Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 33
Théorème de l'énergie cinétique
Je sais énoncer le théorème de l'énergie cinétique et l'appliquer pour calculer une vitesse, une distance de freinage, une force de frottement ou un couple, en translation comme en rotation.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer le théorème de l'énergie cinétique et ses conditions d'application
- Appliquer le théorème à un solide en translation (chute, plan incliné, freinage)
- Appliquer le théorème à un solide en rotation autour d'un axe fixe
- Rédiger une solution complète : système, référentiel, bilan des forces, travaux, conclusion
Avant de commencer : Les leçons « Solide en translation » (travail d'une force, travail du poids, Ec = ½ m v²) et « Solide en rotation autour d'un axe fixe » (moment, W = M Δθ, Ec = ½ J ω²).
1Je découvre
Sur la route de Coyah, un camion chargé de régimes de bananes roule à 72 km/h quand le chauffeur aperçoit un obstacle. Il freine. Plus tard, en descendant une pente, il laisse le moteur au point mort et constate que le camion prend de la vitesse tout seul.
Kadiatou, qui voyage en cabine, fait le lien avec le cours de physique : quand on freine, les frottements font un travail résistant et le camion perd de la vitesse ; dans la descente, le poids fait un travail moteur et le camion en gagne. « Il doit bien y avoir une relation exacte entre le travail des forces et la variation de la vitesse », se dit-elle. Si elle la connaissait, elle pourrait calculer la distance de freinage sans connaître la durée du freinage, ni même l'accélération.
Quelle relation relie le travail des forces appliquées à un solide et la variation de son énergie cinétique, et comment s'en servir pour résoudre des problèmes de mécanique ?
2Je comprends
1. Énoncé du théorème
Tu connais l'énergie cinétique d'un solide :
- en translation : Ec = 12m v2 ;
- en rotation autour d'un axe fixe (Δ) : Ec = 12J_Δ ω2.
Théorème de l'énergie cinétique (TEC). Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide entre deux instants tA et tB est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants :
Ec(B) - Ec(A) = Σ WA → B(Fext), ou Δ Ec = Σ W(Fext).
Remarques importantes :
- un référentiel galiléen est un référentiel où le principe de l'inertie est vérifié ; le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour les mouvements de courte durée étudiés au lycée ;
- il faut compter toutes les forces extérieures, y compris celles dont le travail est nul (on les cite, puis on justifie que leur travail est nul) ;
- le théorème s'applique à un solide indéformable ; pour un système déformable, il faudrait aussi compter les forces intérieures.
2. Interprétation
- Si Σ W > 0 (les forces motrices l'emportent), Ec augmente : le solide accélère.
- Si Σ W < 0 (les forces résistantes l'emportent), Ec diminue : le solide ralentit.
- Si Σ W = 0, Ec ne change pas : la vitesse garde la même valeur (c'est le cas du mouvement uniforme, que tu as utilisé pour le wagon de minerai dans la leçon sur la translation).
Le TEC est souvent plus rapide que les équations horaires, car il relie directement les vitesses aux positions, sans passer par le temps.
- 1Je précise le système étudié et le référentiel (terrestre, supposé galiléen).
- 2Je choisis l'état initial A et l'état final B et j'écris Ec(A) et Ec(B).
- 3Je fais le bilan de toutes les forces extérieures et je les représente sur un schéma.
- 4Je calcule le travail de chaque force entre A et B, avec son signe.
- 5J'écris le TEC : Ec(B) − Ec(A) = somme des travaux, puis je résous pour l'inconnue.
- 6Je vérifie l'unité et le sens physique du résultat.
3. Applications en translation
Exemple
Chute libre. Une mangue de 0,30 kg se détache d'une branche à 5,0 m du sol, sans vitesse initiale. Calculer sa vitesse en arrivant au sol (g = 9,8 N/kg ; on néglige l'air).
Système : la mangue ; référentiel terrestre supposé galiléen.
État A : départ, v_A = 0. État B : arrivée au sol, v_B inconnue.
Force : le poids seul, W(P) = m g h = 0,30 × 9,8 × 5,0 = 14,7 J.
TEC : ½ m v_B² − 0 = m g h, donc v_B = √(2 g h) = √(2 × 9,8 × 5,0) = √98 ≈ 9,9 m/s.
La masse se simplifie : dans le vide, tous les corps lâchés de la même hauteur arrivent avec la même vitesse.
Exemple
Plan incliné avec frottements. Un colis de 2,0 kg glisse sans vitesse initiale sur une planche inclinée de 30° sur l'horizontale, sur une distance de 3,0 m. Les frottements sont équivalents à une force constante f = 4,0 N, parallèle à la planche et opposée au mouvement. Vitesse en bas ? (g = 10 N/kg)
Forces : poids P, réaction normale R_N, frottement f.
Dénivellation : h = AB sin 30° = 3,0 × 0,5 = 1,5 m.
W(P) = m g h = 2,0 × 10 × 1,5 = 30 J (moteur).
W(R_N) = 0 (perpendiculaire au déplacement).
W(f) = −f × AB = −4,0 × 3,0 = −12 J (résistant).
TEC : ½ m v_B² − 0 = 30 + 0 − 12 = 18 J, donc v_B² = 2 × 18 / 2,0 = 18 et v_B ≈ 4,2 m/s.
Sans frottement, on aurait v_B = √30 ≈ 5,5 m/s.
Exemple
Distance de freinage. Le camion de 8,0 t roule à 72 km/h sur une route horizontale. En freinant, il subit une force résistante totale constante de 4,0 × 10⁴ N. Quelle distance parcourt-il avant de s'arrêter ?
v_A = 72 / 3,6 = 20 m/s ; v_B = 0.
Ec(A) = ½ × 8,0 × 10³ × 20² = 1,6 × 10⁶ J.
Le poids et la réaction normale ne travaillent pas (route horizontale). W(f) = −f d.
TEC : 0 − 1,6 × 10⁶ = −4,0 × 10⁴ × d, donc d = 1,6 × 10⁶ / 4,0 × 10⁴ = 40 m.
À 144 km/h (vitesse doublée), Ec est multipliée par 4 : la distance de freinage passe à 160 m.
4. Le pendule : une force qui ne travaille pas
Une bille suspendue à un fil de longueur ell est écartée d'un angle θ0 puis lâchée. La tension du fil est toujours perpendiculaire à la vitesse (le fil est un rayon du cercle décrit) : son travail est nul. Seul le poids travaille. Entre la position de départ et le point le plus bas, la bille descend de h = ell(1 - cosθ0). Le TEC donne :
12m v2 = m g ell(1 - cosθ0), soit v = √2gell(1 - cosθ0).
Avec ell = 1,0 m, θ0 = 60° et g = 9,8 N/kg : v = √2 × 9,8 × 1,0 × 0,5 = √9,8 ≈ 3,1 m/s.
5. Application en rotation
Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe, le TEC s'écrit :
12J_Δ ωB2 - 12J_Δ ωA2 = Σ W, avec W = mathcalM_Δ × Δθ pour chaque force ou couple de moment constant.
Exemple
La meule du moulin (J = 0,625 kg·m²) tourne à 300 tr/min quand on coupe le moteur. Elle s'arrête après 20 tours sous l'effet d'un couple de frottement de moment constant. Calculer ce moment.
ω_A = 10π ≈ 31,4 rad/s ; ω_B = 0.
Ec(A) = ½ × 0,625 × (10π)² ≈ 308 J.
Angle : Δθ = 20 × 2π = 40π ≈ 126 rad.
Le poids de la meule et la réaction de l'axe passent par l'axe : moments nuls, travaux nuls.
TEC : 0 − 308 = M_f × 126, donc M_f ≈ −2,45 N·m.
Le couple de frottement a un moment de valeur 2,45 N·m, opposé au sens de rotation.
Méthode
Pour rédiger une application du TEC à l'examen :
- « Système : … ; référentiel terrestre supposé galiléen. »
- « Bilan des forces : … » avec un schéma.
- « Entre A et B, le théorème de l'énergie cinétique s'écrit : Ec(B) − Ec(A) = Σ W. »
- J'exprime chaque travail littéralement (formule avec lettres), puis je remplace.
- J'isole l'inconnue littéralement, puis je fais l'application numérique avec l'unité.
3Je retiens
Je retiens
TEC : dans un référentiel galiléen, Ec(B) − Ec(A) = Σ W(forces extérieures) entre A et B.
Translation : Ec = ½ m v² ; rotation : Ec = ½ J ω².
Travaux utiles : poids W = mg(z_A − z_B) ; force constante W = F × AB × cos α ; frottement W = −f × d ; rotation W = M × Δθ.
Réaction normale sans frottement et tension d'un fil de pendule : travail nul (perpendiculaires à la vitesse).
Σ W > 0 : le solide accélère ; Σ W < 0 : il ralentit ; Σ W = 0 : vitesse constante en valeur.
Chute sans vitesse initiale d'une hauteur h : v = √(2gh).
4Erreurs fréquentes
- Oublier une force dans le bilan (surtout les frottements) ou oublier de citer les forces de travail nul.
- Écrire Ec(A) − Ec(B) au lieu de Ec(B) − Ec(A) : c'est toujours « final moins initial ».
- Mettre la longueur du plan incliné à la place de la dénivellation dans le travail du poids : h = AB × sin α.
- Oublier de mettre la vitesse au carré ou oublier la racine carrée à la fin du calcul.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un ballon de 0,45 kg est lancé verticalement vers le haut à 12 m/s. On néglige l'air (g = 10 N/kg). À l'aide du TEC, calcule la hauteur maximale atteinte.
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Système : le ballon ; seule force : le poids. Entre le départ (vA = 12 m/s) et le sommet (vB = 0), le ballon monte de h : W(P) = -m g h. TEC : 0 - 12m vA2 = -m g h, donc h = vA22g = 14420 = 7,2 m.
2Exercice 2
Une voiture de 1 000 kg passe de 36 km/h à 72 km/h sur une route horizontale, sur 150 m. Les frottements valent 500 N. Calcule la force motrice, supposée constante et parallèle à la route.
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vA = 10 m/s ; vB = 20 m/s. Δ Ec = 12 × 1 000 × (400 - 100) = 1,5 × 105 J. Poids et réaction normale : travaux nuls. TEC : 1,5 × 105 = F × 150 - 500 × 150, donc F × 150 = 1,5 × 105 + 7,5 × 104 = 2,25 × 105 et F = 1,5 × 103 N.
3Exercice 3
Un sac de riz de 25 kg glisse depuis le haut d'une rampe de 4,0 m inclinée de 20° sur l'horizontale, avec une vitesse initiale de 1,0 m/s. On néglige les frottements (g = 9,8 N/kg ; sin 20° ≈ 0,342). Calcule sa vitesse en bas de la rampe.
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h = 4,0 × sin 20° ≈ 4,0 × 0,342 = 1,368 m. Réaction normale : travail nul. TEC : 12m vB2 - 12m vA2 = m g h, donc vB2 = vA2 + 2gh = 1,0 + 2 × 9,8 × 1,368 ≈ 1,0 + 26,8 = 27,8 et vB ≈ 5,3 m/s. (La masse n'intervient pas.)
4Exercice 4
Un volant d'inertie de moment d'inertie J = 2,0 kg·m² est lancé à partir du repos par un moteur exerçant un couple de moment constant 10 N·m. On néglige les frottements. Calcule sa vitesse angulaire après 25 tours.
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Δθ = 25 × 2π = 50π ≈ 157 rad. W = mathcalC Δθ = 10 × 50π = 500π ≈ 1 571 J. TEC : 12Jω2 - 0 = 500π, donc ω2 = 2 × 500π2,0 = 500π ≈ 1 571 et ω ≈ 39,6 rad/s.
5Exercice 5
(Type examen) Un solide de masse m = 0,50 kg, assimilable à un point, est lâché sans vitesse en A, en haut d'une piste formée d'un quart de cercle AB de rayon r = 1,0 m (centre O, A au niveau de O, B à la verticale sous O), suivie d'une partie horizontale BC. On prend g = 10 N/kg.
a) La piste AB est sans frottement. Calcule la vitesse vB en B.
b) Sur BC, le solide subit une force de frottement constante f et s'arrête en C, avec BC = 2,0 m. Calcule f.
c) En réalité, sur AB il existe aussi des frottements et on mesure vB = 4,0 m/s. Calcule le travail des frottements sur AB.
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a) Sur AB : poids et réaction de la piste (perpendiculaire à la vitesse, travail nul). Dénivellation : r = 1,0 m. TEC : 12m vB2 - 0 = m g r, donc vB = √2gr = √20 ≈ 4,47 m/s.
b) Sur BC (horizontal) : poids et réaction normale ne travaillent pas. TEC : 0 - 12m vB2 = -f × BC, donc f = m g rBC = 0,50 × 10 × 1,02,0 = 2,5 N.
c) TEC sur AB : 12m vB2 - 0 = m g r + W(fAB). 12 × 0,50 × 16 = 4,0 J et m g r = 5,0 J, donc W(fAB) = 4,0 - 5,0 = -1,0 J.
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6Je vérifie
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