Karamö, le prof virtuelLeçon 24 sur 33
La différence de potentiel
Je sais calculer le travail de la force électrique dans un champ uniforme, définir la différence de potentiel entre deux points et utiliser la relation E = U/d.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer le travail de la force électrique dans un champ uniforme et montrer qu'il ne dépend pas du chemin suivi
- Définir le potentiel électrique et la différence de potentiel U_AB = V_A − V_B
- Établir et utiliser la relation U = E d entre deux plaques parallèles
- Reconnaître les surfaces équipotentielles et le sens des potentiels décroissants
Avant de commencer : La leçon « Le champ électrostatique » (F = qE, champ uniforme entre deux plaques) ; le travail d'une force constante W = F · AB · cos α (leçon « Solide en translation »).
1Je découvre
Dans l'atelier de réparation de son oncle à Kankan, Lansana voit un vieux téléviseur à tube démonté. Son oncle lui montre au fond du tube un petit dispositif : le canon à électrons. « Ici, dit-il, on applique une tension de plusieurs milliers de volts entre deux électrodes. Les électrons sont lancés vers l'écran et le font briller. »
Lansana connaît la tension depuis le collège : c'est ce qu'il mesure avec un voltmètre aux bornes d'une pile. Mais ici, les électrons voyagent dans le vide, entre deux plaques, sans aucun fil. Quel est le rapport entre la « tension » de 5 000 V et la force électrique qui pousse les électrons ? Et le travail de cette force dépend-il du chemin suivi par l'électron ?
Comment relier la tension électrique entre deux points au champ électrostatique et au travail de la force électrique ?
2Je comprends
1. Travail de la force électrique dans un champ uniforme
Une charge q se déplace de A à B dans une région où le champ E est uniforme. Elle subit la force F = qE, qui est constante (même direction, même sens, même valeur partout). Le travail d'une force constante vaut :
WAB(F) = F · AB = q E · AB.
Plaçons un axe Ox parallèle au champ et dans le sens du champ. Si A et B ont pour abscisses xA et xB :
WAB(F) = q E (xB - xA).
Ce travail ne dépend pas du chemin suivi entre A et B : seules comptent les positions de départ et d'arrivée, projetées sur la direction du champ. Comme le poids, la force électrostatique est une force conservative.
2. Potentiel électrique et différence de potentiel
Puisque le travail ne dépend que des points de départ et d'arrivée, on peut associer à chaque point M du champ un nombre, le potentiel électrique VM, exprimé en volts (V), tel que :
WAB(F) = q (VA - VB).
La différence de potentiel (d.d.p.) entre A et B est la tension :
UAB = VA - VB, donc WAB = q UAB.
Comme pour l'altitude, la valeur du potentiel en un point dépend d'une référence (on choisit souvent V = 0 sur la plaque reliée à la borne négative ou à la masse) ; la différence de potentiel, elle, n'en dépend pas. C'est exactement la tension que mesure un voltmètre.
En comparant les deux expressions du travail dans un champ uniforme :
UAB = VA - VB = E · AB = E (xB - xA).
Conséquence importante : si B est plus loin que A dans le sens du champ (xB > xA), alors VA > VB. Le champ électrostatique est dirigé dans le sens des potentiels décroissants.
3. Relation entre champ et tension entre deux plaques
Entre deux plaques parallèles P (reliée au pôle +) et N (reliée au pôle −), distantes de d, le champ va de P vers N et :
UPN = VP - VN = E × d, d'où E = UPNd.
C'est pourquoi le champ s'exprime en volts par mètre : un champ de 1 V/m correspond à une chute de potentiel de 1 V par mètre parcouru dans le sens du champ.
- 1Le champ E est uniforme : la force F = qE est constante.
- 2Travail d'une force constante : W = qE · AB, soit qE(xB − xA) sur un axe orienté comme E.
- 3Définition du potentiel : W = q(VA − VB) = q UAB.
- 4On identifie : UAB = E(xB − xA). Entre les plaques : UPN = E d, donc E = UPN / d.
4. Surfaces équipotentielles
Une surface équipotentielle est l'ensemble des points qui ont le même potentiel. Entre deux plaques parallèles, ce sont des plans parallèles aux plaques, donc perpendiculaires aux lignes de champ. Les plaques elles-mêmes sont des équipotentielles.
Propriétés :
- Le déplacement d'une charge sur une même équipotentielle ne demande aucun travail : UAB = 0, donc W = 0.
- Les lignes de champ sont toujours perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.
En plus pour SM : autour d'une charge ponctuelle Q, le potentiel à la distance r vaut V = k Qr (avec V = 0 à l'infini) ; les équipotentielles sont des sphères centrées sur la charge, et les lignes de champ, radiales, les coupent bien à angle droit.
Méthode
Pour calculer une différence de potentiel ou un travail dans un champ uniforme :
- Je fais un schéma : plaques, sens du champ (de + vers −), points A et B.
- J'oriente un axe Ox dans le sens du champ et je repère xA et xB (en mètres).
- Je calcule E = U/d si on me donne la tension entre les plaques.
- J'écris UAB = VA − VB = E (xB − xA) ; un déplacement perpendiculaire au champ ne compte pas.
- Pour le travail, W = q UAB en gardant le signe de q ; je vérifie le signe : moteur si la charge « suit » la force.
Exemple
Deux plaques P et N, distantes de d = 4,0 cm, sont soumises à la tension UPN = 200 V. Le point A est à 1,0 cm de P et le point B à 3,0 cm de P, sur la même ligne de champ. On prend VN = 0.
E = UPN / d = 200 / 0,040 = 5,0 × 10³ V/m, dirigé de P vers N.
Axe Ox d'origine P, dans le sens du champ : xA = 0,010 m ; xB = 0,030 m.
UAB = E (xB − xA) = 5,0 × 10³ × 0,020 = 100 V.
Potentiels : VP = 200 V ; VA = VP − E × 0,010 = 200 − 50 = 150 V ; VB = 200 − 150 = 50 V ; VN = 0.
On vérifie : UAB = 150 − 50 = 100 V. Le potentiel diminue bien dans le sens du champ.
Exemple
Dans le même dispositif, une charge q = +2,0 × 10⁻⁶ C va de A à B. Calculer le travail de la force électrique. Même question pour un électron, puis pour un déplacement de A vers un point C situé sur l'équipotentielle de B mais décalé de 2 cm parallèlement aux plaques.
Charge positive : W = q UAB = 2,0 × 10⁻⁶ × 100 = 2,0 × 10⁻⁴ J. Travail moteur : la force (dans le sens de E) accompagne le déplacement.
Électron : W = (−1,6 × 10⁻¹⁹) × 100 = −1,6 × 10⁻¹⁷ J. Travail résistant : la force sur l'électron est opposée au champ.
Point C : C et B ont le même potentiel, donc UAC = UAB = 100 V et le travail est le même qu'entre A et B. Le déplacement parallèle aux plaques ne compte pas.
Exemple
Un déplacement oblique : entre deux plaques où E = 1,0 × 10⁴ V/m, un point M va vers un point M' tel que MM' = 5,0 cm, le vecteur MM' faisant un angle de 60° avec le champ. Calculer UMM'.
UMM' = E × MM' × cos 60° = 1,0 × 10⁴ × 0,050 × 0,5 = 250 V.
Seule la projection du déplacement sur la direction du champ (2,5 cm) intervient.
5. L'électronvolt
Le travail reçu par une charge élémentaire qui franchit une différence de potentiel de 1 V sert d'unité d'énergie en physique atomique : c'est l'électronvolt (eV).
1 eV = 1,6 × 10-19 C × 1 V = 1,6 × 10-19 J.
Tu l'utiliseras dans la leçon suivante sur l'énergie potentielle électrostatique.
3Je retiens
Je retiens
Travail de la force électrique entre A et B : W = q (VA − VB) = q UAB ; il ne dépend pas du chemin suivi.
Différence de potentiel (tension) : UAB = VA − VB, en volts ; le potentiel dépend d'une référence, la d.d.p. non.
Champ uniforme : UAB = E · AB (produit scalaire) = E (xB − xA) sur un axe orienté comme E.
Entre deux plaques : E = U/d ; E en V/m.
Le champ est dirigé dans le sens des potentiels décroissants.
Surfaces équipotentielles : perpendiculaires aux lignes de champ ; aucun travail pour s'y déplacer.
1 eV = 1,6 × 10⁻¹⁹ J.
4Erreurs fréquentes
- Confondre UAB et UBA : UBA = VB − VA = −UAB. Un changement d'ordre change le signe du travail.
- Utiliser la longueur totale du trajet au lieu de sa projection sur la direction du champ : seul E · AB compte.
- Oublier le signe de la charge : pour un électron, W = −e UAB ; si UAB > 0, le travail est négatif.
- Écrire E = U × d : on divise la tension par la distance, et la distance doit être en mètres.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Deux plaques parallèles distantes de 2,5 cm sont soumises à une tension de 500 V. Calcule le champ entre les plaques. Quelle tension faudrait-il pour obtenir le même champ avec des plaques distantes de 5,0 cm ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
E = Ud = 5000,025 = 2,0 × 104 V/m. Pour garder le même champ avec d = 0,050 m : U = E d = 2,0 × 104 × 0,050 = 1,0 × 103 V. Il faut doubler la tension.
2Exercice 2
On donne VA = 120 V et VB = -30 V.
a) Calcule UAB et UBA.
b) Calcule le travail de la force électrique sur une charge q = -3,0 × 10-9 C qui va de A à B. Est-il moteur ou résistant ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) UAB = VA - VB = 120 - (-30) = 150 V ; UBA = -150 V.
b) W = q UAB = -3,0 × 10-9 × 150 = -4,5 × 10-7 J. Le travail est négatif : il est résistant.
3Exercice 3
Entre deux plaques P (+) et N (−), distantes de 6,0 cm, règne un champ de 2,0 × 103 V/m. On choisit VN = 0.
a) Calcule UPN et VP.
b) Calcule le potentiel d'un point M situé à 1,5 cm de la plaque N.
c) Décris l'équipotentielle qui passe par M.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) UPN = E d = 2,0 × 103 × 0,060 = 120 V ; VP = VN + UPN = 120 V.
b) Entre M et N, dans le sens du champ, la distance est 0,015 m : UMN = E × 0,015 = 30 V. Donc VM = VN + 30 = 30 V.
c) C'est le plan parallèle aux plaques passant par M, à 1,5 cm de N ; tous ses points sont au potentiel 30 V.
4Exercice 4
Un proton (+1,6 × 10-19 C) se déplace de A vers B dans un champ uniforme E = 4,0 × 104 V/m. AB = 3,0 cm et le vecteur AB fait un angle de 120° avec E.
a) Calcule UAB.
b) Calcule le travail de la force électrique, en joules puis en électronvolts.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) UAB = E × AB × cos 120° = 4,0 × 104 × 0,030 × (-0,5) = -600 V.
b) W = q UAB = 1,6 × 10-19 × (-600) = -9,6 × 10-17 J, soit -600 eV. Le proton « remonte » le champ : travail résistant.
5Exercice 5
(Type examen) Dans un canon à électrons, la cathode C et l'anode A sont deux plaques parallèles distantes de d = 2,0 cm. La tension UAC = VA - VC vaut 2 000 V.
a) Calcule la valeur du champ entre C et A et précise son sens.
b) Donne les caractéristiques de la force subie par un électron (e = 1,6 × 10-19 C). Dans quel sens l'électron est-il accéléré ?
c) Calcule le travail de cette force quand l'électron va de C à A, en joules et en eV.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) E = UACd = 2 0000,020 = 1,0 × 105 V/m. Le champ est dirigé vers les potentiels décroissants, donc de l'anode A vers la cathode C.
b) F = -eE : direction perpendiculaire aux plaques, sens de C vers A (contraire au champ), valeur F = e E = 1,6 × 10-19 × 1,0 × 105 = 1,6 × 10-14 N. L'électron est accéléré de la cathode vers l'anode.
c) WCA = q UCA = (-e)(VC - VA) = (-1,6 × 10-19) × (-2 000) = 3,2 × 10-16 J, soit 2 000 eV. Le travail est moteur.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
