Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 23
Les fonctions
Je sais étudier les propriétés générales d'une fonction numérique : parité, sens de variation, extremums, bornes et éléments de symétrie de sa courbe.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une fonction paire ou impaire et en déduire une symétrie de sa courbe
- Étudier le sens de variation d'une fonction à l'aide du taux de variation
- Démontrer qu'une fonction est majorée, minorée ou admet un extremum
- Montrer qu'une droite est axe de symétrie ou qu'un point est centre de symétrie d'une courbe
Avant de commencer : Les applications (leçon précédente), les inéquations du premier et du second degré, les fonctions de référence vues en 11e.
1Je découvre
Pendant l'harmattan, Hawa, élève à Kankan, relève la température dans la cour de l'école toutes les deux heures, de 6 h à 18 h. Elle obtient une courbe qui monte le matin, atteint un maximum en début d'après-midi, puis redescend.
Son professeur lui pose des questions précises :
- sur quel intervalle de temps la température augmente-t-elle ?
- quelle est la température la plus élevée, et à quelle heure ?
- la température reste-t-elle toujours inférieure à une certaine valeur ?
Hawa répond en regardant la courbe. Mais le professeur insiste : « Et si l'on te donne seulement une formule, comme f(x) = 4x2 + 1, sans dessin ? Comment prouver ce que tu vois ? »
Quels outils permettent de décrire et de démontrer le comportement d'une fonction : croissance, maximum, symétries ?
2Je comprends
1. Fonction numérique et courbe
Une fonction numérique f d'une variable réelle associe à chaque réel x au plus un réel f(x). L'ensemble des réels qui ont une image est l'ensemble de définition Df (étudié en détail dans la leçon suivante). Sur Df, f est une application.
Dans un repère, la courbe représentative (Cf) est l'ensemble des points M(x ; f(x)) pour x ∈ Df.
2. Parité
On dit que Df est symétrique par rapport à 0 si, pour tout x de Df, -x est aussi dans Df.
- f est paire si Df est symétrique par rapport à 0 et f(-x) = f(x) pour tout x de Df. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- f est impaire si Df est symétrique par rapport à 0 et f(-x) = -f(x) pour tout x de Df. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.
Exemple
Étudier la parité de f(x) = x³ − 2x, g(x) = x²/(x² + 1) et h(x) = x² + x.
f et g sont définies sur ℝ, symétrique par rapport à 0.
f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x = −f(x) : f est impaire.
g(−x) = (−x)²/((−x)² + 1) = x²/(x² + 1) = g(x) : g est paire.
h(1) = 2 et h(−1) = 1 − 1 = 0 : h(−1) n'est égal ni à h(1) ni à −h(1). h n'est ni paire ni impaire.
3. Sens de variation
Soit I un intervalle inclus dans Df.
- f est croissante sur I si, pour tous a et b de I, a < b ⇒ f(a) ≤ f(b) ;
- f est décroissante sur I si a < b ⇒ f(a) ≥ f(b) ;
- on dit strictement croissante (ou décroissante) avec des inégalités strictes.
Un outil pratique est le taux de variation entre deux réels distincts a et b de I :
T(a ; b) = f(b) - f(a)b - a.
Si T(a ; b) > 0 pour tous a ≠ b de I, f est strictement croissante sur I ; si T(a ; b) < 0, elle est strictement décroissante.
Exemple
Sens de variation de f(x) = x² sur [0 ; +∞[.
Pour a ≠ b : T = (b² − a²)/(b − a) = (b − a)(b + a)/(b − a) = a + b.
Si a et b sont positifs et distincts, a + b > 0 : f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
(Sur ]−∞ ; 0], a + b < 0 : f y est strictement décroissante.)
4. Fonction majorée, minorée, extremum
- f est majorée sur I s'il existe un réel M tel que f(x) ≤ M pour tout x de I ; minorée s'il existe m tel que f(x) ≥ m ; bornée si elle est les deux.
- f admet un maximum en x0 sur I si f(x) ≤ f(x0) pour tout x de I ; un minimum si f(x) ≥ f(x0). Maximum et minimum sont des extremums.
Pour prouver f(x) ≤ M, on étudie le signe de la différence f(x) - M.
Exemple
Montrer que f(x) = 4/(x² + 1) admet un maximum sur ℝ.
f(x) − 4 = (4 − 4(x² + 1))/(x² + 1) = −4x²/(x² + 1) ≤ 0 pour tout x.
Donc f(x) ≤ 4 = f(0) : f admet un maximum égal à 4, atteint en x = 0.
De plus f(x) > 0 : f est bornée (0 < f(x) ≤ 4). C'est la réponse à la question du professeur de Hawa.
5. Éléments de symétrie d'une courbe
Méthode
Pour montrer une symétrie de la courbe de f :
- Axe x = a : je vérifie que, pour tout x de Df, 2a − x est dans Df et f(2a − x) = f(x).
- Centre Ω(a ; b) : je vérifie que, pour tout x de Df, 2a − x est dans Df et f(2a − x) + f(x) = 2b.
- Je développe et je simplifie avec soin, puis je conclus par une phrase.
Exemple
Montrer que la droite x = 2 est axe de symétrie de la courbe de f(x) = x² − 4x + 1.
Df = ℝ, donc 4 − x ∈ Df pour tout x.
f(4 − x) = (4 − x)² − 4(4 − x) + 1 = 16 − 8x + x² − 16 + 4x + 1 = x² − 4x + 1 = f(x).
La droite d'équation x = 2 est axe de symétrie de la courbe.
Exemple
Montrer que Ω(1 ; 2) est centre de symétrie de la courbe de g(x) = (2x + 1)/(x − 1).
Dg = ℝ \ {1}. Si x ≠ 1, alors 2 − x ≠ 1 : 2 − x ∈ Dg.
g(2 − x) = (2(2 − x) + 1)/((2 − x) − 1) = (5 − 2x)/(1 − x) = (2x − 5)/(x − 1).
g(x) + g(2 − x) = (2x + 1 + 2x − 5)/(x − 1) = (4x − 4)/(x − 1) = 4 = 2 × 2.
Ω(1 ; 2) est centre de symétrie de la courbe de g.
6. Courbes et translations
Si a et b sont deux réels, la courbe de x mapsto f(x - a) + b est l'image de la courbe de f par la translation de vecteur u(a ; b). Par exemple, h(x) = x2 - 2x + 3 = (x - 1)2 + 2 : sa courbe est la parabole y = x2 translatée de 1 vers la droite et de 2 vers le haut.
3Je retiens
Je retiens
Paire : Df symétrique et f(−x) = f(x) ; courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Impaire : Df symétrique et f(−x) = −f(x) ; courbe symétrique par rapport à O.
Taux de variation T = (f(b) − f(a))/(b − a) : T > 0 sur I ⟹ f strictement croissante sur I ; T < 0 ⟹ strictement décroissante.
Majorée par M : f(x) ≤ M ; on étudie le signe de f(x) − M. Maximum : f(x) ≤ f(x0).
Axe x = a : f(2a − x) = f(x). Centre Ω(a ; b) : f(2a − x) + f(x) = 2b.
Courbe de f(x − a) + b : translation de vecteur (a ; b) de la courbe de f.
4Erreurs fréquentes
- Conclure « f est paire » après avoir vérifié f(−2) = f(2) sur un seul exemple : il faut prouver f(−x) = f(x) pour tout x. Un seul exemple suffit seulement pour montrer qu'une fonction n'est pas paire.
- Oublier de vérifier que Df est symétrique : f(x) = √x n'est ni paire ni impaire, car −4 n'est pas dans Df.
- Confondre majorant et maximum : 5 est un majorant de 4/(x² + 1), mais le maximum est 4, car il est atteint.
- Se tromper de sens dans la translation : la courbe de (x − 1)² est décalée vers la droite, pas vers la gauche.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Étudie la parité de :
a) f(x) = 3x4 - x2 + 5
b) g(x) = xx2 - 1
c) h(x) = x3 + 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Df = ℝ ; f(-x) = 3x4 - x2 + 5 = f(x) : f est paire.
b) Dg = ℝ setminus {-1 ; 1}, symétrique par rapport à 0. g(-x) = -xx2 - 1 = -g(x) : g est impaire.
c) h(1) = 2 et h(-1) = 0 : h(-1) ≠ h(1) et h(-1) ≠ -h(1). h n'est ni paire ni impaire.
2Exercice 2
Soit f(x) = -2x2 + 3. Calcule le taux de variation de f entre deux réels distincts a et b, puis déduis-en le sens de variation de f sur [0 ; +∞[.
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T = (-2b2 + 3) - (-2a2 + 3)b - a = -2(b2 - a2)b - a = -2(b - a)(b + a)b - a = -2(a + b).
Si a et b sont des réels positifs distincts, a + b > 0 donc T < 0 : f est strictement décroissante sur [0 ; +∞[.
3Exercice 3
Soit f(x) = 2xx2 + 1 sur ℝ.
a) Montre que f(x) - 1 = -(x - 1)2x2 + 1 et que f(x) + 1 = (x + 1)2x2 + 1.
b) Déduis-en que f est bornée et donne son maximum et son minimum.
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a) f(x) - 1 = 2x - (x2 + 1)x2 + 1 = -(x2 - 2x + 1)x2 + 1 = -(x - 1)2x2 + 1.
f(x) + 1 = 2x + x2 + 1x2 + 1 = (x + 1)2x2 + 1.
b) Le dénominateur est strictement positif. Donc f(x) - 1 ≤ 0 et f(x) + 1 ≥ 0, soit -1 ≤ f(x) ≤ 1 : f est bornée. f(1) = 1 : le maximum est 1, atteint en 1. f(-1) = -1 : le minimum est -1, atteint en -1.
4Exercice 4
Montre que la droite d'équation x = -3 est axe de symétrie de la courbe de f(x) = x2 + 6x - 2.
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Ici a = -3, donc 2a - x = -6 - x, qui est bien dans Df = ℝ.
f(-6 - x) = (-6 - x)2 + 6(-6 - x) - 2 = 36 + 12x + x2 - 36 - 6x - 2 = x2 + 6x - 2 = f(x).
La droite x = -3 est axe de symétrie de la courbe.
5Exercice 5
Montre que le point Ω(2 ; 1) est centre de symétrie de la courbe de g(x) = x + 3x - 2.
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Dg = ℝ setminus {2} ; si x ≠ 2, alors 4 - x ≠ 2.
g(4 - x) = 4 - x + 34 - x - 2 = 7 - x2 - x = x - 7x - 2.
g(x) + g(4 - x) = x + 3 + x - 7x - 2 = 2x - 4x - 2 = 2 = 2 × 1.
Ω(2 ; 1) est centre de symétrie de la courbe de g.
6Exercice 6
(Type BAC) Soit h(x) = x2 - 2x + 3.
a) Écris h(x) sous la forme (x - a)2 + b.
b) Déduis-en que la courbe de h est l'image de la parabole y = x2 par une translation que tu préciseras.
c) Donne le sens de variation de h et son minimum.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) h(x) = (x - 1)2 - 1 + 3 = (x - 1)2 + 2.
b) La courbe de h est l'image de la parabole y = x2 par la translation de vecteur u(1 ; 2).
c) x mapsto x2 est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. Après translation, h est décroissante sur ]-∞ ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[. Comme (x - 1)2 ≥ 0, h(x) ≥ 2 = h(1) : le minimum de h est 2, atteint en x = 1.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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