Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 17
Présentation des données
Je sais choisir, construire et lire le graphique adapté à une série statistique : diagramme en bâtons ou en barres, diagramme circulaire, histogramme et polygone des effectifs cumulés.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Choisir un graphique adapté à la nature du caractère
- Construire un diagramme en bâtons, en barres et un diagramme circulaire ou semi-circulaire
- Construire un histogramme, y compris avec des classes d'amplitudes différentes
- Tracer et lire le polygone des effectifs cumulés croissants, et repérer un graphique trompeur
Avant de commencer : L'organisation des données : effectifs, fréquences, effectifs cumulés, classes (leçons 15 et 16), et la proportionnalité.
1Je découvre
Kadiatou fait partie du conseil des jeunes de son quartier, à Labé. Elle doit présenter en cinq minutes les résultats d'une enquête sur les dépenses des familles, devant des parents dont beaucoup n'aiment pas les chiffres. Son tableau est juste, mais personne ne le regarde vraiment.
Son professeur lui conseille : « Fais un dessin. Un bon graphique montre en une seconde ce qu'un tableau montre en une minute. Mais attention : choisis le bon graphique, sinon tu risques de tromper ton public, même sans le vouloir. »
Kadiatou hésite : faut-il des barres, un « camembert », des rectangles collés ? Et pourquoi certains graphiques qu'elle voit dans les journaux donnent-ils l'impression qu'une hausse est énorme alors qu'elle est petite ?
Quel graphique choisir selon le type de données, comment le construire avec précision, et comment le lire sans se laisser tromper ?
2Je comprends
1. Choisir le bon graphique
| Nature du caractère | Graphique adapté |
|---|---|
| Qualitatif | diagramme en barres (ou tuyaux d'orgue), diagramme circulaire ou semi-circulaire |
| Quantitatif discret | diagramme en bâtons, polygone des effectifs |
| Quantitatif continu (classes) | histogramme, polygone des effectifs cumulés |
Le diagramme circulaire convient pour montrer la répartition d'un tout en parts (budget, population par région). Le diagramme en bâtons ou en barres convient pour comparer des effectifs.
2. Diagramme en barres et diagramme en bâtons
- Diagramme en barres (caractère qualitatif) : une barre par modalité, de même largeur, séparées par des espaces ; la hauteur est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence). L'ordre des modalités n'a pas d'importance.
- Diagramme en bâtons (caractère discret) : les valeurs sont placées sur un axe gradué ; en chaque valeur, on trace un trait vertical de hauteur proportionnelle à l'effectif.
On relie parfois les sommets des bâtons par des segments : c'est le polygone des effectifs.
Toujours indiquer : un titre, le nom et l'unité de chaque axe, une graduation régulière qui commence à zéro sur l'axe des effectifs.
3. Diagramme circulaire et semi-circulaire
Dans un diagramme circulaire, chaque modalité est un secteur dont l'angle est proportionnel à l'effectif. Le disque entier (360°) représente l'effectif total :
angle = niN × 360° = fi × 360°.
Pour un diagramme semi-circulaire, on remplace 360° par 180°.
Méthode
Pour construire un diagramme circulaire :
- Je calcule la fréquence de chaque modalité : f = n/N.
- Je calcule chaque angle : f × 360° (ou f × 180° pour un demi-disque).
- Je vérifie que la somme des angles fait 360° (ou 180°).
- Je trace un cercle, un rayon de départ, puis chaque secteur au rapporteur, l'un après l'autre.
- J'écris le nom de chaque modalité (et son pourcentage) dans son secteur ou dans une légende.
Exemple
Mode de transport des 40 élèves de la classe de Hawa : à pied 22 ; moto-taxi 10 ; vélo 5 ; voiture 3.
À pied : 22/40 × 360° = 198°.
Moto-taxi : 10/40 × 360° = 90°.
Vélo : 5/40 × 360° = 45°.
Voiture : 3/40 × 360° = 27°.
Vérification : 198 + 90 + 45 + 27 = 360°.
En semi-circulaire : on divise chaque angle par 2 (99° ; 45° ; 22,5° ; 13,5°), total 180°.
4. L'histogramme
Pour un caractère continu regroupé en classes, on trace un histogramme : des rectangles accolés (sans espace, car les classes se suivent), dont la base est la classe sur l'axe horizontal.
Règle essentielle : dans un histogramme, c'est l'aire de chaque rectangle qui est proportionnelle à l'effectif.
- Si toutes les classes ont la même amplitude, la hauteur est simplement proportionnelle à l'effectif.
- Si une classe est deux fois plus large, sa hauteur doit être divisée par deux : hauteur = effectifamplitude × amplitude de référence.
Exemple
Durées de trajet de 20 élèves (leçon 16) : [0 ; 10[ : 3 ; [10 ; 20[ : 6 ; [20 ; 30[ : 6 ; [30 ; 40[ : 3 ; [40 ; 60[ : 2.
Amplitude de référence : 10 min. La dernière classe a une amplitude de 20, soit deux fois plus.
Hauteurs : 3 ; 6 ; 6 ; 3 ; et 2 ÷ 2 = 1 pour [40 ; 60[.
Si on dessinait une hauteur de 2 pour la dernière classe, son rectangle aurait une aire de 2 × 20 = 40, comme s'il y avait 4 élèves : ce serait faux.
5. Le polygone des effectifs cumulés croissants
Pour un caractère continu, on place les points qui ont pour abscisse la borne supérieure de chaque classe et pour ordonnée l'effectif cumulé croissant correspondant ; on part de la borne inférieure de la première classe avec l'effectif 0. On relie les points par des segments.
Ce polygone permet d'estimer le nombre d'individus ayant une valeur inférieure à un nombre donné, même s'il n'est pas une borne de classe.
Lecture : combien d'élèves mettent moins de 25 min ? 25 est au milieu de [20 ; 30[ ; sur le segment qui va de (20 ; 9) à (30 ; 15), on lit environ 9 + 12 × 6 = 12 élèves. C'est une estimation : on suppose que les valeurs sont réparties régulièrement dans la classe.
6. Repérer un graphique trompeur
Un graphique peut induire en erreur :
- si l'axe des effectifs ne commence pas à zéro : une petite différence paraît énorme ;
- si les graduations ne sont pas régulières ;
- si, dans un histogramme à classes inégales, on n'a pas corrigé les hauteurs ;
- si un dessin en volume grossit une image dans deux ou trois directions à la fois.
Avant de conclure, lis toujours les axes, les unités et la source des données.
3Je retiens
Je retiens
Qualitatif : barres ou diagramme circulaire ; discret : bâtons ; continu : histogramme.
Angle d'un secteur = f × 360° (ou f × 180° pour un demi-disque) ; la somme fait 360° (180°).
Barres séparées pour un caractère qualitatif ; rectangles accolés pour un histogramme.
Histogramme : l'aire est proportionnelle à l'effectif ; classe deux fois plus large → hauteur divisée par deux.
Polygone des ECC : points (borne supérieure ; ECC), en partant de (première borne ; 0).
Un graphique complet a un titre, des axes nommés avec unités et des graduations régulières à partir de 0.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de multiplier par 360 : l'angle d'une fréquence de 0,25 est 90°, pas 0,25°.
- Tracer un histogramme pour un caractère qualitatif, ou coller les barres d'un diagramme en barres.
- Garder la hauteur égale à l'effectif pour une classe plus large dans un histogramme.
- Placer les points du polygone des ECC au centre des classes : on les place à la borne supérieure.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque série, indique le graphique le plus adapté et justifie.
a) La langue parlée à la maison par les élèves d'un lycée.
b) Le nombre de livres lus pendant les vacances par 30 élèves (valeurs 0 à 5).
c) Les masses de 24 sacs d'arachides regroupées en classes.
d) La répartition du budget d'une famille entre ses différents postes de dépense.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Caractère qualitatif : diagramme en barres ou circulaire.
b) Caractère quantitatif discret : diagramme en bâtons.
c) Caractère continu regroupé en classes : histogramme.
d) Répartition d'un tout en parts : diagramme circulaire (ou semi-circulaire).
2Exercice 2
Région naturelle d'origine de 50 élèves : Basse-Guinée 18 ; Moyenne-Guinée 12 ; Haute-Guinée 11 ; Guinée forestière 9.
Calcule les angles pour un diagramme circulaire, puis pour un diagramme semi-circulaire, et vérifie leurs sommes.
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Circulaire : Basse-Guinée 1850 × 360 = 129,6° ; Moyenne-Guinée 1250 × 360 = 86,4° ; Haute-Guinée 1150 × 360 = 79,2° ; Guinée forestière 950 × 360 = 64,8°. Somme : 129,6 + 86,4 + 79,2 + 64,8 = 360°.
Semi-circulaire : 64,8° ; 43,2° ; 39,6° ; 32,4°. Somme : 180°.
3Exercice 3
a) Masses de 24 sacs : [46 ; 48[ : 3 ; [48 ; 50[ : 8 ; [50 ; 52[ : 10 ; [52 ; 54[ : 3. Donne la hauteur de chaque rectangle de l'histogramme (1 cm pour 1 sac).
b) Salaires (en milliers de GNF) : [1 000 ; 1 500[ : 8 ; [1 500 ; 2 000[ : 14 ; [2 000 ; 2 500[ : 10 ; [2 500 ; 3 000[ : 5 ; [3 000 ; 4 000[ : 3. On prend comme amplitude de référence 500. Quelle hauteur faut-il donner au dernier rectangle ? Pourquoi ?
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a) Toutes les classes ont la même amplitude (2 kg) : hauteurs 3 cm ; 8 cm ; 10 cm ; 3 cm.
b) La dernière classe a une amplitude de 1 000 = 2 × 500. Sa hauteur doit être 32 = 1,5 (au lieu de 3), pour que l'aire du rectangle reste proportionnelle à l'effectif 3.
4Exercice 4
Avec la série des salaires de l'exercice 3 b) :
a) Donne les coordonnées des points du polygone des effectifs cumulés croissants.
b) Estime, à l'aide de ce polygone, le nombre d'employés qui gagnent moins de 1 750 000 GNF.
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a) ECC : 8 ; 22 ; 32 ; 37 ; 40. Points : (1 000 ; 0), (1 500 ; 8), (2 000 ; 22), (2 500 ; 32), (3 000 ; 37), (4 000 ; 40).
b) 1 750 est au milieu de [1 500 ; 2 000[. Sur le segment qui va de (1 500 ; 8) à (2 000 ; 22), on lit environ 8 + 12 × 14 = 15. Environ 15 employés gagnent moins de 1 750 000 GNF.
5Exercice 5
(Type examen) Une famille de Labé dépense 1 200 000 GNF par mois, répartis ainsi : nourriture 540 000 ; loyer 240 000 ; transport 120 000 ; scolarité 180 000 ; santé 60 000 ; autres 60 000.
a) Vérifie le total, puis calcule la fréquence (en %) de chaque poste.
b) Calcule les angles d'un diagramme circulaire et construis-le.
c) Pourquoi ne peut-on pas représenter ces données par un histogramme ?
d) Sur un journal, un diagramme en barres montre que le prix moyen du riz est passé de 7 000 à 7 500 GNF le kilogramme ; l'axe vertical commence à 6 800. Sur ce graphique, la barre de 7 500 paraît beaucoup plus haute que celle de 7 000. Explique pourquoi ce graphique est trompeur et calcule la hausse réelle en pourcentage.
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a) 540 000 + 240 000 + 120 000 + 180 000 + 60 000 + 60 000 = 1 200 000 GNF. Fréquences : nourriture 45 % ; loyer 20 % ; transport 10 % ; scolarité 15 % ; santé 5 % ; autres 5 %. Total : 100 %.
b) Angles : nourriture 0,45 × 360 = 162° ; loyer 72° ; transport 36° ; scolarité 54° ; santé 18° ; autres 18°. Somme : 162 + 72 + 36 + 54 + 18 + 18 = 360°. On trace les secteurs au rapporteur, l'un après l'autre.
c) Le caractère « poste de dépense » est qualitatif : il n'y a pas de classes numériques qui se suivent, donc pas d'histogramme possible.
d) L'axe ne commence pas à zéro : les barres mesurent 7 000 - 6 800 = 200 et 7 500 - 6 800 = 700 unités, donc la seconde barre est 700200 = 3,5 fois plus haute que la première, alors que le prix n'a pas du tout été multiplié par 3,5. Hausse réelle : 7 500 - 7 0007 000 = 5007 000 ≈ 0,071, soit environ 7,1 %. Avec un axe partant de 0, les barres mesureraient 7 000 et 7 500 : presque la même hauteur.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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