Karamö, le prof virtuelLeçon 16 sur 33
Lentilles minces : points particuliers et grandeurs caractéristiques
Je sais utiliser les foyers principaux et secondaires pour tracer la marche de n'importe quel rayon, et calculer la vergence d'une lentille ou d'un ensemble de lentilles accolées.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir les axes secondaires, les plans focaux et les foyers secondaires
- Tracer l'émergent d'un rayon incident quelconque
- Utiliser les grandeurs algébriques f', f et la vergence C
- Appliquer le théorème des vergences pour des lentilles accolées et mesurer une distance focale
Avant de commencer : La leçon « Les lentilles minces » (centre optique, foyers principaux, trois rayons particuliers, vergence) et la notion de mesure algébrique sur un axe orienté.
1Je découvre
Au club de sciences du lycée de Boké, Fatoumata utilise une lentille convergente pour concentrer la lumière du soleil de midi sur une feuille : le point lumineux se forme exactement sur l'axe de la lentille, au foyer F'. Une heure plus tard, le soleil a tourné et ses rayons arrivent de biais. Le point lumineux existe toujours, toujours à la même distance de la lentille, mais il s'est déplacé à côté de l'axe.
Son camarade Mamadou pose deux questions. Où exactement se forme ce point quand les rayons sont inclinés ? Et comment tracer le trajet d'un rayon qui n'est ni parallèle à l'axe, ni passant par O, ni passant par F, puisque les trois rayons particuliers de la leçon précédente ne suffisent plus ?
Leur professeur ajoute une troisième question : l'opticien du quartier colle parfois deux verres l'un contre l'autre. Quelle est alors la vergence de l'ensemble ?
Quels sont tous les points particuliers d'une lentille mince, et quelles grandeurs permettent de caractériser et de calculer son action ?
2Je comprends
1. Rappel et orientation de l'axe
Une lentille mince possède un centre optique O, un axe principal, un foyer principal objet F et un foyer principal image F', symétriques par rapport à O.
On oriente l'axe principal dans le sens de propagation de la lumière (en général de gauche à droite). Les distances deviennent alors des mesures algébriques, notées avec une barre : OA est positive si A est après O dans le sens de la lumière, négative sinon.
2. Les grandeurs caractéristiques
- Distance focale image : f' = OF'.
- Distance focale objet : f = OF = -f'.
- Vergence : C = 1f' (f' en m, C en dioptries δ).
| Lentille convergente | Lentille divergente | |
|---|---|---|
| position de F' | après O (foyer réel) | avant O (foyer virtuel) |
| signe de f' | f' > 0 | f' < 0 |
| signe de C | C > 0 | C < 0 |
Vergence et forme de la lentille (en plus pour SM). La vergence dépend de l'indice n du verre et des rayons de courbure R1 et R2 des faces. Pour une lentille biconvexe dans l'air, avec R1 et R2 en mètres (valeurs positives) :
C = (n - 1)(1R1 + 1R2).
Une face plane correspond à un rayon infini, donc à un terme 1R = 0. Pour une lentille biconcave, la même formule précédée d'un signe moins donne une vergence négative.
Exemple
Une lentille biconvexe en verre d'indice n = 1,5 a deux faces de même rayon R = 20 cm. Calculer sa vergence et sa distance focale. Même question pour une lentille plan-convexe de même verre, dont la face bombée a un rayon de 10 cm.
Biconvexe : C = (1,5 − 1) × (1/0,20 + 1/0,20) = 0,5 × (5 + 5) = 5 δ ; f' = 1/5 = 0,20 m = 20 cm.
Plan-convexe : C = 0,5 × (1/0,10 + 0) = 0,5 × 10 = 5 δ ; f' = 20 cm.
Deux formes différentes peuvent donner la même vergence.
3. Axes secondaires et plans focaux
- Un axe secondaire est toute droite passant par le centre optique O (autre que l'axe principal). Un rayon qui suit un axe secondaire n'est pas dévié.
- Le plan focal image est le plan perpendiculaire à l'axe principal passant par F'.
- Le plan focal objet est le plan perpendiculaire à l'axe principal passant par F.
4. Les foyers secondaires
Foyer secondaire image. Un faisceau de rayons parallèles entre eux mais inclinés sur l'axe principal converge (lentille convergente) en un point varphi' du plan focal image. Ce point est l'intersection du plan focal image avec l'axe secondaire parallèle aux rayons incidents (le rayon du faisceau qui passe par O n'est pas dévié, donc tous les autres le rejoignent sur le plan focal). C'est exactement ce qu'observe Fatoumata : quand le soleil tourne, le point lumineux glisse dans le plan focal.
Foyer secondaire objet. Tous les rayons issus d'un point varphi du plan focal objet ressortent parallèles entre eux, parallèles à l'axe secondaire (varphi O).
Pour une lentille divergente, c'est la même chose avec des foyers virtuels : les prolongements des rayons émergents passent par varphi', situé dans le plan focal image, avant la lentille.
5. Tracer l'émergent d'un rayon quelconque
Grâce aux foyers secondaires, on peut trouver le trajet de n'importe quel rayon incident.
Méthode
Méthode 1 (plan focal image) pour un rayon incident quelconque qui frappe la lentille en I :
- Je trace le plan focal image (la perpendiculaire à l'axe en F').
- Je trace l'axe secondaire parallèle au rayon incident (la parallèle passant par O).
- Cet axe secondaire coupe le plan focal image en φ'.
- Le rayon émergent part de I et passe par φ' (pour une lentille divergente, c'est son prolongement vers l'arrière qui passe par φ').
Méthode 2 (plan focal objet) :
- Le rayon incident coupe le plan focal objet en un point φ.
- Je trace l'axe secondaire (φO).
- Le rayon émergent part de I parallèlement à (φO).
Exemple
Une lentille convergente a une distance focale de 3 cm. Un rayon incident frappe la lentille 1 cm au-dessus de O et descend avec une pente de 0,5 (il descend de 0,5 cm pour 1 cm parcouru horizontalement). Où ce rayon coupe-t-il l'axe après la lentille ?
L'axe secondaire parallèle au rayon passe par O avec la pente −0,5 ; il coupe le plan focal image (3 cm après O) à 3 × 0,5 = 1,5 cm sous l'axe : c'est φ'.
Le rayon émergent va de I (0 ; 1) à φ' (3 ; −1,5) : il descend de 2,5 cm sur 3 cm.
Il coupe l'axe quand il est descendu de 1 cm, soit après 3 × 1 / 2,5 = 1,2 cm. Le rayon coupe l'axe 1,2 cm après la lentille.
6. Lentilles accolées : le théorème des vergences
Deux lentilles minces accolées (collées l'une contre l'autre, de même axe) se comportent comme une seule lentille mince dont la vergence est la somme des vergences :
C = C1 + C2.
Ce théorème permet :
- de fabriquer une lentille de vergence voulue ;
- de mesurer la vergence d'une lentille divergente, en l'accolant à une lentille convergente plus forte connue : l'ensemble est convergent, on mesure sa vergence C, et on en déduit C2 = C - C1.
Exemple
On accole une lentille de vergence + 5 δ et une lentille de vergence − 2 δ. Calculer la vergence et la distance focale du système.
C = C1 + C2 = 5 + (−2) = 3 δ. Le système est convergent.
f' = 1 / 3 ≈ 0,333 m, soit environ 33,3 cm.
7. Mesurer la distance focale d'une lentille convergente
- Objet à l'infini : on forme sur un écran l'image du soleil ou d'un objet très éloigné (un arbre de l'autre côté de la cour) ; l'image est dans le plan focal image, et la distance lentille-écran est f'.
- Autocollimation : on place un objet lumineux, la lentille et, juste derrière, un miroir plan perpendiculaire à l'axe. On déplace la lentille jusqu'à ce que l'image nette, renversée, se forme dans le plan de l'objet lui-même. L'objet est alors dans le plan focal objet : les rayons sortent parallèles, se réfléchissent sur le miroir et reviennent converger dans ce plan. La distance objet-lentille est f'.
3Je retiens
Je retiens
Axe orienté dans le sens de la lumière : f' = OF' (algébrique), f = OF = −f', C = 1/f' en dioptries.
Convergente : f' > 0, C > 0, F' réel après O. Divergente : f' < 0, C < 0, F' virtuel avant O.
Axe secondaire : droite passant par O ; un rayon qui le suit n'est pas dévié.
Plans focaux : perpendiculaires à l'axe en F (objet) et en F' (image).
Un faisceau parallèle incliné converge en un foyer secondaire φ' du plan focal image, sur l'axe secondaire parallèle au faisceau.
Lentilles accolées : C = C1 + C2. (SM : biconvexe C = (n − 1)(1/R1 + 1/R2).)
4Erreurs fréquentes
- Croire qu'un faisceau parallèle converge toujours en F' : ce n'est vrai que s'il est parallèle à l'axe principal ; sinon il converge en un foyer secondaire du plan focal image.
- Oublier le signe de f' : une lentille divergente a une distance focale négative, et sa vergence aussi.
- Ajouter les distances focales de lentilles accolées : ce sont les vergences qui s'ajoutent, pas les distances focales.
- Tracer l'axe secondaire n'importe où : il passe toujours par le centre optique O.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une lentille a une distance focale image f' = -12,5 cm.
a) Est-elle convergente ou divergente ?
b) Calcule sa vergence et sa distance focale objet f.
c) Où se trouve son foyer image F' par rapport à O ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f' < 0 : la lentille est divergente.
b) C = 1-0,125 = -8 δ ; f = -f' = +12,5 cm.
c) F' est à 12,5 cm avant O (du côté d'où vient la lumière) : c'est un foyer virtuel.
2Exercice 2
Définis : axe secondaire, plan focal image, foyer secondaire image. Fais un schéma pour une lentille convergente.
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Un axe secondaire est une droite passant par le centre optique O, différente de l'axe principal. Le plan focal image est le plan perpendiculaire à l'axe principal passant par F'. Un foyer secondaire image varphi' est un point du plan focal image : c'est le point où convergent, après la lentille, des rayons incidents parallèles entre eux et inclinés sur l'axe ; il est sur l'axe secondaire parallèle à ces rayons. (Le schéma est celui du paragraphe 4.)
3Exercice 3
On accole une lentille de vergence + 8 δ et une lentille de vergence − 3 δ.
a) Calcule la vergence du système et sa distance focale.
b) Quelle lentille faudrait-il ajouter pour obtenir un système de vergence nulle ? Que devient alors un faisceau parallèle à l'axe ?
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a) C = 8 + (-3) = 5 δ ; f' = 15 = 0,20 m = 20 cm.
b) Il faut ajouter une lentille de vergence -5 δ (divergente de distance focale 20 cm), car 5 + (-5) = 0. Un système de vergence nulle ne fait ni converger ni diverger : un faisceau parallèle à l'axe ressort parallèle à l'axe.
4Exercice 4
(En plus pour SM) Une lentille biconvexe est taillée dans un verre d'indice 1,6 ; ses deux faces ont un rayon de courbure de 30 cm. Calcule sa vergence et sa distance focale.
Voir le corrigéCacher le corrigé
C = (1,6 - 1)(10,30 + 10,30) = 0,6 × 6,67 = 4 δ ; f' = 14 = 0,25 m = 25 cm.
5Exercice 5
(Problème de synthèse) Au laboratoire, Ibrahima veut connaître la vergence d'une lentille divergente L₂. Il l'accole à une lentille convergente L₁ de vergence + 10 δ. Avec le système obtenu, il forme sur un écran l'image nette du manguier au fond de la cour (très éloigné) : l'écran est alors à 20 cm des lentilles.
a) Pourquoi l'image du manguier se forme-t-elle au foyer image du système ?
b) Calcule la vergence du système, puis celle de L₂ et sa distance focale.
c) Pourquoi Ibrahima n'a-t-il pas pu mesurer directement la distance focale de L₂ avec la même méthode ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le manguier est très éloigné : les rayons issus d'un de ses points arrivent pratiquement parallèles. Un faisceau parallèle converge dans le plan focal image : l'image nette se forme donc au foyer image (dans le plan focal image) du système.
b) f' = 0,20 m, donc C = 10,20 = 5 δ. Théorème des vergences : C = C1 + C2, donc C2 = 5 - 10 = -5 δ et f'2 = 1-5 = -0,20 m = -20 cm.
c) Une lentille divergente seule ne donne jamais d'image réelle d'un objet réel : les rayons divergent après elle, on ne peut rien recueillir sur un écran. En l'accolant à une lentille convergente plus forte, on obtient un système convergent, qui donne une image réelle mesurable.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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