Karamö, le prof virtuelLeçon 23 sur 23
Le pourcentage d'évolution
Je sais calculer un taux d'évolution, utiliser le coefficient multiplicateur pour enchaîner des évolutions successives, trouver une évolution réciproque et un taux moyen.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer un taux d'évolution entre une valeur de départ et une valeur d'arrivée
- Passer d'un taux d'évolution au coefficient multiplicateur et inversement
- Calculer le taux global de plusieurs évolutions successives et le taux réciproque
- Calculer un taux moyen et utiliser les indices base 100
Avant de commencer : Les pourcentages (collège), les fractions et les puissances, la leçon « Suites géométriques ».
1Je découvre
Au marché Madina, Kadiatou vend du riz au détail. Pour l'exemple de la leçon, supposons qu'un sac de 50 kg lui coûtait 350 000 GNF en janvier et qu'il coûte 385 000 GNF en mars.
Son voisin Lansana dit : « Le prix a augmenté de 35 000 GNF. » Kadiatou préfère parler en pourcentage : « Il a augmenté de 10 %. » C'est plus parlant, car on peut comparer avec la hausse d'un autre produit, quel que soit son prix.
En juin, le prix baisse de 10 %. Lansana est content : « Nous revenons au prix de janvier ! » Kadiatou fait le calcul : 385 000 × 0,9 = 346 500 GNF. Ce n'est pas 350 000 GNF.
Une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % ne se compensent donc pas. Pourquoi ?
Comment calculer correctement une évolution en pourcentage, et comment enchaîner plusieurs évolutions ?
2Je comprends
1. Le taux d'évolution
Une quantité passe d'une valeur de départ VD (non nulle) à une valeur d'arrivée VA.
- La variation absolue est VA - VD (dans l'unité de la quantité, par exemple en GNF).
- Le taux d'évolution (ou variation relative) est :
t = VA - VDVD.
On l'exprime souvent en pourcentage : t × 100 \%.
Si t > 0, c'est une hausse ; si t < 0, c'est une baisse. On divise toujours par la valeur de départ.
Pour le riz : t = 385 000 - 350 000350 000 = 35 000350 000 = 0,10, soit une hausse de 10 %.
2. Le coefficient multiplicateur
De t = VA - VDVD, on tire VA = VD + t VD = VD (1 + t). Le nombre
CM = 1 + t = VAVD
s'appelle le coefficient multiplicateur. Faire évoluer une quantité de t, c'est la multiplier par 1 + t.
| Évolution | Coefficient multiplicateur |
|---|---|
| Hausse de 15 % | 1 + 0,15 = 1,15 |
| Baisse de 15 % | 1 - 0,15 = 0,85 |
| Hausse de 100 % (doublement) | 2 |
| Baisse de 50 % (division par 2) | 0,5 |
Inversement, un coefficient CM > 1 correspond à une hausse de (CM - 1) × 100 \%, et un coefficient CM < 1 à une baisse de (1 - CM) × 100 \%.
Exemple
Un pagne coûte 200 000 GNF. Son prix augmente de 15 %. Quel est le nouveau prix ? Un autre article coûte 50 000 GNF après une hausse de 25 %. Quel était son prix avant la hausse ?
Nouveau prix du pagne : 200 000 × 1,15 = 230 000 GNF.
Prix de départ de l'autre article : V_D × 1,25 = 50 000, donc V_D = 50 000/1,25 = 40 000 GNF.
Attention : 50 000 − 25 % de 50 000 = 37 500 serait FAUX, car les 25 % portent sur le prix de départ, pas sur le prix d'arrivée.
3. Évolutions successives
Si une quantité subit successivement des évolutions de taux t1, t2, …, tn, elle est multipliée par (1 + t1), puis par (1 + t2), etc. Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients :
CMglobal = (1 + t1)(1 + t2)⋯(1 + tn), et le taux global est T = CMglobal - 1.
Les taux ne s'additionnent pas : on multiplie les coefficients.
Exemple
Un prix augmente de 20 %, puis baisse de 20 %. Quelle est l'évolution globale ?
CM global = 1,20 × 0,80 = 0,96.
T = 0,96 − 1 = −0,04 : c'est une BAISSE de 4 %, et non une évolution nulle.
Explication : la baisse de 20 % s'applique à un prix déjà augmenté, donc plus grand ; elle retire plus que ce que la hausse avait ajouté.
- 1Valeur de départ : 100
- 2Hausse de 20 % : on multiplie par 1,20 et on obtient 120
- 3Baisse de 20 % : on multiplie par 0,80 et on obtient 96
- 4Bilan : 96 au lieu de 100, soit une baisse globale de 4 %
4. Évolution réciproque
L'évolution réciproque d'une évolution de taux t est celle qui ramène à la valeur de départ. Son coefficient est l'inverse :
CM' = 11 + t et t' = 11 + t - 1.
Exemples : après une hausse de 25 %, il faut une baisse de 20 % pour revenir au départ, car 11,25 = 0,8. Après une baisse de 50 %, il faut une hausse de 100 %.
5. Taux moyen
Si une quantité subit n évolutions successives de taux global T, le taux moyen tm est le taux qui, répété n fois, donne la même évolution globale :
(1 + tm)n = 1 + T, donc 1 + tm = (1 + T)1n.
Pour n = 2, (1 + T)12 = √1 + T. À la calculatrice, on utilise la touche de puissance avec l'exposant 1n.
Le lien avec les suites géométriques est direct : une quantité qui évolue chaque année du même taux t forme une suite géométrique de raison 1 + t.
Méthode
Pour résoudre un problème d'évolutions en pourcentage :
- Je repère la valeur de départ et je traduis chaque évolution en coefficient multiplicateur (1 + t).
- Pour des évolutions successives, je multiplie les coefficients ; le taux global est CM − 1.
- Pour retrouver une valeur de départ, je DIVISE la valeur d'arrivée par le coefficient.
- Pour l'évolution réciproque, je prends l'inverse du coefficient.
- Pour un taux moyen sur n périodes, je calcule (CM global)^(1/n) − 1.
- Je vérifie l'ordre de grandeur (une hausse doit donner un résultat plus grand).
Exemple
Un prix augmente de 10 % par an pendant 3 ans. Quelle est l'évolution globale ? Inversement, si une quantité augmente globalement de 33,1 % en 3 ans, quel est le taux annuel moyen ?
CM global = 1,1³ = 1,331 : hausse globale de 33,1 % (et non 30 %).
Inversement, (1 + t_m)³ = 1,331, donc 1 + t_m = 1,331^(1/3) = 1,1 : taux moyen de 10 % par an.
6. Points de pourcentage et indices
Pourcentage ou points ? Si un taux passe de 20 % à 25 %, il augmente de 5 points de pourcentage, mais son évolution relative est de 25 - 2020 = 25 \%. Il ne faut pas confondre les deux.
Indice base 100. Pour suivre l'évolution d'une quantité, on lui donne la valeur 100 à une date de référence. L'indice à une autre date est I = 100 × VVréférence. Un indice de 120 signifie une hausse de 20 % depuis la référence ; un indice de 85, une baisse de 15 %.
7. Retour au riz de Kadiatou
Hausse de 10 % puis baisse de 10 % : CM = 1,10 × 0,90 = 0,99, soit une baisse globale de 1 %. On retrouve bien 350 000 × 0,99 = 346 500 GNF. Pour revenir exactement au prix de janvier après la hausse, il aurait fallu une baisse de 1 - 11,1 ≈ 9,09 \%, et non de 10 %.
3Je retiens
Je retiens
Taux d'évolution : t = (V_A − V_D)/V_D, toujours divisé par la valeur de DÉPART.
Coefficient multiplicateur : CM = 1 + t = V_A/V_D ; hausse de t % : × (1 + t/100) ; baisse de t % : × (1 − t/100).
Évolutions successives : on MULTIPLIE les coefficients ; les taux ne s'additionnent pas.
Évolution réciproque : coefficient 1/(1 + t).
Taux moyen sur n périodes : (1 + t_m)^n = 1 + T.
Indice base 100 : I = 100 × V/V_référence.
4Erreurs fréquentes
- Additionner les taux : +20 % puis −20 % ne donne pas 0 %, mais −4 %.
- Diviser par la valeur d'arrivée au lieu de la valeur de départ dans le calcul du taux.
- Retrouver une valeur de départ en retranchant le pourcentage à la valeur d'arrivée : il faut diviser par le coefficient.
- Confondre points de pourcentage et pourcentage d'évolution.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule le taux d'évolution (en pourcentage) dans chaque cas :
a) de 80 000 GNF à 92 000 GNF ;
b) de 150 000 GNF à 120 000 GNF ;
c) de 2 500 à 5 000.
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a) t = 92 000 - 80 00080 000 = 12 00080 000 = 0,15 : hausse de 15 %.
b) t = 120 000 - 150 000150 000 = -30 000150 000 = -0,20 : baisse de 20 %.
c) t = 5 000 - 2 5002 500 = 1 : hausse de 100 % (la valeur a doublé).
2Exercice 2
a) Donne le coefficient multiplicateur associé à : une hausse de 7 % ; une baisse de 35 % ; une hausse de 150 %.
b) Donne l'évolution (en %) associée aux coefficients : 1,8 ; 0,92 ; 0,4.
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a) Hausse de 7 % : 1,07 ; baisse de 35 % : 0,65 ; hausse de 150 % : 2,5.
b) 1,8 : hausse de 80 % ; 0,92 : baisse de 8 % ; 0,4 : baisse de 60 %.
3Exercice 3
Le prix d'un article augmente de 10 %, baisse ensuite de 5 %, puis augmente de 20 %. Calcule le taux d'évolution global.
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CM = 1,10 × 0,95 × 1,20 = 1,045 × 1,20 = 1,254.
T = 1,254 - 1 = 0,254 : hausse globale de 25,4 % (et non de 10 - 5 + 20 = 25 \%).
4Exercice 4
Après une baisse de 30 %, une moto d'occasion est vendue 5 600 000 GNF.
a) Quel était son prix avant la baisse ?
b) Quel pourcentage de hausse faudrait-il appliquer au nouveau prix pour revenir au prix initial ? Arrondis au centième.
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a) VD × 0,70 = 5 600 000, donc VD = 5 600 0000,70 = 8 000 000 GNF.
b) Coefficient réciproque : 10,70 ≈ 1,428 6. Il faudrait une hausse d'environ 42,86 %.
Contrôle : 5 600 000 × 10,7 = 8 000 000.
5Exercice 5
(Type examen) Pour l'exercice, on considère une ville dont la population est passée de 50 000 habitants à 60 500 habitants en 2 ans.
a) Calcule le taux d'évolution global sur les 2 ans.
b) Calcule le taux d'évolution annuel moyen.
c) En supposant que ce taux annuel se maintienne, calcule la population 2 ans plus tard.
d) On prend 100 comme indice de la population au départ. Donne les indices au bout de 2 ans et de 4 ans.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) T = 60 500 - 50 00050 000 = 10 50050 000 = 0,21 : hausse de 21 % en 2 ans.
b) (1 + tm)2 = 1,21, donc 1 + tm = √1,21 = 1,1 : taux annuel moyen de 10 %.
Contrôle : 50 000 × 1,1 = 55 000 puis 55 000 × 1,1 = 60 500.
c) Deux ans de plus à 10 % par an : 60 500 × 1,21 = 73 205 habitants.
d) Indice au bout de 2 ans : 100 × 60 50050 000 = 121. Au bout de 4 ans : 100 × 73 20550 000 = 146,41 (hausse de 46,41 % en 4 ans).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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