Mathématiques · 12e SM

Leçon 2 sur 23

Inéquations du premier degré

Je sais résoudre une inéquation du premier degré, étudier le signe d'un produit ou d'un quotient avec un tableau de signes, et représenter un demi-plan solution.

55 min
6 exercices corrigés
1 schéma
QCM de 5 questions

À la fin de la leçon, tu sauras :

Résoudre une inéquation ax + b < 0 et écrire les solutions sous forme d'intervalle
Dresser le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient de facteurs du premier degré
Résoudre un système d'inéquations à une inconnue
Représenter graphiquement les solutions d'une inéquation à deux inconnues

Avant de commencer : Les équations du premier degré (leçon précédente), les intervalles et leurs opérations (réunion, intersection) vus en 11e.

1Je découvre

Kadiatou vend des beignets devant le collège de son quartier, à Labé. Chaque matin, elle dépense 15 000 GNF pour le charbon et le transport, quel que soit le nombre de beignets. Chaque beignet lui coûte en plus 400 GNF d'ingrédients et elle le vend 1 000 GNF.

Si elle vend x beignets, sa recette est 1 000x et ses dépenses sont 15 000 + 400x. Son bénéfice est donc :

B = 1 000x - (15 000 + 400x) = 600x - 15 000.

Kadiatou ne veut pas travailler à perte : elle veut 600x - 15 000 > 0. Et pour mettre de côté au moins 12 000 GNF par jour, il faut 600x - 15 000 ≥ 12 000.

Ce ne sont plus des égalités, mais des inégalités : la réponse n'est pas un seul nombre, mais tout un ensemble de nombres.

Comment résoudre une inéquation du premier degré, et comment étudier le signe d'expressions plus compliquées ?

2Je comprends

1. Résoudre une inéquation du premier degré

Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inéquation qui peut s'écrire ax + b > 0 (ou <, ≥ , ≤ ), avec a ≠ 0. Ses solutions forment en général un intervalle.

On la résout comme une équation, avec une règle très importante :

ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres conserve le sens de l'inégalité ;
multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve le sens ;
multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change le sens.

Exemple

Résoudre 3x − 5 ≤ 7x + 3.

3x − 7x ≤ 3 + 5, soit −4x ≤ 8.

On divise par −4, nombre négatif : le sens change. x ≥ 8/(−4), soit x ≥ −2.

S = [−2 ; +∞[.

Pour Kadiatou : 600x > 15 000 donne x > 25 ; elle doit vendre au moins 26 beignets pour ne pas perdre d'argent. Et 600x ≥ 27 000 donne x ≥ 45.

2. Le signe de ax + b

Le binôme ax + b (avec a ≠ 0) s'annule en x₀ = -ba. Il a le signe de a à droite de x₀, et le signe contraire de a à gauche.

x	-∞		-ba		+∞
ax + b		signe de -a	0	signe de a

Par exemple, 3 - x (ici a = -1) est positif pour x < 3 et négatif pour x > 3.

3. Le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient

Pour étudier le signe de (2x - 4)(3 - x) ou de x + 12 - x, on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes dans chaque intervalle.

Méthode

Pour résoudre une inéquation produit ou quotient :

Je passe tout dans un membre pour comparer à 0 (et je réduis au même dénominateur si besoin).
Je cherche la valeur qui annule chaque facteur ; pour un quotient, je note la valeur interdite.
Je range ces valeurs dans l'ordre croissant sur la première ligne du tableau.
Je remplis une ligne par facteur (signe de a à droite de la racine), puis la ligne du produit ou du quotient par la règle des signes. Je mets une double barre sous chaque valeur interdite.
Je lis l'ensemble des solutions ; je fais attention aux crochets (valeur interdite toujours exclue).

Exemple

Résoudre (2x − 4)(3 − x) ≥ 0.

2x − 4 s'annule en 2 (a = 2 > 0) ; 3 − x s'annule en 3 (a = −1 < 0).

x	−∞		2		3		+∞
2x − 4		−	0	+		+
3 − x		+		+	0	−
produit		−	0	+	0	−

Le produit est positif ou nul pour x entre 2 et 3, bornes comprises.

S = [2 ; 3].

Exemple

Résoudre (x + 1)/(2 − x) ≤ 0.

x + 1 s'annule en −1 ; 2 − x s'annule en 2 : valeur interdite.

Pour x < −1 : (−)/(+) donne −. Pour −1 < x < 2 : (+)/(+) donne +. Pour x > 2 : (+)/(−) donne −.

Le quotient vaut 0 en x = −1 et n'existe pas en x = 2.

S = ]−∞ ; −1] ∪ ]2 ; +∞[.

4. Systèmes d'inéquations à une inconnue

Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver les réels qui vérifient toutes les inéquations à la fois : l'ensemble des solutions est l'intersection des ensembles de solutions de chaque inéquation.

Exemple

Résoudre le système : 2x − 1 > 3 et 5 − x ≥ 1.

2x − 1 > 3 donne x > 2, soit ]2 ; +∞[.

5 − x ≥ 1 donne −x ≥ −4, soit x ≤ 4, soit ]−∞ ; 4].

S = ]2 ; +∞[ ∩ ]−∞ ; 4] = ]2 ; 4].

5. Inéquations du premier degré à deux inconnues

Une inéquation comme 2x + y - 4 < 0 a pour solutions des couples (x ; y) : ce sont les coordonnées des points d'un demi-plan.

La droite (D) d'équation 2x + y - 4 = 0 partage le plan en deux demi-plans. Dans l'un, 2x + y - 4 > 0 ; dans l'autre, 2x + y - 4 < 0. Pour savoir lequel convient, on teste un point qui n'est pas sur la droite, souvent l'origine O(0 ; 0) : 2 × 0 + 0 - 4 = -4 < 0. Le point O vérifie l'inéquation, donc les solutions forment le demi-plan qui contient O. Comme l'inégalité est stricte, la droite est exclue (on la trace en pointillés).

La droite (D) : 2x + y − 4 = 0 passe par A(0 ; 4) et B(2 ; 0). Le demi-plan qui contient O est solution de 2x + y − 4 < 0.

3Je retiens

Je retiens

Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.

ax + b (a ≠ 0) s'annule en −b/a ; il a le signe de a à droite de −b/a, le signe contraire à gauche.

Produit ou quotient : un tableau de signes, une ligne par facteur, puis la règle des signes.

Une valeur interdite est toujours exclue de l'ensemble des solutions (crochet ouvert, double barre).

Système d'inéquations : on prend l'intersection des solutions.

ax + by + c < 0 : un demi-plan limité par la droite ax + by + c = 0 ; on teste un point, souvent O.

4Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens : de −2x > 6 on déduit x < −3, et non x > −3.
Multiplier les deux membres d'une inéquation par un dénominateur qui contient x : son signe est inconnu. On passe tout dans un membre et on fait un tableau de signes.
Mettre un crochet fermé sur une valeur interdite : pour (x + 1)/(2 − x) ≤ 0, on écrit ]2 ; +∞[ et non [2 ; +∞[.
Prendre la réunion au lieu de l'intersection dans un système : les solutions doivent vérifier toutes les inéquations.

5Je m’exerce

1Exercice 1

Résous et donne les solutions sous forme d'intervalle :

a) 4x + 3 < x - 9

b) -2(x - 1) ≥ 3x + 7

c) x3 - 1 > x2