Produit scalaire

1. Définition avec le cosinus

Soient u et v deux vecteurs non nuls, et θ une mesure de l'angle qu'ils forment. Le produit scalaire de u et v est le nombre réel :

u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cosθ.

Si l'un des vecteurs est nul, on pose u · v = 0.

Avec des points : AB · AC = AB × AC × cosBAC.

Conséquences sur le signe :

• si l'angle est aigu (cosθ > 0), le produit scalaire est positif ;
• si l'angle est droit (cosθ = 0), il est nul ;
• si l'angle est obtus (cosθ < 0), il est négatif.

Cas particulier : u · u = ‖u‖² (angle nul, cos 0 = 1). On note u ² = u · u, appelé carré scalaire. Ainsi AB ² = AB².

2. Définition avec la projection orthogonale

Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors :

AB · AC = AB · AH.

Et comme AB et AH sont colinéaires :

• AB · AC = AB × AH si AB et AH ont le même sens ;
• AB · AC = -AB × AH s'ils sont de sens contraires.

C'est exactement l'idée de la pirogue : seule la « partie projetée » compte.

Sur cette figure, avec les coordonnées lues, AB = 6 et AH = 2 (même sens), donc AB · AC = 12. On le retrouvera avec les coordonnées : AB(6 ; 0), AC(2 ; 4), 6 × 2 + 0 × 4 = 12.

3. Expression analytique

Dans un repère orthonormé, si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors :

u · v = xx' + yy' et ‖u‖ = √x² + y².

Cette formule est la plus utilisée dans les exercices, car elle ne demande aucun angle.

4. Propriétés

Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel k :

• symétrie : u · v = v · u ;
• distributivité : u · (v + w) = u · v + u · w ;
• homogénéité : (ku) · v = k(u · v).

On en déduit des identités remarquables :

• (u + v)² = ‖u‖² + 2 u · v + ‖v‖² ;
• (u - v)² = ‖u‖² - 2 u · v + ‖v‖² ;
• (u + v) · (u - v) = ‖u‖² - ‖v‖².

D'où la formule de polarisation : u · v = 12(‖u + v‖² - ‖u‖² - ‖v‖²).

5. Orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

u ⊥ v ⇔ u · v = 0 ⇔ xx' + yy' = 0 (en repère orthonormé).

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Par exemple, u(3 ; -2) et v(4 ; 6) : 3 × 4 + (-2) × 6 = 12 - 12 = 0, donc u ⊥ v.

6. Le théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle ABC, on note a = BC, b = AC, c = AB. En écrivant BC = AC - AB et en développant BC ², on obtient :

a² = b² + c² - 2bccosA.

Ce théorème, qui porte le nom du savant persan Al-Kashi, généralise Pythagore : si A = 90°, cosA = 0 et on retrouve a² = b² + c².

Al-Kashi permet aussi de calculer un angle quand on connaît les trois côtés : cosA = b² + c² - a²2bc.