Karamö, le prof virtuelLeçon 19 sur 22
Polygones réguliers
Je sais reconnaître un polygone régulier, calculer ses angles, son côté, son apothème, son périmètre et son aire à partir du rayon de son cercle circonscrit, et construire les plus courants.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un polygone régulier, son centre et son cercle circonscrit
- Calculer l'angle au centre et l'angle intérieur d'un polygone régulier à n côtés
- Exprimer le côté, l'apothème et l'aire en fonction du rayon
- Construire à la règle et au compas le triangle équilatéral, le carré, l'hexagone et l'octogone réguliers
Avant de commencer : Angles inscrits et angles au centre, triangle isocèle, trigonométrie dans le triangle rectangle (sinus, cosinus), valeurs remarquables, aire d'un triangle.
1Je découvre
Mamadou est menuisier à Labé. Un client lui apporte un beau plateau rond en bois de 1,20 m de diamètre et lui demande d'y découper une table hexagonale (à six côtés égaux), la plus grande possible, pour une salle de réunion.
Mamadou sait qu'un hexagone « bien fait » a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux, et que ses six sommets doivent se trouver sur le bord du plateau. Mais il se pose plusieurs questions : quelle longueur doit avoir chaque côté ? Quel angle faut-il donner à chaque coin ? Quelle sera la surface de la table ? Et combien de bois sera perdu ?
Sa fille Fatoumata, en 11e, lui dit que ces questions ont toutes une réponse grâce au cercle dans lequel le polygone est inscrit.
Comment calculer les angles, le côté et l'aire d'un polygone régulier à partir du cercle qui le contient ?
2Je comprends
1. Définitions
Un polygone régulier est un polygone convexe dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont la même mesure.
Exemples : le triangle équilatéral (3 côtés), le carré (4), le pentagone régulier (5), l'hexagone régulier (6), l'octogone régulier (8), le décagone régulier (10), le dodécagone régulier (12).
Attention : un losange a quatre côtés égaux mais, en général, pas quatre angles égaux ; un rectangle a quatre angles égaux mais pas quatre côtés égaux. Ni l'un ni l'autre n'est régulier, sauf s'il s'agit d'un carré.
Propriété. Tout polygone régulier est inscrit dans un cercle : ses sommets sont sur un même cercle, appelé cercle circonscrit. Son centre O est le centre du polygone et son rayon R est le rayon du polygone.
L'apothème est la distance du centre O à chacun des côtés : c'est la longueur OI, où I est le milieu d'un côté.
2. Les angles d'un polygone régulier à n côtés
En joignant le centre O aux n sommets, on découpe le polygone en n triangles isocèles superposables, de sommet O.
- L'angle au centre (l'angle AOB sous lequel on voit un côté depuis le centre) mesure :
α = 360°n = 2πn.
- La somme des angles intérieurs d'un polygone à n côtés vaut (n - 2) × 180° (on peut le découper en n - 2 triangles depuis un sommet).
- Chaque angle intérieur d'un polygone régulier mesure donc :
β = (n - 2) × 180°n = 180° - 360°n.
| Polygone | n | Angle au centre | Angle intérieur |
|---|---|---|---|
| Triangle équilatéral | 3 | 120° | 60° |
| Carré | 4 | 90° | 90° |
| Pentagone | 5 | 72° | 108° |
| Hexagone | 6 | 60° | 120° |
| Octogone | 8 | 45° | 135° |
| Décagone | 10 | 36° | 144° |
| Dodécagone | 12 | 30° | 150° |
3. Côté, apothème, périmètre, aire
Dans le triangle isocèle OAB (OA = OB = R), la hauteur OI issue de O est aussi médiane et bissectrice. Le triangle OIA est rectangle en I, avec AOI = α2 = πn. Donc :
- AI = Rsinπn, d'où le côté c = 2Rsinπn ;
- l'apothème a = OI = Rcosπn ;
- le périmètre P = n × c ;
- l'aire mathcalA = n × aire(OAB) = n × c × a2 = 12 P × a.
En remplaçant c et a : mathcalA = n R2 sinπncosπn = n2R2sin2πn.
| Polygone | Côté c | Apothème a | Aire |
|---|---|---|---|
| Triangle équilatéral | R√3 | R2 | 3√34R2 |
| Carré | R√2 | R√22 | 2R2 |
| Hexagone | R | R√32 | 3√32R2 |
Exemple
La table de Mamadou : hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R = 60 cm.
Côté : c = 2R sin(π/6) = 2 × 60 × 1/2 = 60 cm (le côté est égal au rayon).
Angle de chaque coin : 120°.
Apothème : a = R cos(π/6) = 60 × √3/2 = 30√3 ≈ 51,96 cm.
Périmètre : P = 6 × 60 = 360 cm.
Aire : A = (1/2) × P × a = (1/2) × 360 × 30√3 = 5 400√3 ≈ 9 353 cm², soit environ 0,94 m².
Aire du plateau rond : π × 60² = 3 600π ≈ 11 310 cm². Le bois perdu représente environ 1 957 cm², soit à peu près 17 % du plateau.
Exemple
Un carré est inscrit dans un cercle de rayon 4 cm. Calculer son côté et son aire.
c = 2R sin(π/4) = 2 × 4 × √2/2 = 4√2 cm.
Aire = c² = (4√2)² = 32 cm². On retrouve la formule 2R² = 2 × 16 = 32.
4. Constructions à la règle et au compas
- Hexagone : on trace un cercle de rayon R, et, sans changer l'écartement du compas, on reporte six fois le rayon sur le cercle à partir d'un point. On joint les six points.
- Triangle équilatéral : on construit l'hexagone et on joint un sommet sur deux.
- Carré : on trace deux diamètres perpendiculaires ; leurs quatre extrémités sont les sommets.
- Octogone : on construit le carré, puis les bissectrices des angles droits formés par les diamètres ; elles recoupent le cercle en quatre nouveaux sommets.
- Dodécagone : à partir de l'hexagone, on trace les bissectrices des angles au centre de 60°.
Le pentagone régulier se construit aussi à la règle et au compas, mais la construction est plus longue ; en pratique, on le trace souvent au rapporteur avec l'angle au centre de 72°.
- 1Tracer un cercle de centre O et de rayon R.
- 2Placer un point A sur le cercle.
- 3Garder l'écartement R au compas et piquer en A : on obtient B sur le cercle.
- 4Recommencer depuis B, puis depuis chaque nouveau point, jusqu'à revenir en A.
- 5Joindre les six points : on obtient l'hexagone régulier ABCDEF.
- 6Joindre un point sur deux (A, C, E) pour obtenir un triangle équilatéral.
5. Une application : les pavages
On peut paver le plan (le recouvrir sans trou ni chevauchement) avec des carreaux identiques en forme de polygone régulier seulement si l'angle intérieur divise exactement 360° : c'est le cas du triangle équilatéral (60°, six autour d'un point), du carré (90°, quatre) et de l'hexagone (120°, trois). C'est pourquoi on trouve des carreaux carrés ou hexagonaux, mais jamais de pavage avec des pentagones réguliers : 360 ÷ 108 n'est pas un entier.
Méthode
Pour calculer les éléments d'un polygone régulier à n côtés de rayon R :
- Je calcule l'angle au centre 360°/n et, si besoin, l'angle intérieur 180° − 360°/n.
- Je travaille dans le triangle rectangle OIA, avec l'angle π/n en O.
- Côté : c = 2R sin(π/n) ; apothème : a = R cos(π/n).
- Périmètre : P = n × c ; aire : A = (1/2) × P × a.
- Je donne la valeur exacte, puis une valeur approchée avec l'unité.
3Je retiens
Je retiens
Polygone régulier : tous les côtés égaux et tous les angles égaux ; il est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon R.
Angle au centre : 360°/n ; angle intérieur : (n − 2) × 180°/n.
Côté : c = 2R sin(π/n) ; apothème : a = R cos(π/n).
Périmètre : P = n × c ; aire : A = (1/2) × P × a = (n/2) R² sin(2π/n).
Hexagone : c = R ; carré : c = R√2 ; triangle équilatéral : c = R√3.
Seuls le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone réguliers pavent le plan.
4Erreurs fréquentes
- Confondre angle au centre et angle intérieur : pour l'hexagone, l'angle au centre vaut 60° et l'angle intérieur 120°.
- Écrire c = R sin(π/n) : on oublie le facteur 2, car R sin(π/n) n'est que la moitié du côté.
- Prendre l'angle 2π/n au lieu de π/n dans le triangle rectangle OIA : la hauteur coupe l'angle au centre en deux.
- Croire qu'un losange est un polygone régulier : ses angles ne sont pas tous égaux (sauf si c'est un carré).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule l'angle au centre et l'angle intérieur d'un polygone régulier à 5, 8, 10 et 12 côtés.
Voir le corrigéCacher le corrigé
- n = 5 : angle au centre 360°5 = 72° ; angle intérieur 180° - 72° = 108°.
- n = 8 : 45° et 135°.
- n = 10 : 36° et 144°.
- n = 12 : 30° et 150°.
2Exercice 2
a) Un polygone régulier a des angles intérieurs de 140°. Combien a-t-il de côtés ?
b) Un polygone régulier a un angle au centre de 24°. Combien a-t-il de côtés ?
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a) (n - 2) × 180n = 140 ⇔ 180n - 360 = 140n ⇔ 40n = 360 ⇔ n = 9. C'est un ennéagone régulier (9 côtés).
b) 360n = 24 ⇔ n = 15. Il a 15 côtés.
3Exercice 3
Un hexagone régulier est inscrit dans un cercle de rayon 5 cm. Calcule son côté, son périmètre, son apothème et son aire (valeurs exactes puis approchées au centième).
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Pour l'hexagone, c = R = 5 cm, donc P = 6 × 5 = 30 cm.
Apothème : a = 5cos 30° = 5√32 ≈ 4,33 cm.
Aire : 12 × 30 × 5√32 = 75√32 ≈ 64,95 cm².
Contrôle : 3√32R2 = 3√32 × 25 = 75√32.
4Exercice 4
Un triangle équilatéral ABC est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 6 cm.
a) Calcule son côté et son apothème.
b) Vérifie que sa hauteur est égale à R + a.
c) Calcule son aire.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) c = 2 × 6 × sin 60° = 12 × √32 = 6√3 cm ≈ 10,39 cm. Apothème : a = 6cos 60° = 3 cm.
b) La hauteur d'un triangle équilatéral de côté c vaut c√32 = 6√3 × √32 = 182 = 9 cm, et R + a = 6 + 3 = 9 cm. C'est bien égal (la hauteur passe par le centre O).
c) Aire = c × h2 = 6√3 × 92 = 27√3 ≈ 46,77 cm². Contrôle : 3√34 × 36 = 27√3.
5Exercice 5
(Type examen) Un octogone régulier est inscrit dans un cercle de rayon R = 2 cm.
a) Donne son angle au centre et son angle intérieur.
b) On admet que cos 45° = 1 - 2sin2(22,5°). Montre que sin(22,5°) = √2 - √22.
c) Déduis-en la valeur exacte du côté, puis une valeur approchée.
d) Calcule l'aire exacte de l'octogone avec la formule n2R2sin2πn.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Angle au centre : 360°8 = 45° ; angle intérieur : 180° - 45° = 135°.
b) √22 = 1 - 2sin2(22,5°), donc sin2(22,5°) = 1 - √222 = 2 - √24. Comme sin(22,5°) > 0 : sin(22,5°) = √2 - √22.
c) c = 2Rsinπ8 = 2 × 2 × √2 - √22 = 2√2 - √2 cm ≈ 1,53 cm.
d) mathcalA = 82 × 22 × sinπ4 = 4 × 4 × √22 = 8√2 cm² ≈ 11,31 cm².
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6Je vérifie
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