Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 21
Les chiffres significatifs
Je sais compter les chiffres significatifs d'une mesure et écrire le résultat d'un calcul avec le bon nombre de chiffres, en écriture scientifique.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Compter les chiffres significatifs d'un nombre issu d'une mesure
- Écrire un nombre en notation scientifique et donner son ordre de grandeur
- Arrondir correctement un résultat
- Appliquer les règles des chiffres significatifs aux produits, quotients, sommes et différences
Avant de commencer : Les grandeurs mesurables et les unités SI ; les puissances de 10.
1Je découvre
Lansana mesure la longueur de la table de sa classe à Mamou avec une règle graduée en millimètres : il lit 1,254 m. Aïssatou mesure la largeur avec un vieux mètre ruban dont seuls les centimètres sont lisibles : elle trouve 0,62 m.
Pour avoir l'aire, ils multiplient avec la calculatrice : 1,254 × 0,62 = 0,777 48 m². Lansana veut écrire tous les chiffres « pour être précis ». Aïssatou proteste : « Ma largeur n'est connue qu'au centimètre près. Comment l'aire pourrait-elle être connue au centième de millimètre carré ? »
Elle a raison : la calculatrice donne beaucoup de chiffres, mais ils ne sont pas tous vrais. Écrire 0,777 48 m², c'est faire croire à une précision que personne n'a.
Quels chiffres d'une mesure ont vraiment un sens, et combien doit-on en garder dans le résultat d'un calcul ?
2Je comprends
1. Une mesure n'est jamais parfaite
Toute mesure a une précision limitée, fixée par l'instrument et par l'opérateur. Quand Lansana lit 1,254 m sur une règle graduée en millimètres, il est sûr des chiffres 1, 2 et 5 ; le dernier chiffre, 4, est lu entre deux graduations ou estimé : il est incertain.
On peut écrire le résultat avec son incertitude : L = (1,254 ± 0,001) m. Cela signifie que la vraie longueur est comprise entre 1,253 m et 1,255 m.
Les chiffres significatifs d'une mesure sont tous les chiffres connus avec certitude, plus le premier chiffre incertain. Ils indiquent la précision de la mesure.
2. Compter les chiffres significatifs
On lit le nombre de gauche à droite.
- Tous les chiffres non nuls sont significatifs : 247 a 3 chiffres significatifs.
- Les zéros placés entre deux chiffres non nuls sont significatifs : 2,05 a 3 chiffres significatifs ; 1 007 en a 4.
- Les zéros placés à gauche du premier chiffre non nul ne sont pas significatifs : ils servent seulement à placer la virgule. 0,0052 a 2 chiffres significatifs (le 5 et le 2).
- Les zéros placés à droite, après la virgule, sont significatifs : 3,20 a 3 chiffres significatifs ; 0,500 en a 3. Écrire 3,20 m au lieu de 3,2 m, c'est dire que l'on a mesuré au centimètre près.
- Pour un nombre entier terminé par des zéros, comme 1 200, on ne sait pas si les zéros sont significatifs. On lève l'ambiguïté avec l'écriture scientifique.
| Nombre | Chiffres significatifs | Nombre de chiffres significatifs |
|---|---|---|
| 45,8 | 4, 5, 8 | 3 |
| 0,030 | 3, 0 (le dernier) | 2 |
| 7,005 | 7, 0, 0, 5 | 4 |
| 0,00120 | 1, 2, 0 | 3 |
| 2,50 × 103 | 2, 5, 0 | 3 |
Changer d'unité ne change pas le nombre de chiffres significatifs : 0,62 m = 62 cm = 620 mm ? Non ! 620 mm laisserait croire qu'on a mesuré au millimètre. On écrit 6,2 × 102 mm, qui garde bien 2 chiffres significatifs.
Les nombres exacts (nombre d'élèves dans une classe, le 2 de 2π R, le ½ de 12mv2) ne proviennent pas d'une mesure : ils ne limitent pas la précision d'un résultat.
3. L'écriture scientifique et l'ordre de grandeur
Un nombre est en écriture scientifique quand il s'écrit a × 10n, avec 1 leqslant a < 10 et n entier. Le nombre a contient tous les chiffres significatifs, et seulement eux.
- 1 200 m avec 2 chiffres significatifs : 1,2 × 103 m.
- 1 200 m avec 4 chiffres significatifs : 1,200 × 103 m.
- 0,00520 kg : 5,20 × 10-3 kg (3 chiffres significatifs).
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche. Pour a × 10n : si a < 5, l'ordre de grandeur est 10n ; si a geqslant 5, c'est 10n+1. Par exemple, la masse d'un sac de riz de 50 kg, soit 5,0 × 101 kg, a pour ordre de grandeur 102 kg ; une distance de 300 km, soit 3 × 105 m, a pour ordre de grandeur 105 m.
4. Arrondir un résultat
Pour arrondir à un certain nombre de chiffres, on regarde le premier chiffre supprimé :
- s'il est inférieur à 5, on garde le dernier chiffre tel quel : 3,142 arrondi à 3 chiffres donne 3,14 ;
- s'il est supérieur ou égal à 5, on augmente le dernier chiffre gardé de 1 : 0,777 48 arrondi à 2 chiffres donne 0,78.
5. Les règles de calcul
Un résultat de calcul ne peut pas être plus précis que les mesures qui ont servi à l'obtenir.
Multiplication et division. Le résultat a autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.
Addition et soustraction. Le résultat a autant de décimales que la donnée qui en a le moins (les données étant exprimées dans la même unité).
- 1Je fais le calcul complet à la calculatrice, sans arrondir en cours de route.
- 2Je repère le type d'opération : produit ou quotient, somme ou différence.
- 3Produit ou quotient : je compte les chiffres significatifs de chaque donnée mesurée et je garde le plus petit nombre.
- 4Somme ou différence : je compte les décimales de chaque donnée (même unité) et je garde le plus petit nombre.
- 5J'arrondis le résultat final et je l'écris en écriture scientifique avec son unité.
Exemple
L'aire de la table de Lansana et Aïssatou.
L = 1,254 m (4 chiffres significatifs) et ℓ = 0,62 m (2 chiffres significatifs).
S = L × ℓ = 1,254 × 0,62 = 0,777 48 m² à la calculatrice.
C'est un produit : on garde 2 chiffres significatifs (la donnée la moins précise en a 2).
Le premier chiffre supprimé est 7, supérieur à 5 : on arrondit à 0,78.
S = 0,78 m², soit S = 7,8 × 10⁻¹ m².
Exemple
Un camion transporte 12,52 t de bauxite. On ajoute un chargement estimé à 3,1 t. Masse totale ?
12,52 a 2 décimales ; 3,1 a 1 décimale.
Somme : 12,52 + 3,1 = 15,62 t. C'est une addition : on garde 1 décimale.
Le premier chiffre supprimé est 2, inférieur à 5 : m = 15,6 t.
Exemple
Un taxi-brousse parcourt 150 km en 2,5 h. Calculer sa vitesse moyenne.
On admet que 150 km a 3 chiffres significatifs ; 2,5 h en a 2.
v = 150 / 2,5 = 60 km/h à la calculatrice.
Quotient : on garde 2 chiffres significatifs. Écrire « 60 » est ambigu ; on écrit v = 6,0 × 10¹ km/h.
Exemple
Le rayon d'un pneu de moto mesure R = 3,5 × 10⁻¹ m. Calculer la longueur d'un tour de roue.
C = 2πR = 2 × π × 0,35 = 2,199 1… m à la calculatrice.
2 et π sont exacts ; seul R (2 chiffres significatifs) limite la précision.
On garde 2 chiffres significatifs : C = 2,2 m.
Méthode
Pour bien présenter un résultat :
- Je garde tous les chiffres pendant le calcul et je n'arrondis qu'à la fin.
- Je choisis le nombre de chiffres significatifs (produit, quotient) ou de décimales (somme, différence) selon la règle.
- J'arrondis correctement.
- J'écris le résultat en écriture scientifique, avec son unité.
3Je retiens
Je retiens
Chiffres significatifs : les chiffres certains d'une mesure plus le premier chiffre incertain.
Les zéros à gauche ne sont pas significatifs ; les zéros entre deux chiffres ou à droite après la virgule le sont.
Écriture scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 ; a contient exactement les chiffres significatifs.
Produit, quotient : autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.
Somme, différence : autant de décimales que la donnée qui en a le moins.
On arrondit seulement à la fin ; si le premier chiffre supprimé est 5 ou plus, on augmente le dernier chiffre gardé de 1.
Les nombres exacts (2, π, ½, un effectif) ne limitent pas la précision.
4Erreurs fréquentes
- Recopier tous les chiffres de la calculatrice : 0,777 48 m² au lieu de 0,78 m² fait croire à une précision imaginaire.
- Compter les zéros de gauche : 0,0045 a 2 chiffres significatifs, pas 5.
- Supprimer un zéro utile à droite : si la mesure donne 2,50 m, écrire 2,5 m fait perdre une information sur la précision.
- Arrondir à chaque étape d'un long calcul : les erreurs d'arrondi s'accumulent. On garde tout et on arrondit une seule fois, à la fin.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne le nombre de chiffres significatifs de : a) 27,4 ; b) 0,008 ; c) 10,05 ; d) 0,4500 ; e) 3,0 × 10-2.
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a) 27,4 : 3 chiffres significatifs.
b) 0,008 : 1 chiffre significatif (les zéros de gauche ne comptent pas).
c) 10,05 : 4 chiffres significatifs (les zéros entre deux chiffres non nuls comptent).
d) 0,4500 : 4 chiffres significatifs (4, 5, 0, 0).
e) 3,0 × 10-2 : 2 chiffres significatifs.
2Exercice 2
Écris en écriture scientifique avec 3 chiffres significatifs, puis donne l'ordre de grandeur : a) 45 680 m ; b) 0,002 317 kg ; c) 999,6 s.
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a) 45 680 = 4,568 × 104 ; avec 3 chiffres (le chiffre supprimé est 8) : 4,57 × 104 m. Comme 4,57 < 5, l'ordre de grandeur est 104 m.
b) 0,002 317 = 2,317 × 10-3 ; avec 3 chiffres : 2,32 × 10-3 kg. Ordre de grandeur : 10-3 kg.
c) 999,6 = 9,996 × 102 ; le chiffre supprimé est 6, donc on arrondit 9,99 vers le haut : 10,0 × 102 = 1,00 × 103 s. Ordre de grandeur : 103 s.
3Exercice 3
Donne le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs :
a) 4,56 × 1,4 ; b) 25,03,00 ; c) 12,345 + 0,6 ; d) 8,20 - 3,156.
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a) 4,56 × 1,4 = 6,384 ; produit, 2 chiffres significatifs (à cause de 1,4) : 6,4.
b) 25,03,00 = 8,333… ; quotient, 3 chiffres significatifs : 8,33.
c) 12,345 + 0,6 = 12,945 ; somme, 1 décimale (à cause de 0,6) : 12,9.
d) 8,20 - 3,156 = 5,044 ; différence, 2 décimales (à cause de 8,20) : 5,04.
4Exercice 4
Un bloc de latérite a pour masse m = 25,6 g et pour volume V = 10,0 cm³. Calcule sa masse volumique en g/cm³, puis en kg·m⁻³, avec le bon nombre de chiffres significatifs.
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ρ = mV = 25,610,0 = 2,56 g/cm³. Les deux données ont 3 chiffres significatifs : on en garde 3.
1 g/cm3 = 10-3 kg10-6 m3 = 103 kg · m-3, donc ρ = 2,56 × 103 kg · m-3.
5Exercice 5
(Type composition) Fanta mesure avec un chronomètre la durée de 10 oscillations d'un pendule : elle trouve 12,6 s. La longueur du fil vaut ell = 0,400 m.
a) Combien de chiffres significatifs possède chaque mesure ?
b) Calcule la période T (durée d'une oscillation). Le 10 est-il une donnée mesurée ?
c) On admet que g = 4π2 ellT2. Calcule g et écris le résultat correctement.
d) Pourquoi Fanta mesure-t-elle 10 oscillations au lieu d'une seule ?
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a) 12,6 s a 3 chiffres significatifs ; 0,400 m a aussi 3 chiffres significatifs.
b) T = 12,610 = 1,26 s. Le 10 est un nombre exact (on a compté les oscillations) : il ne limite pas la précision, donc T garde 3 chiffres significatifs.
c) g = 4π2 × 0,4001,262 = 15,791…1,5876 = 9,946… m·s⁻².
Toutes les données mesurées ont 3 chiffres significatifs : g = 9,95 m · s-2.
d) L'erreur de déclenchement et d'arrêt du chronomètre (réflexe de l'opérateur) est à peu près la même pour une ou dix oscillations. En la répartissant sur 10 oscillations, l'erreur sur une période est environ 10 fois plus petite : la mesure est plus précise.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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