Les mouvements rectilignes

Un mouvement est rectiligne si sa trajectoire est une droite. On choisit alors un axe (O ; i) porté par cette droite : la position est donnée par l'abscisse x(t), la vitesse par v = dxdt et l'accélération par a = dvdt. Les vecteurs s'écrivent overrightarrowOM = x i, v = v i, a = a i.

1. Le mouvement rectiligne uniforme (MRU)

Un mouvement est rectiligne uniforme si la trajectoire est une droite et si le vecteur vitesse est constant : v = constante, donc a = 0.

En intégrant dxdt = v (on cherche une fonction dont la dérivée est la constante v), on obtient l'équation horaire :

x(t) = v t + x₀

où x₀ est l'abscisse à la date t = 0. Le graphe x(t) est une droite de pente v ; le graphe v(t) est une droite horizontale.

Si l'origine des dates n'est pas le moment où le mobile est en x₀, on écrit x(t) = v(t - t₀) + x₀.

2. Le mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

Un mouvement est rectiligne uniformément varié si la trajectoire est une droite et si le vecteur accélération est constant (non nul) : a = constante.

• On intègre dvdt = a : v(t) = a t + v₀.
• On intègre dxdt = a t + v₀ : x(t) = 12a t² + v₀ t + x₀.

avec v₀ et x₀ la vitesse et l'abscisse à t = 0 (les conditions initiales).

En éliminant t entre ces deux équations, on obtient une relation indépendante du temps, très utile :

v² - v₀² = 2a (x - x₀).

Démonstration rapide : t = v - v₀a ; en remplaçant dans x - x₀ = 12a t² + v₀ t, on obtient x - x₀ = (v - v₀)²2a + v₀(v - v₀)a = (v - v₀)(v - v₀ + 2v₀)2a = v² - v₀²2a.

Accéléré ou retardé ? Le mouvement est :

• uniformément accéléré si a v > 0 (accélération et vitesse de même signe) ;
• uniformément retardé si a v < 0 (signes contraires).

Un même MRUV peut être retardé puis accéléré : une pierre lancée vers le haut ralentit, s'arrête, puis redescend en accélérant, avec la même accélération a = -g.

Lecture des graphes

• la pente du graphe x(t) en un point donne la vitesse à cet instant ;
• la pente du graphe v(t) donne l'accélération ;
• l'aire sous le graphe v(t) entre deux dates donne le déplacement x₂ - x₁.

3. Un cas important : la chute libre verticale

Un objet est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids (on néglige l'air). Dans le référentiel terrestre, près du sol, son accélération est constante, verticale, vers le bas, de valeur g ≈ 9,8 m·s^-2 (on prend souvent 10 m·s^-2 pour simplifier). Une chute libre verticale est donc un MRUV.

Avec un axe vertical orienté vers le bas et un lâcher sans vitesse à t = 0 depuis l'origine : v = g t et x = 12g t².

Une mangue qui tombe d'une branche située à 5,0 m touche le sol au bout de t = √2 × 5,09,8 ≈ 1,0 s, à la vitesse v = √2 × 9,8 × 5,0 ≈ 9,9 m/s.

4. Le mouvement rectiligne sinusoïdal

Un point a un mouvement rectiligne sinusoïdal si son abscisse s'écrit :

x(t) = X_m cos(ω t + varphi)

• X_m : amplitude (m), avec X_m > 0 ;
• ω : pulsation (rad/s) ;
• varphi : phase à l'origine (rad) ;
• période T = 2πω (s) et fréquence N = 1T (Hz).

En dérivant : v = -X_mωsin(ω t + varphi), puis a = -X_mω²cos(ω t + varphi), donc :

a = -ω² x, ou encore ddotx + ω² x = 0.

Cette équation différentielle caractérise le mouvement rectiligne sinusoïdal : si tu la trouves, le mouvement est sinusoïdal de pulsation ω. Le mouvement est une oscillation entre -X_m et X_m ; la vitesse est maximale (X_mω) au passage en x = 0 et nulle aux extrémités. Tu le retrouveras avec les ressorts et les phénomènes vibratoires.