Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 33
Vecteur position, vecteur vitesse, vecteur accélération
À partir des équations horaires d'un mouvement, je sais écrire les vecteurs position, vitesse et accélération, calculer leurs normes et trouver l'équation de la trajectoire.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le vecteur position et les équations horaires d'un point mobile
- Obtenir le vecteur vitesse par dérivation et savoir qu'il est tangent à la trajectoire
- Obtenir le vecteur accélération et le décomposer en accélération tangentielle et normale
- Établir l'équation cartésienne de la trajectoire
Avant de commencer : La leçon « Notions de cinématique » (référentiel, repère, vitesse moyenne et instantanée) ; les vecteurs et leurs coordonnées ; la dérivée d'une fonction polynôme et des fonctions sinus et cosinus.
1Je découvre
Pendant un match de l'équipe du quartier à Kaloum, Alpha frappe le ballon qui monte, s'arrête de monter, puis redescend. Ibrahima filme l'action avec un téléphone posé sur un muret et, image par image, il note la position du ballon dans un repère : horizontalement x, verticalement y.
Il obtient des formules du genre x = 3t et y = 4t - 5t2 (en mètres et en secondes). Avec ces deux lignes, il se demande s'il peut tout savoir : à quelle vitesse part le ballon ? Dans quelle direction ? Où est-il le plus haut ? Quelle est la forme de sa trajectoire ?
La vitesse moyenne ne suffit plus : la vitesse du ballon change en valeur et en direction. Il faut un outil qui décrit à chaque instant la position, la vitesse et la façon dont la vitesse change.
Comment, à partir des coordonnées d'un point en fonction du temps, obtenir ses vecteurs position, vitesse et accélération, et la forme de sa trajectoire ?
2Je comprends
On travaille dans un référentiel donné (souvent terrestre), muni d'un repère orthonormé (O ; i,j,k) et d'une origine des dates.
1. Le vecteur position et les équations horaires
La position d'un point mobile M à la date t est repérée par le vecteur position :
overrightarrowOM = x(t) i + y(t) j + z(t) k.
Les fonctions x(t), y(t), z(t) sont les équations horaires (ou lois horaires) du mouvement. Sa norme est la distance OM = √x2 + y2 + z2.
Dans un mouvement plan (ballon, projectile), on se limite à x(t) et y(t).
2. L'équation de la trajectoire
Les équations horaires décrivent la trajectoire sous forme paramétrique (le paramètre est t). Pour obtenir l'équation cartésienne de la trajectoire, on élimine t entre x(t) et y(t).
Exemple
Le ballon d'Alpha : x = 3t et y = 4t − 5t² (SI), pour t ≥ 0. Trouver l'équation de la trajectoire.
De x = 3t on tire t = x/3.
On remplace dans y : y = 4(x/3) − 5(x/3)² = (4/3)x − (5/9)x².
C'est l'équation d'une parabole : la trajectoire est un arc de parabole tourné vers le bas.
Le ballon retombe (y = 0) quand x[(4/3) − (5/9)x] = 0, soit x = 0 ou x = (4/3) × (9/5) = 12/5 = 2,4 m.
3. Le vecteur vitesse
Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
v = doverrightarrowOMdt, donc v = dotx i + doty j + dotz k
avec les coordonnées vx = dxdt, vy = dydt, vz = dzdt (on note souvent dotx la dérivée de x par rapport au temps).
Caractéristiques du vecteur vitesse à la date t :
- point d'application : la position M du mobile ;
- direction : la tangente à la trajectoire en M ;
- sens : celui du mouvement ;
- norme : v = √vx2 + vy2 + vz2, en m·s-1.
C'est la version précise de ce que tu faisais sur un enregistrement avec Mi-1Mi+12tau : quand tau devient très petit, ce quotient tend vers la dérivée.
4. Le vecteur accélération
L'accélération mesure la façon dont le vecteur vitesse change (en valeur ou en direction). Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse :
a = dvdt = d2overrightarrowOMdt2, donc ax = dvxdt = ddotx, ay = ddoty, az = ddotz.
Sa norme a = √ax2 + ay2 + az2 s'exprime en m·s-2.
Attention : un mobile qui roule à vitesse constante dans un virage a une accélération non nulle, car la direction de v change.
Méthode
Pour étudier un mouvement à partir des équations horaires :
- J'écris le vecteur position OM = x(t) i + y(t) j.
- Je dérive chaque coordonnée pour obtenir vx(t) et vy(t), puis je calcule v = √(vx² + vy²) à la date voulue.
- Je dérive encore pour obtenir ax(t) et ay(t), puis a = √(ax² + ay²).
- J'élimine t entre x(t) et y(t) pour obtenir l'équation de la trajectoire.
- Je vérifie les unités et je réponds à la question posée (date, position, vitesse).
Exemple
Ballon d'Alpha : x = 3t ; y = 4t − 5t² (SI). Calculer la vitesse au départ, la date et la position du sommet, puis l'accélération.
Vitesse : vx = 3 ; vy = 4 − 10t.
À t = 0 : vx = 3 m/s, vy = 4 m/s, v₀ = √(3² + 4²) = √25 = 5 m/s.
Au sommet, la vitesse est horizontale : vy = 0, donc 4 − 10t = 0, t = 0,4 s.
Position du sommet : x = 3 × 0,4 = 1,2 m ; y = 4 × 0,4 − 5 × 0,4² = 1,6 − 0,8 = 0,8 m.
Vitesse au sommet : v = 3 m/s (seule reste la composante horizontale).
Accélération : ax = 0 ; ay = −10 m/s². Le vecteur a est vertical, vers le bas, de norme 10 m/s², constant : c'est l'effet de la pesanteur.
5. Accélération tangentielle et accélération normale (repère de Frenet)
Pour les mouvements curvilignes, on utilise un repère mobile attaché au point M : le repère de Frenet (M ; tau,n) où
- tau est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement ;
- n est le vecteur unitaire normal, perpendiculaire à tau, dirigé vers l'intérieur de la courbe (vers le centre de courbure).
Dans ce repère :
v = v tau et a = at tau + an n, avec at = dvdt et an = v2R
où R est le rayon de courbure de la trajectoire en M (pour un cercle, c'est le rayon du cercle).
- L'accélération tangentielle at traduit la variation de la valeur de la vitesse : at > 0 si le mouvement est accéléré, at < 0 s'il est retardé, at = 0 s'il est uniforme.
- L'accélération normale an, toujours positive ou nulle, traduit le changement de direction de la vitesse. Elle est nulle pour un mouvement rectiligne (R infini).
On a toujours a = √at2 + an2.
Nature du mouvement à partir de a et v : si a·v > 0, la vitesse augmente (accéléré) ; si a·v < 0, elle diminue (retardé) ; si a·v = 0 en permanence, la valeur de la vitesse est constante (uniforme).
Remarque de série : en SE, l'essentiel est de savoir dériver les équations horaires, calculer les normes et trouver la trajectoire ; le repère de Frenet est surtout exigé en SM.
3Je retiens
Je retiens
Vecteur position : OM = x(t) i + y(t) j + z(t) k ; x(t), y(t), z(t) sont les équations horaires.
Trajectoire : on élimine t entre x(t) et y(t).
Vecteur vitesse : v = dOM/dt ; vx = dx/dt, vy = dy/dt ; tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement ; v = √(vx² + vy²).
Vecteur accélération : a = dv/dt ; ax = dvx/dt ; a = √(ax² + ay²), en m·s⁻².
Repère de Frenet : v = v τ ; a = (dv/dt) τ + (v²/R) n.
a·v > 0 : accéléré ; a·v < 0 : retardé ; a·v = 0 : uniforme.
4Erreurs fréquentes
- Calculer la norme en additionnant les coordonnées : v = vx + vy est faux ; v = √(vx² + vy²).
- Croire qu'une vitesse constante en valeur implique une accélération nulle : dans un virage, la direction change, donc a ≠ 0.
- Oublier que la dérivée d'une constante est nulle et que la dérivée de t² est 2t (et non t).
- Dessiner le vecteur vitesse vers le centre de la courbe : il est tangent à la trajectoire ; c'est l'accélération normale qui est dirigée vers le centre.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Les équations horaires d'un point sont x = 2t + 1 et y = t - 3 (SI).
a) Écris le vecteur position à t = 2 s et calcule OM.
b) Détermine le vecteur vitesse. Que peux-tu dire de sa valeur ?
c) Donne l'équation de la trajectoire et sa nature.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) À t = 2 s : x = 5 m ; y = -1 m. overrightarrowOM = 5 i - j ; OM = √25 + 1 = √26 ≈ 5,1 m.
b) vx = 2 m/s ; vy = 1 m/s ; v = 2 i + j, constant. v = √4 + 1 = √5 ≈ 2,24 m/s, constante.
c) t = y + 3, donc x = 2(y + 3) + 1 = 2y + 7, soit y = x - 72 : c'est une droite. Vecteur vitesse constant et trajectoire rectiligne : mouvement rectiligne uniforme.
2Exercice 2
Un mobile se déplace sur un axe selon x = 2t2 - 8t + 3 (SI).
a) Exprime vx(t) et ax(t).
b) À quelle date le mobile s'arrête-t-il ? Quelle est alors sa position ?
c) Pour t compris entre 0 et 2 s, le mouvement est-il accéléré ou retardé ?
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a) vx = 4t - 8 ; ax = 4 m/s² (constante).
b) vx = 0 ⇔ t = 2 s. x(2) = 2 × 4 - 16 + 3 = -5 m.
c) Pour 0 < t < 2 s : vx < 0 et ax > 0, donc ax vx < 0 : le mouvement est retardé (le mobile ralentit jusqu'à l'arrêt à t = 2 s).
3Exercice 3
Une voiture aborde à vitesse constante v = 15 m/s un virage circulaire de rayon R = 50 m.
a) Que vaut son accélération tangentielle ?
b) Calcule son accélération normale, puis la norme de son accélération.
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a) La valeur de la vitesse est constante : at = dvdt = 0.
b) an = v2R = 15250 = 22550 = 4,5 m/s². a = √0 + 4,52 = 4,5 m/s², dirigée vers le centre du virage.
4Exercice 4
Un point décrit une trajectoire telle que x = 3cos(2t) et y = 3sin(2t) (SI).
a) Montre que la trajectoire est un cercle dont tu donneras le centre et le rayon.
b) Calcule vx, vy, puis montre que la valeur de la vitesse est constante.
c) Calcule ax, ay, montre que a = -4 overrightarrowOM et conclus sur la direction de a.
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a) x2 + y2 = 9cos2(2t) + 9sin2(2t) = 9 : c'est le cercle de centre O et de rayon 3 m.
b) vx = -6sin(2t) ; vy = 6cos(2t). v = √36sin2(2t) + 36cos2(2t) = 6 m/s, constante.
c) ax = -12cos(2t) = -4x ; ay = -12sin(2t) = -4y. Donc a = -4 overrightarrowOM : a est dirigé de M vers le centre O (accélération centripète) ; a = 4 × 3 = 12 m/s². On vérifie : v2R = 363 = 12 m/s².
5Exercice 5
(Type examen) Un projectile est lancé dans le référentiel terrestre. Ses équations horaires sont x = 8t et y = -5t2 + 6t (SI), l'axe Oy étant vertical vers le haut.
a) Détermine les coordonnées du vecteur vitesse et calcule la vitesse initiale v0.
b) Calcule l'angle α que fait v0 avec l'horizontale (donne tanα puis α).
c) Détermine la date, les coordonnées et la vitesse au sommet de la trajectoire.
d) Établis l'équation de la trajectoire et calcule la portée (abscisse du point de retour à y = 0).
e) Caractérise le vecteur accélération.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) vx = 8 ; vy = -10t + 6. À t = 0 : v0x = 8 m/s, v0y = 6 m/s, v0 = √64 + 36 = √100 = 10 m/s.
b) tanα = v0yv0x = 68 = 0,75, donc α ≈ 36,9°.
c) Au sommet, vy = 0 : tS = 0,6 s. xS = 8 × 0,6 = 4,8 m ; yS = -5 × 0,36 + 6 × 0,6 = -1,8 + 3,6 = 1,8 m. Vitesse au sommet : vS = |vx| = 8 m/s.
d) t = x8 ; y = -5x264 + 6x8 = -564x2 + 34x : arc de parabole. y = 0 ⇔ x(-564x + 34) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 34 × 645 = 485 = 9,6 m. La portée vaut 9,6 m (on vérifie : c'est le double de xS, par symétrie).
e) ax = 0 ; ay = -10 m/s². a est constant, vertical, dirigé vers le bas, de norme 10 m/s².
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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