Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 22
Les fonctions
Je sais déterminer l'ensemble de définition d'une fonction, calculer des images et des antécédents, étudier sa parité et son sens de variation, et lire sa courbe.
- 1 h 10
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une fonction numérique, son ensemble de définition et sa courbe représentative
- Calculer des images et chercher des antécédents
- Étudier la parité d'une fonction
- Démontrer qu'une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle et dresser un tableau de variation
- Reconnaître un maximum ou un minimum
Avant de commencer : Intervalles, valeur absolue, inégalités (règles de calcul), équations du second degré, tableau de signes.
1Je découvre
Alpha, éleveur près de Pita, dispose de 40 m de grillage pour construire un enclos rectangulaire pour ses moutons. Il se demande quelles dimensions choisir pour que ses bêtes aient le plus de place possible.
S'il appelle x la largeur (en mètres), le demi-périmètre vaut 20 m, donc la longueur vaut 20 - x et l'aire vaut :
A(x) = x(20 - x).
Il essaie quelques valeurs : pour x = 2, l'aire est 2 × 18 = 36 m² ; pour x = 5, 5 × 15 = 75 m² ; pour x = 8, 8 × 12 = 96 m² ; pour x = 12, 12 × 8 = 96 m² ; pour x = 15, 75 m². L'aire augmente, puis diminue. Où est le meilleur choix ? Et est-on sûr qu'on ne peut pas faire mieux qu'avec les valeurs essayées ?
Comment étudier une fonction : où elle est définie, comment elle varie, et où elle atteint sa plus grande valeur ?
2Je comprends
1. Fonction, image, antécédent
Une fonction f définie sur un ensemble D de réels associe à chaque réel x de D un unique réel noté f(x). On écrit f : x mapsto f(x).
- f(x) est l'image de x par f ; elle est unique.
- Si f(x) = y, on dit que x est un antécédent de y. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
- D (ou Df) est l'ensemble de définition : l'ensemble des x pour lesquels f(x) peut se calculer.
Chercher les antécédents de k, c'est résoudre l'équation f(x) = k.
2. L'ensemble de définition
Dans la pratique, deux opérations posent problème :
- diviser par zéro : un dénominateur doit être non nul ;
- prendre la racine carrée d'un nombre négatif : ce qui est sous le radical doit être positif ou nul.
Exemple
Trouver l'ensemble de définition de chaque fonction.
f(x) = 3x² − 5x + 1 : aucun problème, D = R.
g(x) = (2x + 1)/(x − 3) : il faut x − 3 ≠ 0, donc x ≠ 3. D = R \ {3} = ]−∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.
h(x) = √(4 − 2x) : il faut 4 − 2x ≥ 0, soit −2x ≥ −4, donc x ≤ 2. D = ]−∞ ; 2].
k(x) = √(x + 1)/(x − 2) : il faut x + 1 ≥ 0 ET x − 2 ≠ 0, donc x ≥ −1 et x ≠ 2. D = [−1 ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[.
3. La courbe représentative
Dans un repère, la courbe représentative mathcalCf de f est l'ensemble des points M(x ; f(x)) avec x ∈ D. Un point M(a ; b) est sur mathcalCf si et seulement si a ∈ D et f(a) = b.
Lecture graphique : l'image de a se lit sur l'axe des ordonnées, au-dessus de a ; les antécédents de k sont les abscisses des points d'intersection de mathcalCf avec la droite horizontale y = k.
4. Parité
On dit que D est symétrique par rapport à 0 si, dès que x ∈ D, on a aussi -x ∈ D (par exemple ℝ, [-3 ; 3], ℝ^* ; mais pas [0 ; +∞[).
- f est paire si D est symétrique par rapport à 0 et f(-x) = f(x) pour tout x de D. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- f est impaire si D est symétrique par rapport à 0 et f(-x) = -f(x) pour tout x de D. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.
Exemple
Étudier la parité de f(x) = x⁴ − 3x², g(x) = x³ − 2x et h(x) = x² + x.
Les trois fonctions sont définies sur R, symétrique par rapport à 0.
f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x² = f(x) : f est paire.
g(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −g(x) : g est impaire.
h(1) = 1 + 1 = 2 et h(−1) = 1 − 1 = 0. Comme h(−1) ≠ h(1) et h(−1) ≠ −h(1), h n'est ni paire ni impaire.
Pour montrer qu'une fonction n'est pas paire (ou impaire), un seul contre-exemple suffit, comme pour h.
5. Sens de variation
Soit I un intervalle contenu dans D.
- f est croissante sur I si, pour tous a et b de I : a < b ⇒ f(a) ≤ f(b) (les images sont rangées dans le même ordre).
- f est décroissante sur I si : a < b ⇒ f(a) ≥ f(b) (l'ordre est inversé).
- On dit « strictement » quand les inégalités entre images sont strictes.
On résume les variations dans un tableau de variation, où une flèche montante indique que f croît et une flèche descendante qu'elle décroît.
Exemple
Montrer que f(x) = x² est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
Soient a et b dans [0 ; +∞[ avec a < b.
f(b) − f(a) = b² − a² = (b − a)(b + a).
b − a > 0 car a < b, et b + a > 0 car a ≥ 0, b > 0.
Donc f(b) − f(a) > 0, soit f(a) < f(b) : f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
De la même façon (avec a + b < 0), f est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0].
Tableau de variation de x mapsto x2 :
| x | -∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| x2 | ↘ | 0 | ↗ |
Pour une fonction affine f(x) = mx + p : elle est croissante si m > 0, décroissante si m < 0, constante si m = 0. Par exemple, pour f(x) = -2x + 5 : si a < b, alors -2a > -2b (on multiplie par -2 < 0), donc f(a) > f(b) : f est décroissante.
6. Maximum et minimum
f admet un maximum M en x0 sur I si f(x) ≤ f(x0) = M pour tout x de I ; un minimum m en x0 si f(x) ≥ f(x0) = m pour tout x de I. Le mot extremum désigne l'un ou l'autre.
Retour à l'enclos d'Alpha : A(x) = x(20 - x) = -x2 + 20x, pour x ∈ [0 ; 20]. On remarque que 100 - (x - 10)2 = 100 - x2 + 20x - 100 = -x2 + 20x. Donc :
A(x) = 100 - (x - 10)2.
Comme (x - 10)2 ≥ 0, on a A(x) ≤ 100 pour tout x, avec égalité seulement pour x = 10. Le maximum de A est 100 m², atteint pour x = 10 : l'enclos idéal est un carré de 10 m de côté. On peut aller plus loin : A est croissante sur [0 ; 10] et décroissante sur [10 ; 20].
7. Les fonctions de référence
| Fonction | Ensemble de définition | Variations | Parité |
|---|---|---|---|
| x mapsto x2 | ℝ | décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ | paire |
| x mapsto x3 | ℝ | croissante sur ℝ | impaire |
| x mapsto 1x | ℝ^* | décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ | impaire |
| x mapsto √x | [0 ; +∞[ | croissante | ni paire ni impaire |
| x mapsto lvert xrvert | ℝ | décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ | paire |
Méthode
Pour étudier une fonction :
- Je détermine son ensemble de définition (dénominateurs non nuls, radicandes positifs ou nuls).
- J'étudie sa parité si le domaine est symétrique par rapport à 0 (je calcule f(−x)).
- J'étudie son sens de variation : je compare f(a) et f(b) pour a < b, souvent en étudiant le signe de f(b) − f(a).
- Je dresse le tableau de variation et je repère les extremums.
- Je trace la courbe à l'aide d'un tableau de valeurs, en utilisant les symétries.
3Je retiens
Je retiens
Une fonction associe à chaque x de son ensemble de définition une image unique f(x).
Antécédents de k : solutions de f(x) = k.
Domaine : dénominateur ≠ 0 ; sous une racine carrée ≥ 0.
f paire : f(−x) = f(x), courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; f impaire : f(−x) = −f(x), courbe symétrique par rapport à l'origine.
f croissante sur I : a < b entraîne f(a) ≤ f(b) ; f décroissante : a < b entraîne f(a) ≥ f(b).
Maximum M en x₀ : f(x) ≤ f(x₀) = M pour tout x ; minimum : f(x) ≥ f(x₀).
4Erreurs fréquentes
- Oublier une condition du domaine : pour √(x + 1)/(x − 2), il faut à la fois x ≥ −1 et x ≠ 2.
- Conclure qu'une fonction est paire après avoir vérifié f(−1) = f(1) seulement : il faut prouver f(−x) = f(x) pour TOUT x (un exemple ne suffit que pour montrer qu'elle n'est PAS paire).
- Dire que 1/x est décroissante sur R* : elle est décroissante sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[, mais −1 < 1 et f(−1) = −1 < f(1) = 1.
- Confondre image et antécédent : l'image se calcule, l'antécédent se trouve en résolvant une équation.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Détermine l'ensemble de définition de :
a) f(x) = 3x2 - 1 b) g(x) = x + 42x - 6 c) h(x) = √3x - 9 d) k(x) = 1x2 - 9
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Polynôme : Df = ℝ.
b) 2x - 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 : Dg = ℝ setminus {3}.
c) 3x - 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 : Dh = [3 ; +∞[.
d) x2 - 9 = (x - 3)(x + 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 et x ≠ -3 : Dk = ℝ setminus {-3 ; 3}.
2Exercice 2
Soit f(x) = x2 - 2x - 3.
a) Calcule les images de -1 et de 2.
b) Trouve les antécédents de -3, puis ceux de 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f(-1) = 1 + 2 - 3 = 0 ; f(2) = 4 - 4 - 3 = -3.
b) f(x) = -3 ⇔ x2 - 2x = 0 ⇔ x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2. Les antécédents de -3 sont 0 et 2.
f(x) = 0 ⇔ x2 - 2x - 3 = 0 : Δ = 4 + 12 = 16, x = 2 ± 42, soit x = -1 ou x = 3. Les antécédents de 0 sont -1 et 3.
3Exercice 3
Étudie la parité de :
a) f(x) = 2x4 + x2 b) g(x) = x3 + 1x c) h(x) = x3 + 1 d) m(x) = √x
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) D = ℝ ; f(-x) = 2x4 + x2 = f(x) : f est paire.
b) D = ℝ^*, symétrique ; g(-x) = -x3 - 1x = -g(x) : g est impaire.
c) h(1) = 2 et h(-1) = 0 : ni h(-1) = h(1), ni h(-1) = -h(1). h n'est ni paire ni impaire.
d) D = [0 ; +∞[ n'est pas symétrique (1 ∈ D mais -1 ∉ D) : m n'est ni paire ni impaire.
4Exercice 4
a) Démontre que f(x) = 3x - 4 est strictement croissante sur ℝ.
b) Démontre que g(x) = 1x est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
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a) Soient a < b. f(b) - f(a) = 3b - 4 - 3a + 4 = 3(b - a) > 0. Donc f(a) < f(b) : f est strictement croissante sur ℝ.
b) Soient 0 < a < b. g(b) - g(a) = 1b - 1a = a - bab. Or a - b < 0 et ab > 0, donc g(b) - g(a) < 0 : g est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
5Exercice 5
(Type examen) On reprend l'enclos : A(x) = x(20 - x) pour x ∈ [0 ; 20].
a) Calcule A(4) et A(16). Que remarques-tu ?
b) Démontre que A(x) = 100 - (x - 10)2.
c) Déduis-en le maximum de A et la valeur de x où il est atteint.
d) Démontre que A est croissante sur [0 ; 10], puis dresse le tableau de variation de A sur [0 ; 20].
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) A(4) = 4 × 16 = 64 et A(16) = 16 × 4 = 64. Les deux valeurs sont égales : l'enclos de 4 m sur 16 m et celui de 16 m sur 4 m sont le même rectangle tourné.
b) 100 - (x - 10)2 = 100 - (x2 - 20x + 100) = -x2 + 20x = x(20 - x) = A(x).
c) (x - 10)2 ≥ 0, donc A(x) ≤ 100 pour tout x, et A(10) = 100. Le maximum est 100 m², atteint pour x = 10 (enclos carré de 10 m de côté).
d) Soient 0 ≤ a < b ≤ 10. A(b) - A(a) = (a - 10)2 - (b - 10)2 = [(a - 10) - (b - 10)][(a - 10) + (b - 10)] = (a - b)(a + b - 20). Or a - b < 0 et a + b - 20 < 0 (car a + b < 20), donc A(b) - A(a) > 0 : A est croissante sur [0 ; 10]. De même, sur [10 ; 20], a + b - 20 > 0 et A est décroissante.
| x | 0 | 10 | 20 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| A(x) | 0 | ↗ | 100 | ↘ | 0 |
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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