Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 21
Le mouvement circulaire uniforme
Je sais reconnaître un mouvement circulaire uniforme, écrire ses lois horaires, calculer période, fréquence, vitesse et accélération centripète, et représenter les vecteurs vitesse et accélération.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le mouvement circulaire uniforme
- Écrire les lois horaires θ = ωt + θ₀ et s = vt + s₀
- Utiliser v = Rω, T = 2π/ω, f = 1/T
- Expliquer pourquoi un mouvement circulaire uniforme est accéléré
- Calculer et représenter l'accélération centripète a = v²/R = Rω²
Avant de commencer : Le mouvement d'un solide (radian, abscisse angulaire, vitesse angulaire, v = Rω) ; le vecteur vitesse.
1Je découvre
Mamadou conduit sa moto sur le grand rond-point à l'entrée de la ville. Il garde l'aiguille du compteur bien fixe, à 36 km/h, et fait le tour complet sans accélérer ni freiner. Sa sœur Kadiatou, assise derrière lui, a pourtant l'impression d'être poussée vers l'extérieur du virage et se tient fort.
Plus tard, elle demande au professeur : « Si la vitesse ne change pas, pourquoi ai-je senti quelque chose ? » Le professeur répond : « La valeur de la vitesse ne change pas, c'est vrai. Mais sa direction, elle, change sans arrêt. Or un vecteur vitesse qui change, c'est une accélération. »
Kadiatou est surprise : on peut donc accélérer en roulant toujours à 36 km/h ?
Comment décrire un mouvement circulaire uniforme, et quelle est l'accélération d'un mobile qui tourne à vitesse constante ?
2Je comprends
1. Définition
Un point mobile a un mouvement circulaire uniforme quand :
- sa trajectoire est un cercle (ou un arc de cercle) de centre O et de rayon R ;
- la valeur de sa vitesse v est constante.
Exemples : un point du bord d'une meule qui tourne régulièrement, la nacelle d'une grande roue qui tourne à rythme constant, une moto qui fait le tour d'un rond-point sans changer de vitesse, et, en première approximation, un point de la surface de la Terre dans sa rotation autour de l'axe des pôles.
2. Repérer la position : angle et arc
On repère la position du point M sur le cercle par :
- son abscisse angulaire θ, angle en radians entre une demi-droite de référence [OA) et [OM] ;
- ou son abscisse curviligne s, longueur de l'arc oversetfrownAM ; on a s = R θ.
Dans un repère (O, i, j) d'origine le centre du cercle, ses coordonnées sont :
x = Rcosθ et y = Rsinθ.
3. Les lois horaires
Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse angulaire ω est constante (car v et R le sont, et ω = vR). L'angle augmente donc de la même quantité pendant des durées égales :
θ = ω t + θ0 (loi horaire angulaire)
s = v t + s0 (loi horaire curviligne), avec v = R ω.
θ0 et s0 sont les valeurs à la date t = 0.
4. Période et fréquence
Le mouvement se répète identique à lui-même à chaque tour : il est périodique.
- La période T est la durée d'un tour. Pendant T, le point parcourt 2π rad, soit une longueur 2π R :
T = 2πω = 2π Rv (en secondes).
- La fréquence f est le nombre de tours par seconde :
f = 1T = ω2π (en hertz, Hz).
| Grandeur | Formule | Unité |
|---|---|---|
| Vitesse angulaire | ω = ΔθΔ t = 2π f | rad/s |
| Vitesse | v = R ω = 2π RT | m/s |
| Période | T = 2πω | s |
| Fréquence | f = 1T | Hz |
5. Le vecteur vitesse change de direction
En chaque point, le vecteur vitesse v est tangent au cercle (donc perpendiculaire au rayon OM) et orienté dans le sens du mouvement. Sa norme v est constante, mais sa direction tourne avec le point.
Le vecteur vitesse n'est donc pas constant. Or un vecteur vitesse qui varie signifie une accélération : un mouvement circulaire uniforme est un mouvement accéléré, même si la valeur de la vitesse ne change pas. Seul le mouvement rectiligne uniforme a une accélération nulle.
6. L'accélération centripète
Le vecteur accélération a d'un point en mouvement circulaire uniforme a pour caractéristiques :
| Caractéristique | Vecteur accélération a |
|---|---|
| Origine | le point M |
| Direction | le rayon (MO) |
| Sens | vers le centre O du cercle |
| Norme | a = v2R = R ω2 (en m/s²) |
Comme il est dirigé vers le centre, on l'appelle accélération centripète (qui « cherche le centre »), ou accélération normale.
D'où vient la formule ? Pendant une durée très courte Δ t, le point tourne d'un petit angle Δθ = ω Δ t, et son vecteur vitesse tourne du même angle. La variation du vecteur vitesse est un petit vecteur dirigé vers le centre, de longueur environ v Δθ (un petit arc de rayon v). L'accélération vaut donc :
a = v ΔθΔ t = v ω = v × vR = v2R.
C'est cette accélération qui donne à Kadiatou l'impression d'être « poussée vers l'extérieur » : en réalité, son corps tend à continuer tout droit, et c'est la moto qui l'oblige à tourner en la tirant vers le centre.
Exemple
Mamadou roule à 36 km/h sur un rond-point de rayon R = 20 m. Calculer ω, T, f et l'accélération.
v = 36 / 3,6 = 10 m/s.
ω = v / R = 10 / 20 = 0,5 rad/s.
T = 2π / ω = 2π / 0,5 = 4π ≈ 12,6 s ; f = 1 / T ≈ 0,080 Hz.
a = v² / R = 10² / 20 = 100 / 20 = 5 m/s², dirigée vers le centre du rond-point.
Vérification : R ω² = 20 × 0,5² = 20 × 0,25 = 5 m/s². Juste.
Exemple
On assimile la Terre à une boule de rayon R ≈ 6 400 km qui fait un tour sur elle-même en T ≈ 24 h. Calculer la vitesse et l'accélération d'un point de l'équateur dans le référentiel géocentrique.
T = 24 × 3 600 = 86 400 s ; R = 6,4 × 10⁶ m.
v = 2πR / T = 2π × 6,4 × 10⁶ / 86 400 ≈ 465 m/s, soit environ 1 675 km/h.
a = v² / R = 465² / (6,4 × 10⁶) ≈ 216 000 / 6 400 000 ≈ 0,034 m/s².
Nous tournons très vite avec la Terre, mais l'accélération est faible parce que le rayon est immense.
Méthode
Pour résoudre un exercice de mouvement circulaire uniforme :
- J'écris les données en unités SI : R en m, v en m/s, T en s, angles en rad.
- Je relie les grandeurs : ω = 2π / T = 2π f ; v = R ω.
- J'écris les lois horaires : θ = ω t + θ₀ et s = v t + s₀.
- Je calcule l'accélération : a = v² / R = R ω², dirigée vers le centre.
- Je représente les vecteurs : v tangent au cercle dans le sens du mouvement, a sur le rayon vers le centre.
3Je retiens
Je retiens
Mouvement circulaire uniforme : trajectoire circulaire et valeur de la vitesse constante.
Lois horaires : θ = ω t + θ₀ ; s = v t + s₀ ; s = R θ ; v = R ω.
Période : T = 2π / ω = 2π R / v. Fréquence : f = 1 / T. ω = 2π f.
Vecteur vitesse : tangent au cercle, de norme constante mais de direction variable.
Vecteur accélération : centripète (dirigé vers le centre), de norme a = v² / R = R ω².
Le mouvement circulaire uniforme est accéléré ; seul le mouvement rectiligne uniforme a une accélération nulle.
4Erreurs fréquentes
- Dire que l'accélération est nulle parce que la vitesse est constante : c'est la valeur qui est constante, pas le vecteur vitesse, qui change de direction.
- Diriger l'accélération vers l'extérieur du cercle : dans un mouvement circulaire uniforme, elle est toujours dirigée vers le centre.
- Confondre période et fréquence : T est une durée (en s), f un nombre de tours par seconde (en Hz).
- Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans a = v² / R ou v = R ω.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un point décrit un cercle de rayon 2 m d'un mouvement uniforme ; il fait 5 tours en 10 s. Calcule f, T, ω, v et a.
Voir le corrigéCacher le corrigé
f = 510 = 0,5 Hz ; T = 1f = 2 s ; ω = 2π f = π ≈ 3,14 rad/s.
v = R ω = 2π ≈ 6,28 m/s ; a = R ω2 = 2π2 ≈ 19,7 m/s².
Vérification : v2R = (2π)22 = 2π2. Juste.
2Exercice 2
Un point décrit un cercle de rayon R = 0,5 m avec la loi horaire θ = 2t + π4 (unités SI).
a) Donne ω et θ0.
b) Calcule θ à t = 3 s.
c) Calcule la période, la vitesse et l'accélération.
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a) Par identification avec θ = ω t + θ0 : ω = 2 rad/s et θ0 = π4 ≈ 0,785 rad.
b) θ = 2 × 3 + π4 = 6 + 0,785 ≈ 6,79 rad.
c) T = 2πω = 2π2 = π ≈ 3,14 s ; v = R ω = 0,5 × 2 = 1 m/s ; a = v2R = 10,5 = 2 m/s².
3Exercice 3
Sur un rond-point de rayon 25 m, une moto ne doit pas dépasser une accélération centripète de 4 m/s², sinon elle risque de déraper. Calcule la vitesse maximale en m/s puis en km/h.
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a = v2R donne v2 = a R = 4 × 25 = 100, donc vmax = 10 m/s, soit 10 × 3,6 = 36 km/h.
4Exercice 4
Le tambour d'une essoreuse, de rayon 25 cm, tourne à 1 200 tr/min.
a) Calcule la vitesse angulaire du tambour.
b) Calcule la vitesse et l'accélération d'un point de la paroi du tambour.
c) Compare cette accélération à g = 9,8 m/s².
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ω = 1 200 × 2π60 = 40π ≈ 125,7 rad/s.
b) v = R ω = 0,25 × 125,7 ≈ 31,4 m/s. a = R ω2 = 0,25 × 125,72 ≈ 0,25 × 15 800 ≈ 3 950 m/s².
c) 3 9509,8 ≈ 403 : l'accélération vaut environ 400 fois g. C'est pour cela que l'eau est chassée du linge à travers les trous du tambour.
5Exercice 5
(Type composition) Fatoumata est assise sur un manège, à 4 m de l'axe. Le manège fait un tour en 8 s, régulièrement. On prend t = 0 quand elle passe au point A de référence (θ0 = 0 et s0 = 0).
a) Quelle est la nature du mouvement de Fatoumata dans le référentiel terrestre ?
b) Calcule ω, f et v.
c) Écris les lois horaires θ(t) et s(t).
d) Où est-elle à t = 10 s (angle en radians et en tours, longueur d'arc parcourue) ?
e) Calcule son accélération et précise sa direction et son sens.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Dans le référentiel terrestre, Fatoumata décrit un cercle de rayon 4 m à vitesse constante : mouvement circulaire uniforme.
b) ω = 2πT = 2π8 = π4 ≈ 0,785 rad/s ; f = 18 = 0,125 Hz ; v = R ω = 4 × π4 = π ≈ 3,14 m/s.
c) θ = π4 t et s = π t (unités SI).
d) À t = 10 s : θ = π4 × 10 = 2,5π ≈ 7,85 rad, soit 2,5π2π = 1,25 tour. Elle a fait un tour complet plus un quart de tour : elle se trouve à un quart de tour après le point A. L'arc parcouru vaut s = π × 10 ≈ 31,4 m.
e) a = v2R = π24 ≈ 2,47 m/s². L'accélération est portée par le rayon qui joint Fatoumata à l'axe du manège, et dirigée vers l'axe (accélération centripète).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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