Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 17
Les nombres réels
Je sais reconnaître à quel ensemble appartient un nombre, écrire des intervalles, utiliser la valeur absolue et calculer avec des racines carrées.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les ensembles N, Z, D, Q, R et leurs inclusions
- Écrire un ensemble de nombres sous forme d'intervalle, d'intersection ou de réunion
- Interpréter la valeur absolue comme une distance
- Simplifier des expressions contenant des racines carrées
Avant de commencer : Les calculs sur les fractions et les puissances (leçon « Activités numériques ») et la notion de racine carrée vue au collège.
1Je découvre
Alpha, à Pita, veut construire une claie carrée pour faire sécher le fonio. Il veut que sa surface soit exactement de 2 m². Quelle longueur doit-il donner au côté ?
Il cherche un nombre c tel que c2 = 2. Il essaie : 1,42 = 1,96, un peu trop petit ; 1,52 = 2,25, trop grand. Il affine : 1,412 = 1,988 1 et 1,422 = 2,016 4. Il peut continuer longtemps : la calculatrice affiche 1,414 213 56… et les décimales ne s'arrêtent jamais.
Ce nombre, noté √2, n'est ni un entier, ni un décimal, ni même une fraction. Pourtant, c'est bien la longueur d'un côté que l'on peut tracer.
Quels sont les différents « types » de nombres, comment les ranger, et comment calculer avec des nombres comme √2 ?
2Je comprends
1. Les ensembles de nombres
| Ensemble | Nom | Exemples |
|---|---|---|
| ℕ | entiers naturels | 0 ; 5 ; 2 026 |
| ℤ | entiers relatifs | -7 ; 0 ; 12 |
| ⅅ | nombres décimaux (s'écrivent a10n) | 0,25 ; -3,1 ; 34 = 0,75 |
| ℚ | nombres rationnels (s'écrivent ab, a ∈ ℤ, b ∈ ℤ^*) | 13 ; -57 ; 0,2 |
| ℝ | nombres réels (tous les nombres de la droite graduée) | √2 ; π ; -4 ; 23 |
Chaque ensemble est contenu dans le suivant : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⅅ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Un réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel : √2, √3, π sont irrationnels. Leur écriture décimale est illimitée et non périodique. À l'inverse, 13 = 0,333… a une écriture illimitée mais périodique : il est rationnel, mais pas décimal.
On écrit ∈ pour « appartient à » et ∉ pour « n'appartient pas à » : -3 ∈ ℤ, -3 ∉ ℕ.
Exemple
Où ranger ces nombres : −4 ; 3/4 ; 1/3 ; √16 ; √5 ; −2,5 ?
−4 ∈ Z (mais −4 ∉ N).
3/4 = 0,75 ∈ D.
1/3 ∈ Q, mais 1/3 ∉ D (écriture 0,333… illimitée).
√16 = 4 ∈ N.
√5 est irrationnel : √5 ∈ R, √5 ∉ Q.
−2,5 ∈ D.
2. Les intervalles
Sur la droite graduée, chaque réel correspond à un point. Un intervalle est l'ensemble des réels compris entre deux bornes. Le crochet est tourné vers le nombre quand la borne est incluse, tourné vers l'extérieur quand elle est exclue.
| Inégalité | Intervalle | Lecture |
|---|---|---|
| a ≤ x ≤ b | [a ; b] | fermé |
| a < x < b | ]a ; b[ | ouvert |
| a ≤ x < b | [a ; b[ | semi-ouvert |
| x ≥ a | [a ; +∞[ | |
| x < b | ]-∞ ; b[ |
Du côté de +∞ ou -∞, le crochet est toujours ouvert : l'infini n'est pas un nombre.
L'intersection I ∩ J contient les réels qui sont dans I et dans J. La réunion I ∪ J contient les réels qui sont dans I ou dans J.
Exemple
I = [−1 ; 4] et J = ]2 ; 7]. Déterminer I ∩ J et I ∪ J.
On place les deux intervalles sur une droite.
Partie commune : de 2 (exclu, car 2 ∉ J) à 4 (inclus) : I ∩ J = ]2 ; 4].
Réunion : de −1 (inclus) à 7 (inclus) : I ∪ J = [−1 ; 7].
3. La valeur absolue
La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, est sa distance à zéro :
|x| = x si x ≥ 0 et |x| = -x si x < 0.
Ainsi |5| = 5, |-5| = 5, |0| = 0. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle.
Plus généralement, |x - a| est la distance entre les points d'abscisses x et a sur la droite graduée. Cela permet de traduire des conditions :
- |x - a| = r (avec r > 0) : x = a - r ou x = a + r ;
- |x - a| ≤ r : x ∈ [a - r ; a + r].
Exemple
Résoudre |x − 3| ≤ 2.
La distance entre x et 3 doit être au plus 2.
On part de 3 et on s'écarte de 2 de chaque côté : 3 − 2 = 1 et 3 + 2 = 5.
Donc 1 ≤ x ≤ 5, soit x ∈ [1 ; 5].
4. Calculer avec des racines carrées
Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré vaut a. Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 (et b ≠ 0 quand il est au dénominateur) :
- √a × b = √a × √b et √ab = √a√b ;
- (√a)2 = a et √a2 = |a| pour tout réel a.
Mais √a + b ≠ √a + √b en général : √9 + 16 = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 7.
Méthode
Pour simplifier une somme de racines carrées :
- Je décompose chaque nombre sous la racine en « carré parfait × autre nombre » (4, 9, 16, 25, 36…).
- Je sors le carré parfait : √(k² × a) = k√a.
- Je regroupe les termes qui ont la même racine, comme des termes semblables.
- Pour enlever une racine du dénominateur, je multiplie en haut et en bas par cette racine (ou par l'expression conjuguée).
Exemple
Simplifier S = √50 + √18 − √8.
√50 = √(25 × 2) = 5√2 ; √18 = √(9 × 2) = 3√2 ; √8 = √(4 × 2) = 2√2.
S = 5√2 + 3√2 − 2√2 = 6√2.
Exemple
Écrire sans racine au dénominateur : 3/√3 puis 2/(√5 − 1).
3/√3 = (3 × √3)/(√3 × √3) = 3√3/3 = √3.
Pour 2/(√5 − 1), on multiplie par la conjuguée √5 + 1 :
2(√5 + 1) / [(√5 − 1)(√5 + 1)] = 2(√5 + 1)/(5 − 1) = (√5 + 1)/2.
5. Encadrer et arrondir un réel irrationnel
On ne peut pas écrire toutes les décimales de √2, mais on peut l'encadrer : 1,41 < √2 < 1,42 est un encadrement d'amplitude 0,01. L'arrondi au centième est 1,41. Pour la claie d'Alpha, un côté de 1,41 m donne une surface de 1,988 1 m², ce qui suffit en pratique ; mais la valeur exacte du côté reste √2 m.
3Je retiens
Je retiens
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Un irrationnel (√2, π…) est réel mais pas rationnel.
[a ; b] : bornes incluses ; ]a ; b[ : bornes exclues ; toujours ouvert en +∞ et −∞.
I ∩ J : dans I et dans J ; I ∪ J : dans I ou dans J.
|x| = x si x ≥ 0, |x| = −x si x < 0 ; |x − a| est la distance entre x et a.
|x − a| ≤ r équivaut à x ∈ [a − r ; a + r].
√(ab) = √a × √b ; √(a/b) = √a/√b ; mais √(a + b) ≠ √a + √b.
4Erreurs fréquentes
- Mettre un crochet fermé en l'infini : on écrit [3 ; +∞[ et jamais [3 ; +∞].
- Croire que |−x| est toujours négatif : |x| et |−x| sont toujours positifs ou nuls.
- Écrire √(9 + 16) = 3 + 4 : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.
- Penser que 1/3 est décimal parce que la calculatrice affiche 0,333 333 3 : l'écriture ne s'arrête jamais.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque nombre, donne le plus petit ensemble (ℕ, ℤ, ⅅ, ℚ ou ℝ) auquel il appartient :
7 ; -3 ; 0,25 ; 23 ; √9 ; √7 ; -124 ; π.
Voir le corrigéCacher le corrigé
7 ∈ ℕ ; -3 ∈ ℤ ; 0,25 ∈ ⅅ ; 23 ∈ ℚ (écriture 0,666… illimitée, donc pas décimal) ; √9 = 3 ∈ ℕ ; √7 ∈ ℝ (irrationnel) ; -124 = -3 ∈ ℤ ; π ∈ ℝ (irrationnel).
2Exercice 2
a) Écris sous forme d'intervalle : -1 < x ≤ 4 ; x ≥ 3 ; x < 0.
b) On donne I = [-2 ; 3] et J = ]1 ; 6[. Détermine I ∩ J et I ∪ J.
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a) ]-1 ; 4] ; [3 ; +∞[ ; ]-∞ ; 0[.
b) Partie commune : de 1 (exclu, car 1 ∉ J) à 3 (inclus) : I ∩ J = ]1 ; 3]. Réunion : de -2 (inclus) à 6 (exclu) : I ∪ J = [-2 ; 6[.
3Exercice 3
a) Calcule |-7|, |3 - 8| et |√2 - 2|.
b) Résous |x - 1| = 4.
c) Résous |x + 2| < 3 et donne la réponse sous forme d'intervalle.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) |-7| = 7 ; |3 - 8| = |-5| = 5 ; comme √2 ≈ 1,41 < 2, on a √2 - 2 < 0, donc |√2 - 2| = 2 - √2.
b) La distance entre x et 1 vaut 4 : x = 1 - 4 = -3 ou x = 1 + 4 = 5. S = {-3 ; 5}.
c) |x + 2| = |x - (-2)| : distance entre x et -2, strictement inférieure à 3. Donc -2 - 3 < x < -2 + 3, soit x ∈ ]-5 ; 1[.
4Exercice 4
Simplifie.
a) √75 b) √12 + √27 - √48 c) (√5 + 1)(√5 - 1) d) 6√2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) √75 = √25 × 3 = 5√3.
b) √12 = 2√3, √27 = 3√3, √48 = √16 × 3 = 4√3. Total : (2 + 3 - 4)√3 = √3.
c) Identité (a + b)(a - b) = a2 - b2 : (√5)2 - 12 = 5 - 1 = 4.
d) 6√2 = 6√22 = 3√2.
5Exercice 5
(Type examen) On pose A = (2 - √3)2.
a) Développe A et montre que A = 7 - 4√3.
b) Justifie que 2 - √3 > 0, puis déduis-en la valeur de √7 - 4√3.
c) Sachant que 1,732 < √3 < 1,733, donne un encadrement de 2 - √3.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) A = 22 - 2 × 2 × √3 + (√3)2 = 4 - 4√3 + 3 = 7 - 4√3.
b) (√3)2 = 3 < 4 = 22 et les deux nombres sont positifs, donc √3 < 2 et 2 - √3 > 0. Comme 7 - 4√3 = (2 - √3)2 : √7 - 4√3 = |2 - √3| = 2 - √3.
c) En multipliant l'encadrement par -1, on inverse le sens : -1,733 < -√3 < -1,732. On ajoute 2 : 0,267 < 2 - √3 < 0,268.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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