Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 22
Les équations du second degré
Je sais résoudre toute équation ax² + bx + c = 0 grâce au discriminant, factoriser le trinôme et utiliser la somme et le produit des racines.
- 1 h 10
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une équation du second degré et identifier a, b et c
- Calculer le discriminant et résoudre l'équation dans chacun des trois cas
- Factoriser un trinôme du second degré
- Utiliser la somme et le produit des racines
- Mettre un problème en équation et interpréter les solutions
Avant de commencer : Identités remarquables, équations produits (A × B = 0), racines carrées, tableau de signes.
1Je découvre
Lansana veut clôturer un champ rectangulaire de maïs près de Kankan. Il dispose de 140 m de grillage, qui doit faire tout le tour du champ, et il veut une surface de 1 200 m².
Il appelle x la largeur du champ, en mètres. Le demi-périmètre vaut 140 ÷ 2 = 70 m, donc la longueur vaut 70 - x. La surface s'écrit x(70 - x), et il doit résoudre :
x(70 - x) = 1 200, soit -x2 + 70x - 1 200 = 0, ou encore x2 - 70x + 1 200 = 0.
Il essaie de factoriser, mais aucune identité remarquable n'apparaît directement. Il essaie des valeurs au hasard : 10 donne 100 - 700 + 1 200 = 600, pas zéro… Il lui faut une méthode qui marche à tous les coups.
Comment résoudre n'importe quelle équation de la forme ax2 + bx + c = 0 ?
2Je comprends
1. Vocabulaire
On appelle équation du second degré (d'inconnue x) toute équation qui peut s'écrire :
ax2 + bx + c = 0, avec a, b, c réels et a ≠ 0.
L'expression ax2 + bx + c est un trinôme du second degré. Les solutions de l'équation s'appellent les racines du trinôme.
Exemples : dans 2x2 + 3x - 2 = 0, on a a = 2, b = 3, c = -2. Dans x2 - 9 = 0, on a a = 1, b = 0, c = -9. Dans -x2 + 4x = 0, on a a = -1, b = 4, c = 0.
Quand b = 0 ou c = 0, tu sais déjà résoudre par factorisation (leçon sur les équations produits). La méthode du discriminant sert surtout quand a, b et c sont tous non nuls.
2. La forme canonique et le discriminant
Comme a ≠ 0, on peut factoriser par a :
ax2 + bx + c = a[x2 + bax + ca].
On reconnaît le début du carré (x + b2a)2 = x2 + bax + b24a2. Donc :
ax2 + bx + c = a[(x + b2a)2 - b24a2 + ca] = a[(x + b2a)2 - b2 - 4ac4a2].
C'est la forme canonique. Le nombre b2 - 4ac décide de tout : on l'appelle le discriminant et on le note Δ (lettre grecque « delta ») :
Δ = b2 - 4ac.
- Si Δ > 0, le crochet est une différence de deux carrés, on factorise avec A2 - B2 : il y a deux racines.
- Si Δ = 0, le crochet est un seul carré : une racine double.
- Si Δ < 0, le crochet est une somme d'un carré et d'un nombre strictement positif : il ne s'annule jamais.
3. Le théorème de résolution
| Signe de Δ | Solutions de ax2 + bx + c = 0 | Factorisation |
|---|---|---|
| Δ > 0 | deux solutions x1 = -b - √Δ2a et x2 = -b + √Δ2a | a(x - x1)(x - x2) |
| Δ = 0 | une solution double x0 = -b2a | a(x - x0)2 |
| Δ < 0 | aucune solution réelle | pas de factorisation |
Graphiquement, les solutions sont les abscisses des points où la parabole y = ax2 + bx + c coupe l'axe des abscisses : deux points si Δ > 0, un point (la parabole touche l'axe) si Δ = 0, aucun si Δ < 0.
Méthode
Pour résoudre ax² + bx + c = 0 :
- J'écris l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0 et je note a, b, c avec leurs signes.
- Je calcule Δ = b² − 4ac (attention aux signes : si b est négatif, b² est positif).
- Je conclus selon le signe de Δ et j'applique la bonne formule.
- Je simplifie les solutions et j'écris S.
- Je vérifie une solution en la remplaçant dans l'équation.
Exemple
Résoudre 2x² + 3x − 2 = 0.
a = 2, b = 3, c = −2.
Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25 > 0, et √25 = 5.
x₁ = (−3 − 5)/(2 × 2) = −8/4 = −2 ; x₂ = (−3 + 5)/4 = 2/4 = 1/2.
S = {−2 ; 1/2}.
Factorisation : 2x² + 3x − 2 = 2(x + 2)(x − 1/2) = (x + 2)(2x − 1).
Vérification : 2 × (1/2)² + 3 × 1/2 − 2 = 1/2 + 3/2 − 2 = 0. Juste.
Exemple
Résoudre x² − 6x + 9 = 0 puis x² + x + 1 = 0.
Pour x² − 6x + 9 : Δ = (−6)² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0.
Solution double x₀ = −(−6)/(2 × 1) = 3. S = {3}. On a bien x² − 6x + 9 = (x − 3)².
Pour x² + x + 1 : Δ = 1² − 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = −3 < 0.
Aucune solution réelle : S = ∅.
Retour au champ de Lansana : x2 - 70x + 1 200 = 0, Δ = 702 - 4 × 1 200 = 4 900 - 4 800 = 100, √Δ = 10. Donc x1 = 70 - 102 = 30 et x2 = 70 + 102 = 40. Si la largeur est 30 m, la longueur est 70 - 30 = 40 m ; si l'on prend x = 40, on obtient le même champ tourné. Le champ mesure 30 m sur 40 m. Vérification : 30 × 40 = 1 200 m² et 2 × (30 + 40) = 140 m.
4. Somme et produit des racines
Si Δ ≥ 0 et si x1, x2 sont les racines (éventuellement égales), alors :
S = x1 + x2 = -ba et P = x1 × x2 = ca.
On le vérifie : x1 + x2 = -b - √Δ - b + √Δ2a = -2b2a = -ba, et x1 x2 = (-b)2 - (√Δ)24a2 = b2 - b2 + 4ac4a2 = ca.
Deux usages très fréquents :
- Racine évidente : si tu vois qu'un nombre simple (1, −1, 2…) est racine, l'autre se trouve avec le produit. Par exemple, pour 3x2 - 5x + 2 = 0 : 3 - 5 + 2 = 0, donc 1 est racine ; l'autre vérifie 1 × x2 = 23, donc x2 = 23.
- Deux nombres de somme et produit connus : ils sont les solutions de X2 - SX + P = 0.
En plus pour SM : quand b est pair, on pose b = 2b' et on utilise le discriminant réduit Δ' = b'2 - ac (même signe que Δ, car Δ = 4Δ'). Si Δ' > 0, les solutions sont -b' ± √Δ'a. Pour x2 - 70x + 1 200 = 0 : b' = -35, Δ' = 1 225 - 1 200 = 25, solutions 35 ± 5, soit 30 et 40.
5. Équations qui se ramènent au second degré
Une équation bicarrée ax4 + bx2 + c = 0 se résout en posant X = x2 (avec X ≥ 0) : on résout aX2 + bX + c = 0, puis on revient à x en résolvant x2 = X pour chaque solution positive.
3Je retiens
Je retiens
Équation du second degré : ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0.
Discriminant : Δ = b² − 4ac.
Δ > 0 : deux solutions x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a) ; ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
Δ = 0 : une solution double x₀ = −b/(2a) ; ax² + bx + c = a(x − x₀)².
Δ < 0 : aucune solution réelle, le trinôme ne se factorise pas.
Somme et produit des racines : x₁ + x₂ = −b/a et x₁x₂ = c/a.
Deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de X² − SX + P = 0.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe de b : pour x² − 5x + 6, b = −5 et b² = 25 (et non −25). Écris toujours (−5)².
- Diviser seulement √Δ par 2a : la formule est (−b ± √Δ)/(2a), toute la somme est divisée par 2a.
- Oublier le facteur a dans la factorisation : 2x² + 3x − 2 = 2(x + 2)(x − 1/2), pas (x + 2)(x − 1/2).
- Écrire des solutions quand Δ < 0 : il n'y en a aucune dans R, on écrit S = ∅.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule le discriminant et résous :
a) x2 - 7x + 10 = 0 b) 3x2 - 2x + 5 = 0 c) 4x2 - 4x + 1 = 0
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a) a = 1, b = -7, c = 10. Δ = 49 - 40 = 9, √Δ = 3. x1 = 7 - 32 = 2, x2 = 7 + 32 = 5. S = {2 ; 5}.
b) Δ = (-2)2 - 4 × 3 × 5 = 4 - 60 = -56 < 0. S = ∅.
c) Δ = (-4)2 - 4 × 4 × 1 = 16 - 16 = 0. Solution double x0 = 42 × 4 = 12. S = {12} ; en effet 4x2 - 4x + 1 = (2x - 1)2.
2Exercice 2
Résous -x2 + 2x + 8 = 0, puis factorise -x2 + 2x + 8.
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a = -1, b = 2, c = 8. Δ = 4 - 4 × (-1) × 8 = 4 + 32 = 36, √Δ = 6.
x1 = -2 - 6-2 = 4 et x2 = -2 + 6-2 = -2. S = {-2 ; 4}.
Factorisation : -x2 + 2x + 8 = -(x + 2)(x - 4). Contrôle : -(x2 - 2x - 8) = -x2 + 2x + 8.
3Exercice 3
Vérifie que 1 est une racine évidente de 2x2 + x - 3 = 0, puis trouve l'autre racine sans calculer Δ.
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2 × 12 + 1 - 3 = 0, donc 1 est racine. Produit des racines : ca = -32, donc 1 × x2 = -32 et x2 = -32. S = {-32 ; 1}.
Contrôle avec la somme : 1 - 32 = -12 = -ba.
4Exercice 4
Résous l'équation bicarrée x4 - 13x2 + 36 = 0.
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On pose X = x2 ≥ 0 : X2 - 13X + 36 = 0. Δ = 169 - 144 = 25, X1 = 13 - 52 = 4 et X2 = 13 + 52 = 9, tous deux positifs.
x2 = 4 donne x = -2 ou x = 2 ; x2 = 9 donne x = -3 ou x = 3.
S = {-3 ; -2 ; 2 ; 3}.
5Exercice 5
(Problème, type examen) Un groupe d'amis loue un minibus pour aller de Mamou à Labé, pour 600 000 GNF à partager également. Au dernier moment, 2 amis de plus se joignent au groupe, et chacun paie alors 10 000 GNF de moins. On note n le nombre d'amis au départ.
a) Montre que 600 000n - 600 000n + 2 = 10 000.
b) Montre que cette équation équivaut à n2 + 2n - 120 = 0.
c) Trouve n et vérifie.
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a) Au départ chacun paie 600 000n ; avec n + 2 amis, chacun paie 600 000n + 2. La différence vaut 10 000 GNF, d'où l'équation.
b) n est un entier strictement positif, donc n ≠ 0 et n + 2 ≠ 0. On multiplie par n(n + 2) :
600 000(n + 2) - 600 000n = 10 000 n(n + 2), soit 1 200 000 = 10 000(n2 + 2n). On divise par 10 000 : n2 + 2n = 120, soit n2 + 2n - 120 = 0.
c) Δ = 4 + 480 = 484 = 222. n1 = -2 - 222 = -12 (rejeté, un nombre d'amis est positif) et n2 = -2 + 222 = 10.
Il y avait 10 amis au départ. Vérification : 600 000 ÷ 10 = 60 000 et 600 000 ÷ 12 = 50 000 ; la différence est bien 10 000 GNF.
6Exercice 6
(En plus pour SM) Pour quelles valeurs du réel m l'équation x2 + mx + 9 = 0 a-t-elle une solution double ? Donne alors cette solution.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Δ = m2 - 36. Solution double ⇔ Δ = 0 ⇔ m2 = 36 ⇔ m = -6 ou m = 6.
Si m = 6 : x0 = -62 = -3 (et x2 + 6x + 9 = (x + 3)2). Si m = -6 : x0 = 3 (et x2 - 6x + 9 = (x - 3)2).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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