Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 17
Représentation graphique d'une fonction
Je sais tracer la courbe d'une fonction à partir d'un tableau de valeurs, lire sur un graphique images, antécédents et variations, et résoudre graphiquement des équations et des inéquations.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Construire un tableau de valeurs et tracer la courbe représentative d'une fonction
- Savoir si un point appartient à une courbe
- Lire graphiquement images, antécédents et tableau de variations
- Résoudre graphiquement f(x) = k, f(x) = g(x) et des inéquations
Avant de commencer : Les généralités sur les fonctions : image, antécédent, ensemble de définition, sens de variation, parité (leçon précédente), et le repérage dans le plan.
1Je découvre
Alpha, élève de 11e à Mamou, veut comprendre pourquoi une calebasse de lait se conserve mieux le matin. Un jour de saison sèche, il relève lui-même la température sous l'auvent de sa maison toutes les trois heures. Il écrit ses mesures dans un tableau :
| Heure | 6 h | 9 h | 12 h | 15 h | 18 h | 21 h |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Température (°C) | 16 | 22 | 29 | 31 | 26 | 20 |
Son professeur lui conseille de placer ces points dans un repère, l'heure en abscisse et la température en ordonnée, puis de les relier par une ligne régulière. D'un seul coup d'œil, Alpha voit alors que la température monte le matin, atteint son maximum dans l'après-midi, puis redescend. Il peut même estimer à quelles heures il faisait plus de 25 °C, sans refaire de mesure.
Un dessin bien fait « parle » plus vite qu'un tableau de nombres.
Comment représenter une fonction par une courbe, et que peut-on lire sur cette courbe ?
2Je comprends
1. La courbe représentative
On se place dans un repère (O ; I ; J) du plan. La courbe représentative de la fonction f, notée mathcalCf, est l'ensemble des points M(x ; y) tels que :
x ∈ Df et y = f(x).
On dit que y = f(x) est l'équation de la courbe. Conséquence très utile :
Le point M(a ; b) appartient à mathcalCf si et seulement si f(a) = b.
Exemple
Soit f(x) = x² − 4x + 3. Les points A(5 ; 8) et B(2 ; 0) sont-ils sur la courbe de f ?
f(5) = 25 − 20 + 3 = 8 : A appartient à la courbe.
f(2) = 4 − 8 + 3 = −1 et −1 ≠ 0 : B n'appartient pas à la courbe.
2. Tracer une courbe
Méthode
Pour tracer la courbe d'une fonction sur un intervalle :
- Je choisis des valeurs de x régulièrement espacées dans l'intervalle.
- Je calcule les images et je les range dans un tableau de valeurs.
- Je choisis des unités adaptées sur chaque axe (elles peuvent être différentes).
- Je place les points (x ; f(x)).
- Je les relie à main levée par une courbe régulière, sans faire de segments ni d'angles.
Exemple
Tableau de valeurs de f(x) = x² − 4x + 3 sur [−1 ; 5].
x : −1 0 1 2 3 4 5
f(x) : 8 3 0 −1 0 3 8
Calcul pour x = −1 : (−1)² − 4 × (−1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8.
Calcul pour x = 2 : 4 − 8 + 3 = −1.
3. Lectures graphiques
Sur la courbe de f :
- l'image de a se lit en partant de a sur l'axe des abscisses, en montant (ou descendant) jusqu'à la courbe, puis en lisant l'ordonnée du point obtenu ;
- les antécédents de b se lisent en traçant la droite horizontale d'équation y = b : ce sont les abscisses des points d'intersection avec la courbe.
Sur le graphique ci-dessus : l'image de 4 est 3 ; les antécédents de 3 sont 0 et 4 ; le nombre -2 n'a aucun antécédent (la courbe ne descend jamais jusqu'à -2).
Une lecture graphique donne en général des valeurs approchées ; quand on peut, on les confirme par le calcul.
4. Le tableau de variations
Quand on parcourt la courbe de la gauche vers la droite :
- si elle monte, la fonction est croissante ;
- si elle descend, la fonction est décroissante.
On résume dans un tableau de variations, avec des flèches. Pour f(x) = x2 - 4x + 3 sur [-1 ; 5] :
| x | -1 | 2 | 5 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 8 | searrow | -1 | nearrow | 8 |
f est décroissante sur [-1 ; 2] et croissante sur [2 ; 5].
5. Résoudre graphiquement
| Équation ou inéquation | On cherche les abscisses des points… |
|---|---|
| f(x) = k | d'intersection de mathcalCf et de la droite y = k |
| f(x) > k | de mathcalCf situés au-dessus de la droite y = k |
| f(x) = g(x) | d'intersection de mathcalCf et mathcalCg |
| f(x) < g(x) | de mathcalCf situés au-dessous de mathcalCg |
Exemple
Avec le graphique ci-dessus, résoudre f(x) < 0, puis f(x) = x − 1 et f(x) > x − 1 sur [−1 ; 5].
f(x) < 0 : la courbe est strictement sous l'axe des abscisses entre x = 1 et x = 3. S = ]1 ; 3[.
f(x) = x − 1 : la courbe et la droite se coupent aux points d'abscisses 1 et 4. S = {1 ; 4}.
Confirmation par le calcul : x² − 4x + 3 = x − 1 ⇔ x² − 5x + 4 = 0 ⇔ (x − 1)(x − 4) = 0.
f(x) > x − 1 : la courbe est au-dessus de la droite à gauche de 1 et à droite de 4. S = [−1 ; 1[ ∪ ]4 ; 5].
6. Parité et symétrie de la courbe
- Si f est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (exemple : y = x2).
- Si f est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O (exemple : y = x3).
Il suffit alors d'étudier et de tracer la courbe pour x ≥ 0, puis de compléter par symétrie : cela divise le travail par deux.
3Je retiens
Je retiens
C_f est l'ensemble des points M(x ; f(x)) ; son équation est y = f(x).
M(a ; b) ∈ C_f si et seulement si f(a) = b.
Image de a : ordonnée du point de la courbe d'abscisse a.
Antécédents de b : abscisses des points d'intersection avec la droite y = b.
Courbe qui monte : f croissante ; courbe qui descend : f décroissante.
f(x) = g(x) : abscisses des points d'intersection ; f(x) > g(x) : C_f au-dessus de C_g.
Paire : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ; impaire : symétrie par rapport à O.
4Erreurs fréquentes
- Donner un point au lieu d'un nombre : les solutions de f(x) = 3 sont des abscisses (0 et 4), pas les points (0 ; 3) et (4 ; 3).
- Relier les points du tableau par des segments : on trace une courbe régulière.
- Inverser abscisse et ordonnée : dans M(2 ; −1), 2 se lit sur l'axe horizontal.
- Oublier les bornes de l'intervalle d'étude dans une résolution graphique d'inéquation.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit f(x) = -x2 + 2x + 3 sur [-2 ; 4].
a) Recopie et complète le tableau de valeurs pour x = -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4.
b) Les points A(1 ; 4), B(2 ; 2) et C(-1 ; 0) appartiennent-ils à la courbe de f ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a)
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | -5 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | -5 |
Exemple de calcul : f(-2) = -4 - 4 + 3 = -5.
b) f(1) = 4 : A est sur la courbe. f(2) = 3 ≠ 2 : B n'y est pas. f(-1) = 0 : C est sur la courbe.
2Exercice 2
Voici la courbe de la fonction f de l'exercice 1.
Par lecture graphique :
a) donne l'image de 0 et les antécédents de 3 ;
b) résous f(x) = 0, puis f(x) ≥ 0 ;
c) dresse le tableau de variations de f et donne sa plus grande valeur.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) L'image de 0 est 3. La droite y = 3 coupe la courbe aux points d'abscisses 0 et 2 : les antécédents de 3 sont 0 et 2.
b) f(x) = 0 : la courbe coupe l'axe des abscisses en -1 et 3, donc S = {-1 ; 3}. f(x) ≥ 0 : la courbe est sur ou au-dessus de l'axe entre -1 et 3, donc S = [-1 ; 3].
c)
| x | -2 | 1 | 4 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | -5 | nearrow | 4 | searrow | -5 |
La plus grande valeur de f est 4, atteinte pour x = 1.
3Exercice 3
Soit g(x) = 2x - 1x + 1.
a) Les points A(0 ; -1), B(2 ; 1) et C(-2 ; 3) sont-ils sur la courbe de g ?
b) Trouve les points où la courbe coupe l'axe des ordonnées, puis l'axe des abscisses.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) g(0) = -11 = -1 : A est sur la courbe. g(2) = 33 = 1 : B est sur la courbe. g(-2) = -5-1 = 5 ≠ 3 : C n'y est pas.
b) Axe des ordonnées (x = 0) : point (0 ; -1). Axe des abscisses : g(x) = 0 ⇔ 2x - 1 = 0 et x ≠ -1, soit x = 12 : point (12 ; 0).
4Exercice 4
a) f est une fonction paire définie sur [-3 ; 3] avec f(1) = 2, f(2) = -1 et f(3) = 0. Donne f(-1), f(-2) et f(-3).
b) h est une fonction impaire définie sur ℝ avec h(1) = 2 et h(2) = -1. Donne h(-1), h(-2) et h(0).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Paire : f(-x) = f(x). Donc f(-1) = 2, f(-2) = -1, f(-3) = 0.
b) Impaire : h(-x) = -h(x). Donc h(-1) = -2, h(-2) = 1. Et h(0) = -h(0) donne 2h(0) = 0, soit h(0) = 0.
5Exercice 5
(Type examen) On considère f(x) = x2 - 2x - 3 et g(x) = x + 1 sur [-2 ; 4].
a) Dresse un tableau de valeurs de f pour les entiers de -2 à 4.
b) Trace dans un même repère les courbes de f et de g.
c) Résous graphiquement f(x) = g(x), puis f(x) ≤ g(x).
d) Retrouve ces résultats par le calcul, en vérifiant que f(x) - g(x) = (x - 4)(x + 1).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a)
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
b) On place ces points et on les relie par une courbe régulière ; la droite de g passe par (0 ; 1) et (4 ; 5).
c) Les courbes se coupent en (-1 ; 0) et (4 ; 5) : f(x) = g(x) pour x = -1 ou x = 4. La courbe de f est sous la droite entre ces deux points : f(x) ≤ g(x) pour x ∈ [-1 ; 4].
d) f(x) - g(x) = x2 - 2x - 3 - x - 1 = x2 - 3x - 4, et (x - 4)(x + 1) = x2 + x - 4x - 4 = x2 - 3x - 4. C'est juste.
f(x) = g(x) ⇔ (x - 4)(x + 1) = 0 ⇔ x = 4 ou x = -1.
Signe de (x - 4)(x + 1) : négatif entre -1 et 4, nul en -1 et 4. Donc f(x) ≤ g(x) ⇔ x ∈ [-1 ; 4]. Le calcul confirme la lecture.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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