Karamö, le prof virtuelLeçon 20 sur 33
Étude de l'œil
Je sais modéliser l'œil par une lentille convergente de vergence variable, expliquer l'accommodation et calculer la correction des principaux défauts de la vision.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Décrire les éléments de l'œil et leur rôle
- Modéliser l'œil (œil réduit) et expliquer l'accommodation, le punctum proximum et le punctum remotum
- Connaître les limites de l'œil : pouvoir séparateur et persistance rétinienne
- Expliquer la myopie, l'hypermétropie et la presbytie et calculer la vergence du verre correcteur
Avant de commencer : Les leçons sur les lentilles minces (vergence, relation de conjugaison, lentilles accolées) et « Les aberrations des systèmes optiques ».
1Je découvre
À Nzérékoré, Ibrahima, élève de 12ᵉ, doit s'asseoir au premier rang pour lire ce que le professeur écrit au tableau : de loin, les lettres sont floues. Pourtant, il lit sans difficulté son cahier posé sur la table. Sa grand-mère Fatoumata, elle, voit parfaitement les oiseaux perchés au sommet du fromager, mais elle doit tendre les bras très loin pour lire une lettre, et finit par demander ses lunettes.
Et toi, sans t'en rendre compte, tu passes sans cesse de ton téléphone (à 30 cm) au paysage (à plusieurs centaines de mètres), et les deux sont nets. Un appareil photo, lui, doit déplacer son objectif pour faire la mise au point. L'œil ne peut pas s'allonger : comment fait-il ?
Comment fonctionne l'œil du point de vue optique, et comment corrige-t-on ses défauts avec des lentilles ?
2Je comprends
1. Description de l'œil
L'œil est un globe d'environ 2,5 cm de diamètre. De l'avant vers l'arrière, la lumière rencontre :
| Élément | Description et rôle |
|---|---|
| cornée | membrane transparente bombée à l'avant de l'œil ; elle réalise la plus grande partie de la convergence |
| humeur aqueuse | liquide transparent entre la cornée et le cristallin |
| iris et pupille | l'iris (la partie colorée) est un diaphragme ; son ouverture, la pupille, se rétrécit en forte lumière et s'agrandit dans l'obscurité |
| cristallin | lentille convergente souple ; des muscles (muscles ciliaires) peuvent le bomber, ce qui change sa vergence |
| humeur vitrée | gelée transparente qui remplit le globe |
| rétine | membrane sensible à la lumière, tapissée de cellules (cônes pour les couleurs, bâtonnets pour la vision en faible lumière) ; l'image s'y forme |
| nerf optique | transmet les signaux au cerveau ; à son départ, la rétine n'a pas de cellules sensibles : c'est la tache aveugle |
La zone de la rétine où la vision est la plus précise est la tache jaune (fovéa), dans l'axe de l'œil.
2. L'œil réduit : un modèle optique
Pour les calculs, on remplace l'œil par un modèle simple, l'œil réduit :
- un diaphragme (l'iris) ;
- une lentille mince convergente de vergence variable (l'ensemble cornée + cristallin) ;
- un écran fixe (la rétine), placé à une distance fixe d de la lentille, de l'ordre de 17 mm dans les exercices.
L'image d'un objet sur la rétine est réelle, renversée et réduite (c'est le cerveau qui la « remet à l'endroit »). Pour qu'elle soit nette, il faut que l'image se forme exactement sur la rétine : OA' = d.
3. L'accommodation
Puisque la distance lentille-rétine est fixe, la relation de conjugaison 1d - 1OA = C montre que, pour voir net des objets à des distances différentes, la vergence doit changer. C'est l'accommodation : les muscles ciliaires bombent plus ou moins le cristallin.
- Au repos (cristallin le moins bombé), l'œil voit net le point le plus éloigné possible : le punctum remotum (PR).
- En accommodant au maximum, il voit net le point le plus proche possible : le punctum proximum (PP).
- Entre les deux, tout objet peut être vu net : c'est le champ de vision nette.
Pour un œil normal (dit emmétrope) : le PR est à l'infini (on voit net au loin sans effort) et le PP est à environ 25 cm chez un adulte jeune (plus près chez l'enfant, plus loin avec l'âge).
L'amplitude d'accommodation est la variation maximale de vergence :
A = Cmax - Cmin = 1dPP - 1dPR (distances en m, positives).
Exemple
Un œil normal a une distance cristallin-rétine d = 17 mm, un PR à l'infini et un PP à 25 cm. Calculer ses vergences minimale et maximale, et son amplitude d'accommodation.
Au repos (objet à l'infini, 1/OA = 0) : Cmin = 1/d = 1/0,017 ≈ 58,8 δ.
Accommodation maximale (objet au PP, OA = −0,25 m) : Cmax = 1/0,017 − 1/(−0,25) = 58,8 + 4,0 = 62,8 δ.
Amplitude : A = 62,8 − 58,8 = 4,0 δ (on retrouve 1/0,25 − 0).
4. Les limites de l'œil
Le pouvoir séparateur. Deux points très proches ne sont vus séparés que si l'angle sous lequel on les voit (leur diamètre apparent) dépasse une valeur minimale, le pouvoir séparateur de l'œil, de l'ordre de 1 minute d'angle, soit environ 3 × 10-4 rad. En dessous, leurs images tombent sur la même cellule de la rétine et on ne voit qu'un seul point.
Pour un petit angle, le diamètre apparent d'un objet de taille AB vu à la distance D vaut α ≈ ABD (en radians).
La persistance rétinienne. Une impression lumineuse persiste sur la rétine environ un dixième de seconde après la disparition de la lumière. Si des images fixes se succèdent assez vite, l'œil les fond en un mouvement continu : c'est le principe du cinéma et de la vidéo.
5. Les défauts de l'œil et leur correction
La myopie. L'œil myope est trop convergent (ou trop long) : au repos, l'image d'un objet éloigné se forme avant la rétine. Son PR est à distance finie (quelques dizaines de centimètres ou quelques mètres) et son PP est plus proche que la normale. Il voit mal de loin, bien de près : c'est le cas d'Ibrahima.
Correction : une lentille divergente, qui donne d'un objet à l'infini une image virtuelle placée au PR de l'œil. Pour un verre collé à l'œil (lentille de contact, ou lunettes dont on néglige la distance à l'œil), le foyer image du verre doit être au PR :
f' = -dPR, soit C = -1dPR.
L'hypermétropie. L'œil hypermétrope n'est pas assez convergent (ou trop court) : au repos, l'image d'un objet éloigné se formerait derrière la rétine. Il doit accommoder même pour voir au loin, et son PP est plus éloigné que la normale : il voit mal de près. Correction : une lentille convergente.
La presbytie. Avec l'âge, le cristallin perd sa souplesse : l'amplitude d'accommodation diminue et le PP s'éloigne. La vision de loin reste bonne, mais la lecture devient difficile : c'est le cas de la grand-mère Fatoumata. Correction : des verres convergents pour la vision de près.
L'astigmatisme. La cornée n'a pas la même courbure dans toutes les directions : certaines lignes sont nettes, d'autres floues. Correction : des verres dits cylindriques.
- Trop convergent (ou trop long)
- Image d'un objet lointain avant la rétine
- PR à distance finie, voit mal de loin
- Corrigé par une lentille divergente
- Pas assez convergent (ou trop court)
- Image d'un objet lointain derrière la rétine
- PP éloigné, voit mal de près
- Corrigé par une lentille convergente
Méthode
Pour calculer un verre correcteur (verre collé à l'œil) :
- Je repère ce que le verre doit faire : d'un objet placé à une distance voulue, donner une image virtuelle placée là où l'œil voit net (PR ou PP).
- J'écris les positions algébriques : objet OA, image OA' (tous deux négatifs, avant l'œil).
- J'applique C = 1/OA' − 1/OA, avec les distances en mètres.
- Je vérifie le signe : C < 0 pour un myope, C > 0 pour un hypermétrope ou un presbyte.
Exemple
L'œil d'Ibrahima a son PR à 40 cm et son PP à 12 cm. Calculer la vergence de ses lentilles de contact et la position de son nouveau PP quand il les porte.
Le verre doit donner d'un objet à l'infini une image au PR : f' = −0,40 m, C = 1 / (−0,40) = −2,5 δ (lentille divergente).
Nouveau PP : l'objet le plus proche vu net est celui dont le verre donne une image au PP de l'œil (OA' = −0,12 m).
1/OA = 1/OA' − C = 1/(−0,12) + 2,5 = −8,33 + 2,5 = −5,83, donc OA ≈ −0,171 m.
Avec ses lentilles, Ibrahima voit net de l'infini jusqu'à environ 17 cm.
Exemple
Fatoumata, presbyte, a son PP à 1,00 m. Quelle doit être la vergence de ses lunettes (supposées collées à l'œil) pour lire un livre à 25 cm ?
Le verre doit donner d'un objet à 25 cm (OA = −0,25 m) une image au PP (OA' = −1,00 m).
C = 1/OA' − 1/OA = 1/(−1,00) − 1/(−0,25) = −1 + 4 = +3 δ.
Il lui faut des verres convergents de 3 dioptries.
3Je retiens
Je retiens
Œil réduit : diaphragme (iris) + lentille convergente de vergence variable (cornée + cristallin) + écran fixe (rétine, d ≈ 17 mm).
Image sur la rétine : réelle, renversée, réduite ; nette si elle se forme sur la rétine.
Accommodation : le cristallin se bombe, la vergence augmente pour voir de près. PR : point vu net sans accommoder ; PP : point le plus proche vu net.
Œil normal : PR à l'infini, PP ≈ 25 cm. Amplitude A = 1/dPP − 1/dPR.
Pouvoir séparateur ≈ 1' ≈ 3 × 10⁻⁴ rad ; persistance rétinienne ≈ 0,1 s.
Myopie (trop convergent) : verre divergent, C = −1/dPR. Hypermétropie et presbytie : verres convergents.
4Erreurs fréquentes
- Croire que l'œil accommode en changeant la distance cristallin-rétine : cette distance est fixe, c'est la vergence du cristallin qui change.
- Corriger la myopie par une lentille convergente : le myope est déjà trop convergent, il faut une lentille divergente.
- Confondre hypermétropie et presbytie : l'hypermétropie est un défaut de forme de l'œil ; la presbytie est due au vieillissement du cristallin (le PR reste normal).
- Oublier les signes dans C = 1/OA' − 1/OA : pour un verre correcteur, l'objet et l'image sont tous deux avant le verre, donc OA et OA' sont négatifs.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Associe à chacune des parties de l'œil suivantes l'élément de l'œil réduit qui lui correspond, et précise son rôle : iris ; cornée et cristallin ; rétine.
Voir le corrigéCacher le corrigé
- Iris → diaphragme : règle la quantité de lumière qui entre dans l'œil.
- Cornée et cristallin → lentille convergente de vergence variable : forment l'image ; le cristallin permet l'accommodation.
- Rétine → écran : reçoit l'image et transforme la lumière en signaux transmis au cerveau par le nerf optique.
2Exercice 2
Un œil normal d'enfant a son PP à 20 cm et son PR à l'infini. On le modélise par un œil réduit avec d = 17 mm.
a) Calcule sa vergence au repos et sa vergence maximale.
b) Calcule son amplitude d'accommodation.
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a) Au repos : Cmin = 10,017 ≈ 58,8 δ. Au maximum : Cmax = 10,017 - 1-0,20 = 58,8 + 5,0 = 63,8 δ.
b) A = Cmax - Cmin = 5,0 δ (ou 10,20 - 0).
3Exercice 3
Un œil myope a son PR à 50 cm et son PP à 15 cm.
a) Quel est le défaut de cet œil ? Voit-il mieux de près ou de loin ?
b) Calcule la vergence du verre correcteur (collé à l'œil).
c) Calcule la position du nouveau PP avec ce verre.
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a) Le PR est à distance finie : l'œil est myope. Il voit bien de près, mal de loin.
b) f' = -dPR = -0,50 m, donc C = 1-0,50 = -2 δ.
c) Le verre doit donner une image au PP de l'œil : OA' = -0,15 m. 1OA = 1OA' - C = -6,67 + 2 = -4,67, donc OA ≈ -0,214 m. Le nouveau PP est à environ 21 cm.
4Exercice 4
Un commerçant du marché de Kankan, presbyte, voit net de l'infini jusqu'à 75 cm. Calcule la vergence des verres (collés à l'œil) qui lui permettront de lire ses factures à 25 cm.
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Objet à lire : OA = -0,25 m ; son image doit être au PP : OA' = -0,75 m.
C = 1OA' - 1OA = -10,75 + 10,25 = -1,33 + 4 = +2,67 δ. Il lui faut des verres convergents d'environ 2,7 dioptries.
5Exercice 5
(Problème de synthèse) Au tableau noir, deux traits parallèles sont séparés de 1 mm. Le pouvoir séparateur de l'œil est ε = 3 × 10-4 rad et la distance cristallin-rétine est 17 mm.
a) Jusqu'à quelle distance maximale du tableau un élève à la vue normale voit-il les deux traits séparés ?
b) Calcule la distance entre les images des deux traits sur la rétine à cette distance limite.
c) Un élève myope non corrigé, dont le PR est à 1,5 m, est assis à 4 m du tableau. Pourquoi voit-il les traits confondus ? Que lui conseiller ?
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a) Les traits sont séparés si ABD ≥ ε, soit D ≤ ABε = 1 × 10-33 × 10-4 ≈ 3,3 m.
b) Sur la rétine, l'écart vaut d × ε = 0,017 × 3 × 10-4 ≈ 5,1 × 10-6 m, soit environ 5 micromètres : c'est l'ordre de grandeur de la distance entre deux cellules de la rétine.
c) Deux raisons : à 4 m, il est au-delà de 3,3 m, donc même un œil normal ne séparerait pas les traits ; de plus, le tableau est au-delà de son PR (1,5 m), son image est floue. Sans correction, il ne voit net qu'à moins de 1,5 m. Il faut lui conseiller de consulter pour obtenir des verres divergents (vergence -11,5 ≈ -0,67 δ) et de s'asseoir à moins de 3,3 m du tableau.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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