Karamö, le prof virtuelLeçon 18 sur 19
Les séries cumulées
Je sais calculer les effectifs cumulés croissants et décroissants d'une distribution, les interpréter correctement (« au plus », « moins de », « au moins ») et tracer les courbes cumulatives.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et calculer les effectifs cumulés croissants (ECC) et décroissants (ECD)
- Interpréter un effectif cumulé pour une série discrète et pour une série en classes
- Utiliser les relations de contrôle entre ECC, ECD et N
- Tracer et lire les courbes cumulatives (polygones des effectifs cumulés)
Avant de commencer : La leçon « Les séries statistiques » (distribution à valeurs isolées ou en classes).
1Je découvre
Le proviseur du lycée de Kérouané a sous les yeux la distribution des notes du devoir de mathématiques de la 12e SM : [4 ; 8[ : 3 élèves ; [8 ; 12[ : 12 ; [12 ; 16[ : 8 ; [16 ; 20[ : 2.
Il pose deux questions au professeur : « Combien d'élèves ont moins de 12 ? Ils auront besoin de cours de soutien. Et combien ont au moins 12 ? Je veux les féliciter. »
Le professeur additionne : pour « moins de 12 », il faut prendre les élèves de la première classe et ceux de la deuxième, soit 3 + 12 = 15. Pour « au moins 12 », il additionne les deux dernières classes : 8 + 2 = 10. Et 15 + 10 = 25, tout le monde est compté.
Ces additions successives, faites « en montant » ou « en descendant » dans le tableau, sont si utiles qu'on les présente directement dans une ligne supplémentaire : ce sont les effectifs cumulés.
Comment calculer et interpréter les effectifs cumulés d'une série statistique ?
2Je comprends
1. Les effectifs cumulés croissants (ECC)
L'effectif cumulé croissant d'une modalité (ou d'une classe) est la somme de son effectif et des effectifs de toutes les modalités (ou classes) qui la précèdent. On l'obtient en additionnant les effectifs de haut en bas (ou de gauche à droite) :
ECC1 = n1 ; ECC2 = n1 + n2 ; ECCi = ECCi-1 + ni
Le dernier ECC est toujours égal à l'effectif total N.
Interprétation :
- Série discrète : l'ECC de la valeur xi est le nombre d'individus dont la valeur est inférieure ou égale à xi (« au plus xi »).
- Série en classes : l'ECC de la classe [a ;b[ est le nombre d'individus dont la valeur est strictement inférieure à la borne supérieure b (« moins de b »).
2. Les effectifs cumulés décroissants (ECD)
L'effectif cumulé décroissant d'une modalité (ou d'une classe) est la somme de son effectif et des effectifs de toutes les modalités (ou classes) qui la suivent. On l'obtient en additionnant de bas en haut (ou de droite à gauche), ou en partant de N et en retranchant :
ECD1 = N ; ECDi+1 = ECDi - ni
Le premier ECD est toujours égal à N, le dernier est égal au dernier effectif.
Interprétation :
- Série discrète : l'ECD de xi est le nombre d'individus dont la valeur est supérieure ou égale à xi (« au moins xi »).
- Série en classes : l'ECD de la classe [a ;b[ est le nombre d'individus dont la valeur est supérieure ou égale à la borne inférieure a (« au moins a »).
3. Relations de contrôle
- Dernier ECC = premier ECD = N.
- Pour tout i : ECCi + ECDi+1 = N (ceux qui sont « avant » plus ceux qui sont « après » forment toute la population).
- On retrouve les effectifs à partir des ECC : ni = ECCi - ECCi-1.
Exemple
Situation : nombre d'enfants de 38 familles d'un village de la préfecture de Pita : 0 : 4 ; 1 : 9 ; 2 : 12 ; 3 : 8 ; 4 : 5.
Questions : a) Calcule les ECC et les ECD. b) Combien de familles ont au plus 2 enfants ? au moins 3 enfants ? c) Contrôle.
Réponses :
a) ECC : 4 ; 4 + 9 = 13 ; 13 + 12 = 25 ; 25 + 8 = 33 ; 33 + 5 = 38.
ECD : 38 ; 38 − 4 = 34 ; 34 − 9 = 25 ; 25 − 12 = 13 ; 13 − 8 = 5.
b) Au plus 2 enfants : ECC de 2, soit 25 familles. Au moins 3 enfants : ECD de 3, soit 13 familles.
c) 25 + 13 = 38 = N. Dernier ECC = premier ECD = 38.
| Nombre d'enfants | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ni | 4 | 9 | 12 | 8 | 5 | 38 |
| ECC (au plus) | 4 | 13 | 25 | 33 | 38 | — |
| ECD (au moins) | 38 | 34 | 25 | 13 | 5 | — |
Exemple
Situation : notes de 25 élèves : [4 ; 8[ : 3 ; [8 ; 12[ : 12 ; [12 ; 16[ : 8 ; [16 ; 20[ : 2.
Questions : a) Calcule les ECC et les ECD. b) Réponds aux questions du proviseur. c) Contrôle.
Réponses :
a) ECC : 3 ; 15 ; 23 ; 25. ECD : 25 ; 22 ; 10 ; 2.
b) Moins de 12 : l'ECC de la classe [8 ; 12[ (borne supérieure 12) vaut 15 élèves. Au moins 12 : l'ECD de la classe [12 ; 16[ (borne inférieure 12) vaut 10 élèves.
c) 15 + 10 = 25 = N ; de même 3 + 22 = 25 et 23 + 2 = 25.
| Notes | [4 ; 8[ | [8 ; 12[ | [12 ; 16[ | [16 ; 20[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 12 | 8 | 2 |
| ECC : moins de… | 3 (moins de 8) | 15 (moins de 12) | 23 (moins de 16) | 25 (moins de 20) |
| ECD : au moins… | 25 (au moins 4) | 22 (au moins 8) | 10 (au moins 12) | 2 (au moins 16) |
4. Les courbes cumulatives
Pour une série en classes, on représente les effectifs cumulés par deux courbes cumulatives (ou polygones des effectifs cumulés) :
- Courbe des ECC (croissante) : on place les points dont l'abscisse est la borne supérieure de chaque classe et l'ordonnée l'ECC correspondant ; on ajoute le point (première borne inférieure ; 0), puis on relie les points par des segments.
- Courbe des ECD (décroissante) : on place les points dont l'abscisse est la borne inférieure de chaque classe et l'ordonnée l'ECD ; on ajoute le point (dernière borne supérieure ; 0), puis on relie.
Pour les notes : ECC → (4 ; 0), (8 ; 3), (12 ; 15), (16 ; 23), (20 ; 25). ECD → (4 ; 25), (8 ; 22), (12 ; 10), (16 ; 2), (20 ; 0).
Les deux courbes se croisent en un point dont l'ordonnée vaut N2 : son abscisse partage la population en deux moitiés égales. Cette valeur s'appelle la médiane ; tu l'étudieras avec les paramètres de position. Ici, on lit environ 11,2.
Pour estimer un effectif cumulé à l'intérieur d'une classe, on admet que les valeurs sont réparties régulièrement dans la classe (interpolation linéaire). Par exemple, le nombre d'élèves ayant moins de 10 : dans [8 ; 12[, 10 est au milieu, donc on ajoute la moitié des 12 élèves : 3 + 122 = 9 élèves environ.
Méthode
Pour construire et utiliser les séries cumulées :
- Je range les modalités (ou classes) dans l'ordre croissant.
- ECC : j'additionne les effectifs de haut en bas ; le dernier ECC doit valoir N.
- ECD : je pars de N et je retranche chaque effectif ; le premier ECD vaut N.
- Je contrôle : ECC_i + ECD_(i+1) = N.
- J'interprète : discret, ECC = « au plus », ECD = « au moins » ; classes, ECC = « moins de » la borne supérieure, ECD = « au moins » la borne inférieure.
- Courbes : ECC aux bornes supérieures, ECD aux bornes inférieures, points reliés par des segments.
3Je retiens
Je retiens
ECC_i = n_1 + n_2 + … + n_i (cumul de haut en bas) ; dernier ECC = N.
ECD_i = n_i + n_(i+1) + … (cumul de bas en haut) ; premier ECD = N.
Série discrète : ECC = « au plus x_i » ; ECD = « au moins x_i ».
Série en classes [a ; b[ : ECC = « moins de b » ; ECD = « au moins a ».
Contrôle : ECC_i + ECD_(i+1) = N ; n_i = ECC_i − ECC_(i−1).
Courbe des ECC : points (borne supérieure ; ECC) ; courbe des ECD : points (borne inférieure ; ECD). Elles se coupent à la hauteur N/2 (médiane).
4Erreurs fréquentes
- Placer les points de la courbe des ECC aux centres des classes : on les place aux bornes supérieures (et ceux des ECD aux bornes inférieures).
- Lire l'ECC d'une classe comme « au plus » la borne supérieure : pour une classe [a ; b[, c'est « moins de b », puisque b est exclu.
- Oublier le point de départ (première borne ; 0) de la courbe des ECC ou le point d'arrivée (dernière borne ; 0) de celle des ECD.
- Cumuler dans le mauvais sens pour les ECD : on part de N et on retranche, on ne recommence pas depuis le premier effectif.
5Je m’exerce
1Exercice 1
(Questions de cours)
a) Définis l'effectif cumulé croissant et l'effectif cumulé décroissant.
b) Que vaut le dernier ECC ? le premier ECD ?
c) Où place-t-on les points de la courbe des ECC d'une série en classes ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) L'ECC d'une modalité est la somme de son effectif et des effectifs des modalités qui la précèdent. L'ECD est la somme de son effectif et des effectifs des modalités qui la suivent.
b) Tous deux valent l'effectif total N.
c) À l'abscisse de la borne supérieure de chaque classe, avec l'ECC comme ordonnée ; on ajoute le point (première borne inférieure ; 0).
2Exercice 2
Nombre de pièces des logements de 50 ménages : 1 : 6 ; 2 : 14 ; 3 : 17 ; 4 : 9 ; 5 : 4.
a) Calcule les ECC et les ECD.
b) Combien de ménages ont au plus 3 pièces ? au moins 4 pièces ? au moins 2 pièces ?
c) Vérifie une relation de contrôle.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ECC : 6 ; 20 ; 37 ; 46 ; 50. ECD : 50 ; 44 ; 30 ; 13 ; 4.
b) Au plus 3 pièces : 37 ménages. Au moins 4 pièces : 13 ménages. Au moins 2 pièces : 44 ménages.
c) 37 + 13 = 50 = N (ou 6 + 44 = 50).
3Exercice 3
Revenus d'une journée (milliers de GNF) de 20 vendeuses : [35 ; 40[ : 1 ; [40 ; 45[ : 2 ; [45 ; 50[ : 5 ; [50 ; 55[ : 5 ; [55 ; 60[ : 3 ; [60 ; 65[ : 3 ; [65 ; 70[ : 1.
a) Calcule les ECC et les ECD.
b) Combien de vendeuses gagnent moins de 50 000 GNF ? au moins 55 000 GNF ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ECC : 1 ; 3 ; 8 ; 13 ; 16 ; 19 ; 20. ECD : 20 ; 19 ; 17 ; 12 ; 7 ; 4 ; 1.
b) Moins de 50 000 GNF : ECC de [45 ; 50[, soit 8 vendeuses. Au moins 55 000 GNF : ECD de [55 ; 60[, soit 7 vendeuses.
4Exercice 4
On connaît seulement les ECC d'une série en 5 classes : 6 ; 15 ; 31 ; 42 ; 50.
a) Quel est l'effectif total ?
b) Retrouve l'effectif de chaque classe.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) N = 50 (dernier ECC).
b) n_1 = 6 ; n_2 = 15 − 6 = 9 ; n_3 = 31 − 15 = 16 ; n_4 = 42 − 31 = 11 ; n_5 = 50 − 42 = 8. Contrôle : 6 + 9 + 16 + 11 + 8 = 50.
5Exercice 5
(Type examen) Tailles (en cm) de 40 élèves : [150 ; 155[ : 4 ; [155 ; 160[ : 9 ; [160 ; 165[ : 13 ; [165 ; 170[ : 10 ; [170 ; 175[ : 4.
a) Dresse le tableau des effectifs, des ECC et des ECD.
b) Combien d'élèves mesurent moins de 165 cm ? au moins 160 cm ?
c) Donne les coordonnées des points des deux courbes cumulatives.
d) Par interpolation linéaire, estime la taille qui partage les élèves en deux groupes de 20.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a)
| Taille (cm) | [150 ; 155[ | [155 ; 160[ | [160 ; 165[ | [165 ; 170[ | [170 ; 175[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 9 | 13 | 10 | 4 |
| ECC | 4 | 13 | 26 | 36 | 40 |
| ECD | 40 | 36 | 27 | 14 | 4 |
b) Moins de 165 cm : 26 élèves. Au moins 160 cm : 27 élèves.
c) Courbe des ECC : (150 ; 0), (155 ; 4), (160 ; 13), (165 ; 26), (170 ; 36), (175 ; 40). Courbe des ECD : (150 ; 40), (155 ; 36), (160 ; 27), (165 ; 14), (170 ; 4), (175 ; 0).
d) Le 20e élève se trouve dans la classe [160 ; 165[ (ECC 13 avant, 26 après). Il manque 20 − 13 = 7 élèves sur les 13 de la classe : taille ≈ 160 + 5 × 7/13 ≈ 160 + 2,7 = 162,7 cm.
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6Je vérifie
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