Karamö, le prof virtuelLeçon 20 sur 44
Propriétés des figures symétriques par rapport à un point
Je sais construire le symétrique d'une figure par rapport à un point et j'utilise ce que la symétrie centrale conserve (longueurs, angles, alignement, parallélisme).
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Construire le symétrique d'un segment, d'une droite, d'un cercle et d'un polygone
- Connaître les propriétés de conservation de la symétrie centrale
- Savoir que la symétrique d'une droite lui est parallèle
- Utiliser ces propriétés pour calculer une longueur ou un angle
Avant de commencer : Le symétrique d'un point par rapport à un point ; le milieu d'un segment ; les droites parallèles ; les angles.
1Je découvre
Mariama, à Kindia, décore un tissu pour la fête de fin d'année. Elle a dessiné au crayon un triangle d'un côté d'un bouton rond cousu au centre du tissu. Elle veut reproduire le même motif « tête-bêche » de l'autre côté du bouton, comme sur les pagnes qu'on retourne d'un demi-tour.
Sa cousine Fanta lui propose : « Pas besoin de tout remesurer. Trouve seulement les symétriques des trois sommets par rapport au bouton, puis relie-les. »
Mariama est étonnée : « Et les côtés auront la bonne longueur ? Les angles seront les mêmes ? Le motif ne sera pas déformé ? »
Que devient une figure entière quand on fait sa symétrie par rapport à un point ? Qu'est-ce qui change, et qu'est-ce qui ne change pas ?
2Je comprends
1. Symétrique d'une figure
Le symétrique d'une figure par rapport à un point O est la figure formée par les symétriques de tous ses points. En pratique, on ne construit pas tous les points : on construit seulement les points importants (extrémités, sommets, centre), puis on relie.
2. Symétrique d'un segment
Propriété 1. Le symétrique d'un segment [AB] par rapport à O est le segment [A'B'], où A' et B' sont les symétriques de A et B. Et on a A'B' = AB.
On dit que la symétrie centrale conserve les longueurs.
Méthode
Pour construire le symétrique d'un segment [AB] par rapport à O :
- Je construis A', symétrique de A par rapport à O.
- Je construis B', symétrique de B par rapport à O.
- Je trace le segment [A'B'].
- Je vérifie : A'B' doit être égal à AB, et [A'B'] doit être parallèle à [AB].
3. Symétrique d'une droite
Propriété 2. Le symétrique d'une droite (d) par rapport à O est une droite (d') parallèle à (d).
- Si (d) passe par O, alors (d') est confondue avec (d) : la droite est sa propre symétrique.
- Pour tracer (d'), on prend deux points A et B de (d), on construit A' et B' et on trace la droite (A'B').
Comme conséquence, la symétrie centrale conserve le parallélisme : les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles. Elle conserve aussi l'alignement : les symétriques de points alignés sont alignés.
4. Symétrique d'un cercle
Propriété 3. Le symétrique d'un cercle de centre I et de rayon r est le cercle de centre I' (symétrique de I) et de même rayon r.
Exemple
Construire le symétrique du cercle (C) de centre I et de rayon 2 cm par rapport à un point O.
- Je construis I', symétrique de I par rapport à O (O milieu de [II']).
- Je trace le cercle de centre I' et de rayon 2 cm.
Il suffit du centre et du rayon : inutile de construire d'autres points.
5. Symétrique d'un angle et d'un polygone
Propriété 4. Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure : la symétrie centrale conserve les angles.
Propriété 5. Le symétrique d'un polygone est un polygone de même forme et de mêmes dimensions : il a les mêmes longueurs de côtés, les mêmes angles, donc le même périmètre et la même aire. La figure est simplement « retournée d'un demi-tour ».
Exemple
Le triangle ABC a pour côtés AB = 3 cm, BC = 2,8 cm, AC = 2,2 cm, et l'angle ABC mesure 42°. Le triangle A'B'C' est son symétrique par rapport à O. Que peut-on dire de A'B'C' ?
La symétrie centrale conserve les longueurs : A'B' = 3 cm, B'C' = 2,8 cm, A'C' = 2,2 cm.
Elle conserve les angles : A'B'C' = 42°.
Périmètre de A'B'C' = 3 + 2,8 + 2,2 = 8 cm, le même que celui de ABC.
6. Tableau récapitulatif
| Figure de départ | Figure symétrique par rapport à O |
|---|---|
| point A | point A' avec O milieu de [AA'] |
| segment [AB] | segment [A'B'] de même longueur, parallèle à [AB] |
| droite (d) | droite (d') parallèle à (d) |
| cercle de centre I, rayon r | cercle de centre I', même rayon r |
| angle de x° | angle de x° |
| polygone | polygone superposable (après un demi-tour) |
La symétrie centrale conserve : les longueurs, l'alignement, le parallélisme, les angles, les périmètres et les aires. Elle change seulement la position (et l'orientation : la figure est tournée d'un demi-tour).
7. Utiliser les propriétés pour justifier
Les propriétés servent à trouver une mesure sans la mesurer. On rédige toujours ainsi : « Comme [A'B'] est le symétrique de [AB] par rapport à O, et que la symétrie centrale conserve les longueurs, on a A'B' = AB. »
8. Retour au tissu de Mariama
Mariama construit les symétriques des trois sommets par rapport au bouton, puis elle relie ces trois points. D'après les propriétés, le nouveau triangle a exactement les mêmes côtés et les mêmes angles : il n'est pas déformé, il est seulement tourné d'un demi-tour. Le motif « tête-bêche » est parfait.
3Je retiens
Je retiens
Pour construire le symétrique d'une figure par rapport à O, je construis les symétriques de ses points importants, puis je relie.
Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ; il est parallèle au segment de départ.
Le symétrique d'une droite est une droite parallèle (la même droite si elle passe par O).
Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon, de centre le symétrique du centre.
La symétrie centrale conserve les longueurs, l'alignement, le parallélisme, les angles, le périmètre et l'aire.
4Erreurs fréquentes
- Construire le symétrique d'un cercle en prenant un rayon différent : le rayon ne change jamais.
- Croire que la droite symétrique est perpendiculaire à la droite de départ : elle lui est parallèle.
- Relier les points symétriques dans un autre ordre que les points de départ : le symétrique de ABC est A'B'C', dans le même ordre.
- Justifier une égalité de longueurs « parce que ça se voit » : il faut citer la propriété (la symétrie centrale conserve les longueurs).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Trace un segment [EF] de 5 cm et un point O qui n'est pas sur la droite (EF). Construis le symétrique [E'F'] de [EF] par rapport à O. Quelle est la longueur de [E'F'] ? Justifie.
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Je construis E' et F', symétriques de E et F par rapport à O, puis je trace [E'F']. La symétrie centrale conserve les longueurs, donc E'F' = EF = 5 cm.
2Exercice 2
Trace une droite (d) et un point O hors de (d). Construis la droite (d') symétrique de (d) par rapport à O. Quelle est la position de (d') par rapport à (d) ?
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Je choisis deux points A et B sur (d), je construis leurs symétriques A' et B' par rapport à O et je trace (A'B') : c'est (d'). Comme O n'est pas sur (d), la droite (d') est parallèle à (d) et distincte de (d).
3Exercice 3
Un cercle (C) a pour centre I et pour rayon 3 cm. On place O tel que OI = 4 cm. Construis le symétrique (C') de (C) par rapport à O. Donne son centre, son rayon et la distance II'.
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Je construis I', symétrique de I par rapport à O : OI' = OI = 4 cm et I, O, I' alignés. Le cercle (C') a pour centre I' et pour rayon 3 cm (le rayon est conservé). O est le milieu de [II'] donc II' = 4 + 4 = 8 cm.
4Exercice 4
Dans un repère, on donne O(0 ; 0), A(1 ; 1), B(4 ; 1) et C(2 ; 3). a) Donne les coordonnées de A', B', C', symétriques de A, B, C par rapport à O. b) Calcule AB et A'B' en comptant les carreaux. c) Que peux-tu dire des droites (AB) et (A'B') ?
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a) Par rapport à l'origine, les coordonnées changent de signe : A'(-1 ; -1), B'(-4 ; -1), C'(-2 ; -3).
b) A et B ont la même ordonnée 1 : AB = 4 - 1 = 3 unités. A' et B' ont la même ordonnée -1 : A'B' = -1 - (-4) = 3 unités. On a bien A'B' = AB.
c) Les deux droites sont horizontales (ordonnées constantes, 1 et -1) : (AB) et (A'B') sont parallèles, comme le prévoit la propriété.
5Exercice 5
(Problème) Le quadrilatère MNPQ a pour périmètre 18 cm, MNP = 110° et MN = 5 cm. Le quadrilatère M'N'P'Q' est son symétrique par rapport à un point O.
a) Donne M'N' et M'N'P' en justifiant.
b) Quel est le périmètre de M'N'P'Q' ?
c) Les droites (MN) et (M'N') peuvent-elles se couper ? Explique.
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a) [M'N'] est le symétrique de [MN] et la symétrie centrale conserve les longueurs : M'N' = 5 cm. L'angle M'N'P' est le symétrique de MNP et la symétrie conserve les angles : M'N'P' = 110°.
b) Chaque côté a la même longueur que son côté de départ, donc le périmètre est le même : 18 cm.
c) Non. La symétrique d'une droite est une droite parallèle : (M'N') est parallèle à (MN). Deux droites parallèles distinctes ne se coupent jamais ; si (MN) passe par O, les deux droites sont confondues.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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