Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 23
Les applications
Je sais reconnaître une application, trouver images et antécédents, démontrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, composer deux applications et trouver la bijection réciproque.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une application et utiliser le vocabulaire image, antécédent, ensemble de départ et d'arrivée
- Démontrer qu'une application est injective, surjective ou bijective
- Calculer la composée de deux applications
- Déterminer la bijection réciproque d'une bijection
Avant de commencer : Les ensembles de nombres et les intervalles, la résolution d'équations du premier et du second degré.
1Je découvre
Fatoumata prépare un exposé sur l'organisation administrative de la Guinée. Elle fait correspondre à chaque préfecture la région administrative à laquelle elle appartient : Coyah, Dubréka, Forécariah et Télimélé vont vers la région de Kindia ; Siguiri, Kouroussa et Mandiana vont vers la région de Kankan ; et ainsi de suite.
Elle remarque trois choses :
- chaque préfecture a une et une seule région : on ne peut pas hésiter ;
- plusieurs préfectures ont la même région ;
- chaque région reçoit au moins une préfecture.
Son frère Alpha fait l'inverse : il associe à chaque région « ses préfectures ». Mais alors, la région de Kindia a plusieurs réponses possibles.
La correspondance de Fatoumata et celle d'Alpha ne sont pas de la même nature.
Qu'est-ce qu'une application, et comment décrire précisément ses propriétés ?
2Je comprends
1. Définition et vocabulaire
Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans F est une correspondance qui associe à chaque élément x de E un et un seul élément de F, noté f(x). On écrit :
f : E → F, x mapsto f(x).
- E est l'ensemble de départ, F l'ensemble d'arrivée.
- f(x) est l'image de x par f (elle est unique).
- Si f(x) = y, on dit que x est un antécédent de y (il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs).
La correspondance de Fatoumata « préfecture → région » est une application. Celle d'Alpha « région → ses préfectures » n'en est pas une, car une région a plusieurs préfectures.
Pour les nombres : x mapsto 1x n'est pas une application de ℝ dans ℝ (0 n'a pas d'image), mais c'en est une de ℝ^* dans ℝ.
2. Injection, surjection, bijection
- Deux éléments distincts ont des images distinctes
- Tout y de F a au plus un antécédent
- Contre-exemple : f(−2) = f(2) pour x ↦ x²
- Tout élément de F a au moins un antécédent
- L'équation f(x) = y a au moins une solution pour tout y de F
- Contre-exemple : −1 n'a pas d'antécédent par x ↦ x²
- f est injective si deux éléments distincts de E ont toujours des images distinctes. Autrement dit : f(x) = f(x') ⇒ x = x'.
- f est surjective si tout élément y de F a au moins un antécédent.
- f est bijective si elle est injective et surjective : tout élément y de F a exactement un antécédent.
L'application de Fatoumata est surjective (chaque région a au moins une préfecture), mais pas injective (Coyah et Dubréka ont la même image).
Méthode
Pour étudier une application numérique f : E → F :
- Injectivité : je suppose f(x) = f(x') et j'essaie d'en déduire x = x'. Pour montrer qu'elle n'est pas injective, un contre-exemple suffit : x ≠ x' avec f(x) = f(x').
- Surjectivité : je prends y quelconque dans F et je résous f(x) = y en cherchant x dans E. Si une valeur de y n'a pas de solution dans E, un contre-exemple suffit pour conclure « non surjective ».
- Bijectivité : l'équation f(x) = y a une unique solution x dans E pour tout y de F. Cette solution donne la bijection réciproque.
Exemple
Montrer que f : ℝ → ℝ, x ↦ 3x − 2 est bijective.
Soit y un réel. f(x) = y ⟺ 3x − 2 = y ⟺ x = (y + 2)/3.
Pour tout y réel, cette équation a une solution et une seule dans ℝ : f est bijective.
Exemple
Étudier g : ℝ → ℝ, x ↦ x².
g(−2) = g(2) = 4 avec −2 ≠ 2 : g n'est pas injective.
−1 n'a pas d'antécédent, car un carré n'est jamais négatif : g n'est pas surjective.
En revanche, g : [0 ; +∞[ → [0 ; +∞[, x ↦ x² est bijective : pour y ≥ 0, l'équation x² = y a une seule solution positive, x = √y.
Retiens de cet exemple que les propriétés d'une application dépendent de ses ensembles de départ et d'arrivée, pas seulement de sa formule.
3. Composée de deux applications
Soient f : E → F et g : F → G. La composée g ° f (lire « g rond f ») est l'application de E dans G définie par :
(g ° f)(x) = g(f(x)).
On applique d'abord f, puis g. En général, g ° f ≠ f ° g.
Exemple
Soient f(x) = 2x + 1 et g(x) = x², définies sur ℝ.
(g ∘ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)².
(f ∘ g)(x) = f(x²) = 2x² + 1.
Pour x = 1 : (g ∘ f)(1) = 9 alors que (f ∘ g)(1) = 3. Donc g ∘ f ≠ f ∘ g.
4. Bijection réciproque
Si f : E → F est bijective, on définit sa bijection réciproque f-1 : F → E qui, à chaque y de F, associe son unique antécédent x. On a :
y = f(x) ⇔ x = f-1(y), et f-1 ° f = IdE, f ° f-1 = IdF,
où IdE est l'application identique x mapsto x.
Dans le premier exemple, f-1(y) = y + 23 ; pour g : [0 ; +∞[ → [0 ; +∞[, g-1(y) = √y.
Exemple
Montrer que h : ℝ \ {1} → ℝ \ {2}, x ↦ (2x + 1)/(x − 1) est bijective et trouver h⁻¹.
Soit y ≠ 2. Pour x ≠ 1 : (2x + 1)/(x − 1) = y ⟺ 2x + 1 = y(x − 1) ⟺ 2x + 1 = yx − y ⟺ x(2 − y) = −y − 1 ⟺ x = (y + 1)/(y − 2).
Ce x existe car y ≠ 2. Il est bien différent de 1 : si (y + 1)/(y − 2) = 1, alors y + 1 = y − 2, impossible.
Chaque y de ℝ \ {2} a donc un unique antécédent : h est bijective et h⁻¹(y) = (y + 1)/(y − 2).
Contrôle : h(0) = 1/(−1) = −1 et h⁻¹(−1) = 0/(−3) = 0.
3Je retiens
Je retiens
Application f : E → F : chaque x de E a une et une seule image f(x) dans F.
Injective : f(x) = f(x') ⇒ x = x' (au plus un antécédent pour chaque y).
Surjective : tout y de F a au moins un antécédent.
Bijective : injective et surjective ; tout y de F a exactement un antécédent.
Composée : (g ∘ f)(x) = g(f(x)) ; on applique f d'abord ; en général g ∘ f ≠ f ∘ g.
Bijection réciproque : y = f(x) ⟺ x = f⁻¹(y) ; on l'obtient en résolvant f(x) = y.
4Erreurs fréquentes
- Confondre image et antécédent : l'image est unique, un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
- Oublier les ensembles : x ↦ x² n'est pas bijective de ℝ dans ℝ, mais l'est de [0 ; +∞[ dans [0 ; +∞[.
- Calculer g ∘ f dans le mauvais ordre : dans g(f(x)), on calcule d'abord f(x).
- Confondre f⁻¹(x) et 1/f(x) : pour f(x) = 3x − 2, f⁻¹(x) = (x + 2)/3 et non 1/(3x − 2).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dis si chaque correspondance est une application ; justifie.
a) À chaque élève de la classe, on associe sa date de naissance.
b) À chaque mère de famille du quartier, on associe ses enfants.
c) x mapsto √x, de ℝ dans ℝ.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Oui : chaque élève a une et une seule date de naissance.
b) Non : une mère qui a plusieurs enfants aurait plusieurs images (et une femme sans enfant n'en aurait aucune).
c) Non : les réels négatifs n'ont pas d'image (√-4 n'existe pas). C'est une application de [0 ; +∞[ dans ℝ.
2Exercice 2
Soit f : ℝ → ℝ, f(x) = x2 - 4x + 1.
a) Calcule les images de 0 et de 5.
b) Cherche les antécédents de 1. f est-elle injective ?
c) Cherche les antécédents de -5. f est-elle surjective ?
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a) f(0) = 1 et f(5) = 25 - 20 + 1 = 6.
b) f(x) = 1 ⇔ x2 - 4x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4. Le nombre 1 a deux antécédents distincts : f n'est pas injective.
c) f(x) = -5 ⇔ x2 - 4x + 6 = 0 ; Δ = 16 - 24 = -8 < 0 : pas de solution. -5 n'a pas d'antécédent : f n'est pas surjective.
3Exercice 3
Montre que f : ℝ → ℝ, f(x) = -5x + 3 est bijective et détermine f-1.
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Soit y réel. -5x + 3 = y ⇔ -5x = y - 3 ⇔ x = 3 - y5. Pour tout y réel, il existe un unique x réel : f est bijective et f-1(y) = 3 - y5.
Contrôle : f(1) = -2 et f-1(-2) = 55 = 1.
4Exercice 4
On donne f(x) = x - 3 sur ℝ et g(x) = 1x sur ℝ^*.
a) Exprime (g ° f)(x) et précise pour quels x elle est définie.
b) Exprime (f ° g)(x).
c) Calcule (g ° f)(5) et (f ° g)(5).
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a) (g ° f)(x) = g(x - 3) = 1x - 3, défini pour x ≠ 3.
b) (f ° g)(x) = f(1x) = 1x - 3, défini pour x ≠ 0.
c) (g ° f)(5) = 12 et (f ° g)(5) = 15 - 3 = -145. Les deux résultats sont différents.
5Exercice 5
(Type BAC) Soit h : ℝ setminus {-1} → ℝ setminus {3}, h(x) = 3x - 2x + 1.
a) Montre que h est bijective.
b) Détermine h-1 et vérifie sur un exemple.
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a) Soit y ≠ 3. Pour x ≠ -1 :
3x - 2x + 1 = y ⇔ 3x - 2 = yx + y ⇔ x(3 - y) = y + 2 ⇔ x = y + 23 - y (possible car y ≠ 3).
Ce nombre est différent de -1 : si y + 23 - y = -1, alors y + 2 = y - 3, soit 2 = -3, impossible.
Tout y de ℝ setminus {3} a donc un unique antécédent dans ℝ setminus {-1} : h est bijective.
b) h-1 : ℝ setminus {3} → ℝ setminus {-1}, h-1(y) = y + 23 - y.
Vérification : h(0) = -2 et h-1(-2) = 05 = 0. Juste.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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