Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 23
Les suites
Je sais définir une suite numérique, calculer ses termes, étudier son sens de variation et utiliser les suites arithmétiques (terme général et somme de termes).
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer les termes d'une suite définie de façon explicite ou par récurrence
- Étudier le sens de variation d'une suite
- Reconnaître une suite arithmétique et écrire son terme général
- Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique
Avant de commencer : Le calcul littéral, les équations et inéquations du premier degré, la notion de fonction et d'image.
1Je découvre
Sékou vend des cartes de recharge devant la gare routière de Kankan. Au début de l'année, il a déjà 50 000 GNF dans sa caisse d'épargne. Chaque fin de mois, il y ajoute 20 000 GNF, sans jamais rien retirer.
Il note ses économies dans un petit carnet :
| Mois | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Épargne (GNF) | 50 000 | 70 000 | 90 000 | 110 000 | 130 000 |
Il remarque qu'on passe d'un nombre au suivant en ajoutant toujours la même quantité. Il se demande combien il aura au bout d'un an, et surtout au bout de combien de mois il atteindra 500 000 GNF pour acheter un réfrigérateur d'occasion. Écrire la liste mois par mois serait long.
Cette liste de nombres rangés dans l'ordre s'appelle une suite.
Comment décrire une telle liste de nombres par une formule, et comment calculer rapidement n'importe lequel de ses termes ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce qu'une suite ?
Une suite numérique u est une fonction qui, à chaque entier naturel n (à partir d'un certain rang), associe un nombre réel noté un.
- un se lit « u indice n » : c'est le terme de rang n (ou terme d'indice n).
- La suite tout entière se note u ou (un).
- Le premier terme est souvent u0, parfois u1 : lis bien l'énoncé.
Attention à la différence entre (un), qui désigne toute la suite, et un, qui est un seul nombre.
Dans l'exemple de Sékou, u0 = 50 000, u1 = 70 000, u2 = 90 000, etc.
2. Deux façons de définir une suite
a) Définition explicite. On donne un directement en fonction de n : un = f(n). On calcule alors n'importe quel terme sans connaître les précédents.
b) Définition par récurrence. On donne le premier terme et une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent : u0 = a et un+1 = g(un). Pour obtenir u10, il faut calculer u1, u2, …, u9 avant.
Pour Sékou : définition par récurrence u0 = 50 000 et un+1 = un + 20 000 ; définition explicite un = 50 000 + 20 000 n.
Exemple
Suite définie de façon explicite : u_n = 3n − 2 pour tout entier naturel n.
u_0 = 3 × 0 − 2 = −2
u_1 = 3 × 1 − 2 = 1
u_2 = 3 × 2 − 2 = 4
u_10 = 3 × 10 − 2 = 28
On obtient u_10 directement, sans calculer les termes précédents.
Exemple
Suite définie par récurrence : u_0 = 2 et u_(n+1) = 2u_n − 1.
u_1 = 2 × u_0 − 1 = 2 × 2 − 1 = 3
u_2 = 2 × u_1 − 1 = 2 × 3 − 1 = 5
u_3 = 2 × u_2 − 1 = 2 × 5 − 1 = 9
Pour connaître u_3, on a dû calculer u_1 et u_2 d'abord.
Une suite se représente dans un repère par les points isolés de coordonnées (n ; un). On ne relie pas les points, car n ne prend que des valeurs entières.
3. Sens de variation d'une suite
- (un) est croissante si, pour tout n, un+1 ≥ un.
- (un) est décroissante si, pour tout n, un+1 ≤ un.
- (un) est constante si, pour tout n, un+1 = un.
On parle de suite strictement croissante (ou décroissante) avec des inégalités strictes. Une suite qui est croissante ou décroissante est dite monotone.
La méthode la plus sûre consiste à étudier le signe de la différence un+1 - un.
Si un = f(n) avec f croissante sur [0 ; +∞[, alors la suite est croissante (même chose pour décroissante). Tu peux donc utiliser les dérivées vues dans les leçons précédentes.
Méthode
Pour étudier le sens de variation d'une suite (u_n) :
- J'écris u_(n+1) en remplaçant n par n + 1 dans la formule.
- Je calcule la différence u_(n+1) − u_n et je la simplifie (réduire au même dénominateur si besoin).
- J'étudie le signe de cette différence pour tout entier n (du domaine).
- Je conclus : différence positive ou nulle, suite croissante ; négative ou nulle, suite décroissante.
Exemple
Étudier le sens de variation de la suite définie par u_n = 5/(n + 1) pour tout n ≥ 0.
u_(n+1) = 5/(n + 2).
u_(n+1) − u_n = 5/(n + 2) − 5/(n + 1)
= [5(n + 1) − 5(n + 2)] / [(n + 1)(n + 2)]
= (5n + 5 − 5n − 10) / [(n + 1)(n + 2)]
= −5 / [(n + 1)(n + 2)].
Pour tout n ≥ 0, le dénominateur est strictement positif et le numérateur vaut −5 : la différence est strictement négative.
La suite (u_n) est strictement décroissante.
4. Les suites arithmétiques
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un nombre réel r, appelé raison, tel que pour tout n :
un+1 = un + r.
On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r. C'est exactement l'épargne de Sékou, avec r = 20 000.
Pour montrer qu'une suite est arithmétique, on calcule un+1 - un et on vérifie que le résultat est un nombre qui ne dépend pas de n.
Terme général. Si (un) est arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors pour tout n :
un = u0 + n r, et plus généralement un = up + (n - p) r pour tous entiers n et p.
Si le premier terme est u1, on écrit un = u1 + (n - 1) r.
Sens de variation. Une suite arithmétique est strictement croissante si r > 0, strictement décroissante si r < 0, constante si r = 0 (car un+1 - un = r). Ses points (n ; un) sont alignés sur une droite de coefficient directeur r.
5. Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique
Commençons par un cas célèbre : S = 1 + 2 + 3 + … + n. Écris la somme dans les deux sens et additionne terme à terme : chaque paire vaut n + 1 et il y a n paires. Donc 2S = n(n + 1) et :
1 + 2 + … + n = n(n + 1)2.
Le même raisonnement donne la règle générale. Pour une suite arithmétique :
S = (nombre de termes) × premier terme + dernier terme2.
Par exemple, u0 + u1 + … + un = (n + 1) u0 + un2.
Attention : de u0 à un, il y a n + 1 termes ; de up à un, il y en a n - p + 1.
Exemple
(u_n) est arithmétique de premier terme u_1 = 3 et de raison r = 4. Calculer S = u_1 + u_2 + … + u_20.
Dernier terme : u_20 = u_1 + (20 − 1) × 4 = 3 + 76 = 79.
Nombre de termes : de u_1 à u_20, il y a 20 termes.
S = 20 × (3 + 79)/2 = 20 × 41 = 820.
6. Retour à l'épargne de Sékou
La suite est arithmétique : u0 = 50 000 et r = 20 000, donc un = 50 000 + 20 000 n.
- Au bout de 12 mois : u12 = 50 000 + 240 000 = 290 000 GNF.
- Il veut un ≥ 500 000 : 20 000 n ≥ 450 000, soit n ≥ 22,5. Comme n est entier, il faut n = 23 mois.
Vérification : u22 = 490 000 (pas assez) et u23 = 510 000 (suffisant).
3Je retiens
Je retiens
Une suite (u_n) associe à chaque entier n un réel u_n ; elle peut être définie de façon explicite (u_n = f(n)) ou par récurrence (u_0 et u_(n+1) en fonction de u_n).
Sens de variation : on étudie le signe de u_(n+1) − u_n (positif : croissante ; négatif : décroissante).
Suite arithmétique de raison r : u_(n+1) = u_n + r pour tout n.
Terme général : u_n = u_0 + n r ; plus généralement u_n = u_p + (n − p) r.
Croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0.
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
Somme de termes consécutifs : S = (nombre de termes) × (premier + dernier)/2.
4Erreurs fréquentes
- Confondre u_(n+1) et u_n + 1 : si u_n = 3n − 2, alors u_(n+1) = 3(n + 1) − 2 = 3n + 1, alors que u_n + 1 = 3n − 1.
- Se tromper dans le nombre de termes : de u_0 à u_n il y a n + 1 termes, pas n.
- Utiliser u_n = u_0 + n r alors que le premier terme est u_1 : il faut alors u_n = u_1 + (n − 1) r.
- Conclure qu'une suite est arithmétique en regardant seulement les trois premiers termes : il faut montrer que u_(n+1) − u_n est constant pour TOUT n.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On considère la suite définie pour tout entier naturel n par un = 2n2 - 1.
a) Calcule u0, u1, u2 et u5.
b) Exprime un+1 en fonction de n.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u0 = 2 × 0 - 1 = -1 ; u1 = 2 × 1 - 1 = 1 ; u2 = 2 × 4 - 1 = 7 ; u5 = 2 × 25 - 1 = 49.
b) un+1 = 2(n + 1)2 - 1 = 2(n2 + 2n + 1) - 1 = 2n2 + 4n + 1.
2Exercice 2
On considère la suite définie par v0 = 1 et, pour tout n, vn+1 = vn + 2n + 1.
a) Calcule v1, v2 et v3.
b) Étudie le sens de variation de (vn).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) v1 = v0 + 2 × 0 + 1 = 2 ; v2 = v1 + 2 × 1 + 1 = 5 ; v3 = v2 + 2 × 2 + 1 = 10.
b) vn+1 - vn = 2n + 1. Pour tout entier naturel n, 2n + 1 ≥ 1 > 0. La suite (vn) est strictement croissante.
3Exercice 3
(un) est une suite arithmétique telle que u3 = 11 et u8 = 26.
a) Calcule la raison r et le premier terme u0.
b) Exprime un en fonction de n et calcule u20.
c) Le nombre 2 021 est-il un terme de cette suite ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u8 = u3 + (8 - 3)r, donc 26 = 11 + 5r, soit 5r = 15 et r = 3. Puis u3 = u0 + 3r donne u0 = 11 - 9 = 2.
b) un = 2 + 3n. Donc u20 = 2 + 60 = 62.
c) On cherche un entier n tel que 2 + 3n = 2 021, soit 3n = 2 019 et n = 673. C'est un entier : 2 021 est le terme u673.
4Exercice 4
Calcule la somme S = 5 + 8 + 11 + … + 62.
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Les termes augmentent de 3 : c'est une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 3. Si 62 est le k-ième terme : 5 + (k - 1) × 3 = 62, soit k - 1 = 19 et k = 20. Il y a 20 termes.
S = 20 × 5 + 622 = 10 × 67 = 670.
5Exercice 5
(Type examen) On définit la suite (wn) par wn = 3n + 12 pour tout entier naturel n.
a) Montre que (wn) est une suite arithmétique ; précise sa raison et son premier terme.
b) Donne son sens de variation.
c) Calcule w0 + w1 + … + w19.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) wn+1 - wn = 3(n + 1) + 12 - 3n + 12 = 32. Ce nombre ne dépend pas de n : (wn) est arithmétique de raison r = 32 et de premier terme w0 = 12.
b) r = 32 > 0 : la suite est strictement croissante.
c) Il y a 20 termes. w19 = 3 × 19 + 12 = 582 = 29.
w0 + … + w19 = 20 × 12 + 292 = 10 × 29,5 = 295.
6Exercice 6
(Problème) Hawa organise la salle de conférence d'un lycée de Mamou. La première rangée compte 12 chaises, et chaque rangée compte 2 chaises de plus que la précédente.
a) On note cn le nombre de chaises de la rangée numéro n (c1 = 12). Exprime cn en fonction de n.
b) La salle compte 15 rangées. Combien de chaises y a-t-il dans la dernière rangée ? Dans toute la salle ?
c) Montre que le nombre total de chaises dans n rangées est n(n + 11), puis détermine le nombre minimal de rangées pour installer au moins 600 personnes.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On ajoute 2 chaises à chaque rangée : (cn) est arithmétique de raison 2 et de premier terme c1 = 12. Donc cn = 12 + (n - 1) × 2 = 2n + 10.
b) c15 = 2 × 15 + 10 = 40 chaises. Total : 15 × 12 + 402 = 15 × 26 = 390 chaises.
c) Dans n rangées : Sn = n × 12 + (2n + 10)2 = n × 2n + 222 = n(n + 11).
On cherche le plus petit n tel que n(n + 11) ≥ 600. Pour n = 19 : 19 × 30 = 570 < 600. Pour n = 20 : 20 × 31 = 620 ≥ 600. Comme n(n + 11) augmente avec n, il faut au minimum 20 rangées.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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