Karamö, le prof virtuelLeçon 19 sur 21
La dilatation des solides
Je sais expliquer pourquoi un solide se dilate quand on le chauffe, calculer sa variation de longueur, de surface ou de volume, et justifier les précautions prises dans les constructions.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 3 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Mettre en évidence la dilatation des solides par des expériences simples
- Utiliser la relation L = L0 (1 + λ Δθ) de la dilatation linéique
- Calculer une dilatation surfacique ou volumique (β ≈ 2λ, k ≈ 3λ)
- Expliquer les applications et les inconvénients de la dilatation (rails, ponts, câbles, bilame)
Avant de commencer : La notion de chaleur et de température, l'agitation thermique, les puissances de 10 et la notation scientifique.
1Je découvre
En saison sèche, Mamadou accompagne son oncle, cheminot, le long de la voie ferrée qui transporte la bauxite jusqu'au port de Kamsar. Sur une portion ancienne de la voie, il remarque qu'entre deux rails successifs on a laissé un petit espace de quelques millimètres. « Pourquoi ne pas coller les rails bout à bout ? Le train serait moins secoué ! », demande-t-il.
L'oncle lui montre une vieille photo : une voie dont les rails se sont tordus comme des serpents après une journée de forte chaleur. « Le fer grandit quand il chauffe. Si on ne lui laisse pas de place, il pousse, et il se déforme. »
De retour à Kindia, Mamadou remarque que les câbles électriques entre les poteaux pendent davantage l'après-midi, en plein soleil, que tôt le matin. Et sa mère lui rappelle de ne jamais verser d'eau bouillante dans un verre épais et froid : il pourrait se fendre.
Comment un solide se dilate-t-il quand sa température augmente, de combien s'allonge-t-il, et comment en tenir compte dans la vie courante ?
2Je comprends
1. Mettre en évidence la dilatation
Expérience de l'anneau de s'Gravesande. Une boule métallique passe tout juste à travers un anneau à la température ambiante. On chauffe la boule à la flamme : elle ne passe plus. On la laisse refroidir : elle passe à nouveau.
- 1À froid, la boule passe tout juste à travers l'anneau.
- 2On chauffe la boule à la flamme : son volume augmente, elle reste bloquée sur l'anneau.
- 3On laisse refroidir la boule : son volume diminue, elle passe de nouveau.
- 4Conclusion : un solide chauffé se dilate ; refroidi, il se contracte.
Le pyromètre à cadran (dilatomètre). Une tige métallique fixée à une extrémité appuie par l'autre extrémité sur une aiguille qui tourne devant un cadran. Quand on chauffe la tige, l'aiguille tourne : la tige s'allonge. L'expérience montre que l'allongement est d'autant plus grand que la tige est longue, que l'élévation de température est grande, et qu'il dépend de la nature du métal.
Définition. La dilatation est l'augmentation des dimensions (longueur, surface, volume) d'un corps quand sa température augmente. L'effet inverse, lors d'un refroidissement, est la contraction.
Explication. Quand la température s'élève, l'agitation thermique des particules augmente : elles vibrent plus fort autour de leur position et s'écartent un peu les unes des autres. L'ensemble occupe alors plus de place. La masse, elle, ne change pas.
2. La dilatation linéique
Pour un solide allongé (tige, rail, câble, fil), on s'intéresse surtout à la variation de longueur. L'expérience donne :
Δ L = L - L0 = λ × L0 × Δθ, soit L = L0 (1 + λ Δθ)
- L0 : longueur à la température initiale θ0 ;
- L : longueur à la température θ ;
- Δθ = θ - θ0 : variation de température (en °C ou en K, c'est la même valeur) ;
- λ (lambda) : coefficient de dilatation linéique, en °C-1 ou K-1. Il dépend de la nature du solide.
Δ L et L0 doivent être dans la même unité (m, cm ou mm).
Ces coefficients sont très petits : la dilatation est faible, mais pas négligeable pour les grandes longueurs ou les grands écarts de température.
Exemple
Un rail en acier mesure 20 m à 20 °C. Au soleil, sa température atteint 60 °C. De combien s'allonge-t-il ? (λ = 1,2 × 10⁻⁵ °C⁻¹)
Δθ = 60 − 20 = 40 °C.
ΔL = λ × L0 × Δθ = 1,2 × 10⁻⁵ × 20 × 40 = 9,6 × 10⁻³ m = 9,6 mm.
Le rail mesure alors 20,0096 m : presque un centimètre de plus. D'où l'espace laissé entre les rails.
3. Les dilatations surfacique et volumique
Une plaque se dilate dans ses deux dimensions ; un bloc dans ses trois dimensions.
- Dilatation surfacique : S = S0 (1 + β Δθ), avec β ≈ 2λ.
- Dilatation volumique : V = V0 (1 + k Δθ), avec k ≈ 3λ.
Pourquoi 2λ et 3λ ? Un carré de côté a0 devient un carré de côté a0(1 + λΔθ) ; son aire devient a02(1 + λΔθ)2 = a02(1 + 2λΔθ + λ2Δθ2). Comme λΔθ est très petit, son carré est négligeable : il reste S ≈ S0(1 + 2λΔθ). Le même raisonnement avec un cube donne 3λ.
Un trou se dilate comme la matière qui l'occuperait. Une plaque percée qu'on chauffe voit son trou s'agrandir, et non se rétrécir. C'est pourquoi on peut enfiler un anneau chauffé sur un axe un peu trop gros.
Exemple
Un cube d'acier de volume 1 dm³ passe de 20 °C à 220 °C (λ = 1,2 × 10⁻⁵ °C⁻¹). Calculer l'augmentation de son volume.
k ≈ 3λ = 3,6 × 10⁻⁵ °C⁻¹ ; Δθ = 200 °C ; V0 = 1 dm³ = 1 000 cm³.
ΔV = k × V0 × Δθ = 3,6 × 10⁻⁵ × 1 000 × 200 = 7,2 cm³.
Méthode
Pour résoudre un problème de dilatation :
- Je repère le type de dilatation : longueur (λ), surface (β ≈ 2λ) ou volume (k ≈ 3λ).
- Je calcule Δθ = θ − θ0 (en °C ou en K, c'est pareil).
- J'écris ΔL = λ L0 Δθ (ou l'équivalent en surface ou en volume), avec L0 et ΔL dans la même unité.
- Si on cherche une température, j'isole Δθ = ΔL / (λ L0), puis θ = θ0 + Δθ.
- Je vérifie l'ordre de grandeur : la dilatation est toujours petite par rapport à la dimension de départ.
4. Inconvénients et précautions
La dilatation peut exercer des forces énormes si elle est empêchée. On prend donc des précautions :
- rails : on laisse un joint entre deux rails sur les voies classiques ; sur les voies modernes à rails soudés, on les fixe très solidement et on les pose à une température choisie ;
- ponts métalliques et ouvrages en béton : on prévoit des joints de dilatation et on pose une extrémité du pont sur des rouleaux ou des appuis glissants ;
- câbles électriques : on les pose avec une certaine flèche (ils pendent un peu) pour qu'ils ne cassent pas en se contractant par temps frais, les nuits d'harmattan par exemple ;
- verrerie : un verre épais chauffé brusquement se dilate à l'intérieur avant l'extérieur et se fend ; la verrerie de laboratoire et de cuisine qui va au feu est en verre borosilicaté, qui se dilate très peu.
Heureusement, le béton et l'acier ont presque le même coefficient de dilatation (environ 1,2 × 10-5 °C-1) : c'est ce qui permet de construire en béton armé sans que le béton se fissure autour des barres de fer.
5. Applications utiles
- Le bilame : deux lames de métaux différents (par exemple cuivre et fer) soudées l'une à l'autre. Chauffé, le bilame se courbe, car le cuivre s'allonge plus que le fer : le cuivre se place à l'extérieur de la courbure. Le bilame sert à ouvrir ou fermer un circuit dans les thermostats (fer à repasser, chauffe-eau) et les disjoncteurs.
- Le cerclage à chaud : le forgeron chauffe le cercle de fer d'une roue de charrette, l'enfile sur la roue en bois, puis le refroidit : en se contractant, il serre fortement la roue.
- Le rivetage à chaud : un rivet posé chaud serre les tôles en refroidissant.
- Le thermomètre à aiguille utilise souvent un bilame enroulé en spirale.
- rails qui se déforment sans joints
- ponts qui poussent sur leurs appuis
- câbles qui cassent au froid s'ils sont trop tendus
- verre épais qui se fend
- bilame des thermostats et disjoncteurs
- cercle de roue posé à chaud
- rivets posés à chaud
- thermomètre à bilame
3Je retiens
Je retiens
Un solide chauffé se dilate (ses dimensions augmentent) ; refroidi, il se contracte. Sa masse ne change pas.
Dilatation linéique : ΔL = λ × L0 × Δθ, soit L = L0 (1 + λ Δθ) ; λ en °C⁻¹ dépend du matériau.
Surfacique : S = S0 (1 + β Δθ) avec β ≈ 2λ ; volumique : V = V0 (1 + k Δθ) avec k ≈ 3λ.
Ordre de grandeur : λ(acier) ≈ 1,2 × 10⁻⁵ °C⁻¹ ; λ(aluminium) ≈ 2,3 × 10⁻⁵ °C⁻¹.
Précautions : joints de dilatation (rails, ponts), câbles posés avec une flèche, verre borosilicaté.
Applications : bilame (thermostat), cerclage et rivetage à chaud.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser la longueur finale L à la place de l'allongement ΔL : ΔL = L − L0 est toujours petit.
- Mélanger les unités : si L0 est en mètres, ΔL sort en mètres ; convertis ensuite en millimètres si besoin.
- Croire qu'un trou rétrécit quand on chauffe une plaque percée : il s'agrandit, comme le reste de la plaque.
- Utiliser λ au lieu de 3λ pour un volume : pour une variation de volume, il faut k ≈ 3λ.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un câble électrique en aluminium mesure 50 m entre deux poteaux, par une nuit d'harmattan à 20 °C. L'après-midi, sa température atteint 45 °C. Calcule son allongement (λ = 2,3 × 10-5 °C-1).
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Δθ = 45 - 20 = 25 °C. Δ L = 2,3 × 10-5 × 50 × 25 = 2,875 × 10-2 m ≈ 2,9 cm. Le câble pend davantage l'après-midi.
2Exercice 2
Un pont métallique en acier mesure 100 m. Sa température varie de 15 °C (nuit) à 45 °C (plein soleil). Calcule la variation de sa longueur et explique pourquoi l'une de ses extrémités repose sur des rouleaux (λ = 1,2 × 10-5 °C-1).
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Δθ = 45 - 15 = 30 °C. Δ L = 1,2 × 10-5 × 100 × 30 = 3,6 × 10-2 m = 3,6 cm. Si les deux extrémités étaient bloquées, le pont exercerait des forces énormes sur ses appuis et risquerait de se déformer. Les rouleaux laissent l'extrémité avancer et reculer librement.
3Exercice 3
Une plaque d'aluminium de surface 0,5 m² est chauffée de 100 °C (λ = 2,3 × 10-5 °C-1).
a) Quelle est la valeur de β ?
b) Calcule l'augmentation de sa surface, en m² puis en cm².
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a) β ≈ 2λ = 4,6 × 10-5 °C-1.
b) Δ S = β × S0 × Δθ = 4,6 × 10-5 × 0,5 × 100 = 2,3 × 10-3 m² = 23 cm² (car 1 m² = 10 000 cm²).
4Exercice 4
Un bilame est formé d'une lame de cuivre et d'une lame de fer soudées. On le chauffe.
a) Pourquoi se courbe-t-il ?
b) De quel côté se trouve le cuivre : à l'intérieur ou à l'extérieur de la courbure ? Justifie.
c) Cite deux appareils qui utilisent un bilame.
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a) Les deux métaux n'ont pas le même coefficient de dilatation : le cuivre (1,7 × 10-5) s'allonge plus que le fer (1,2 × 10-5). Comme ils sont soudés, la lame ne peut que se courber.
b) Le cuivre, plus long, se place à l'extérieur de la courbure (l'arc extérieur est le plus long).
c) Thermostat d'un fer à repasser ou d'un chauffe-eau ; disjoncteur ; thermomètre à aiguille.
5Exercice 5
(Type examen) Un forgeron de Siguiri doit poser un cercle de fer sur une roue en bois de diamètre 1,000 m. À 20 °C, le diamètre intérieur du cercle est de 0,998 m. (λfer = 1,2 × 10-5 °C-1)
a) Le cercle se dilate-t-il comme un anneau plein ou son diamètre diminue-t-il quand on le chauffe ? Justifie.
b) Calcule la température minimale à laquelle il faut porter le cercle pour qu'il puisse être enfilé sur la roue.
c) Explique ce qui se passe quand le cercle refroidit.
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a) Le cercle se dilate comme le disque de fer plein qui l'occuperait : son diamètre intérieur augmente.
b) Il faut Δ D = 1,000 - 0,998 = 0,002 m. Δθ = Δ Dλ × D0 = 0,0021,2 × 10-5 × 0,998 = 0,0021,1976 × 10-5 ≈ 167 °C. Température minimale : θ = 20 + 167 = 187 °C (en pratique, on chauffe un peu plus).
c) En refroidissant, le cercle se contracte ; mais la roue l'empêche de reprendre son diamètre de 0,998 m. Il serre donc très fortement la roue et maintient toutes les pièces de bois ensemble.
6Exercice 6
(Type examen) Des rails en acier de 12 m sont posés à 30 °C, avec un espace de 4 mm entre deux rails (λ = 1,2 × 10-5 °C-1).
a) Jusqu'à quelle température les rails peuvent-ils s'échauffer avant que deux rails se touchent ?
b) Au soleil, un rail peut dépasser 60 °C. Conclus.
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a) Les rails se touchent quand Δ L = 4 mm = 0,004 m. Δθ = 0,0041,2 × 10-5 × 12 = 0,0041,44 × 10-4 ≈ 27,8 °C. Température limite : 30 + 27,8 ≈ 57,8 °C.
b) Au-delà de 57,8 °C, les rails se touchent et se poussent : ils risquent de se déformer. L'espace de 4 mm est insuffisant pour une pose à 30 °C ; il faut un joint plus large ou une pose à une température plus élevée.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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