ≤ 8
b) 4 - 2x ≥ 0 et 5x + 3 > 2x + 12
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x + 5 > 2 ⇔ x > -3 ; 3x - 1 ≤ 8 ⇔ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 3. S = ]-3 ; +∞[ ∩ ]-∞ ; 3] = ]-3 ; 3].
b) 4 - 2x ≥ 0 ⇔ -2x ≥ -4 ⇔ x ≤ 2 ; 5x + 3 > 2x + 12 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3. S = ]-∞ ; 2] ∩ ]3 ; +∞[ = ∅ : le système n'a pas de solution.
5Exercice 5
(Type examen) On donne A = ]-4 ; 3], B = [-1 ; +∞[ et C = ]-∞ ; -2].
a) Représente A, B et C sur une même droite graduée.
b) Détermine A ∩ B, A ∪ B, A ∩ C et B ∩ C.
c) Détermine (A ∩ B) ∪ C.
d) Écris la liste des entiers relatifs de A ∩ B.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Sur la droite : A va de -4 (exclu) à 3 (inclus) ; B part de -1 (inclus) vers la droite sans fin ; C va de la gauche sans fin jusqu'à -2 (inclus).
b) A ∩ B = [-1 ; 3] (-1 ∈ A et -1 ∈ B ; 3 ∈ A et 3 ∈ B).
A ∪ B = ]-4 ; +∞[.
A ∩ C = ]-4 ; -2].
B ∩ C = ∅ (car -2 < -1).
c) (A ∩ B) ∪ C = [-1 ; 3] ∪ ]-∞ ; -2], que l'on écrit dans l'ordre : ]-∞ ; -2] ∪ [-1 ; 3]. Cette réunion ne se simplifie pas (il manque les réels entre -2 et -1).
d) Entiers de [-1 ; 3] : -1, 0, 1, 2, 3.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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