Karamö, le prof virtuelLeçon 23 sur 44
Le rectangle
Je sais reconnaître et construire un rectangle, utiliser ses propriétés et calculer son périmètre.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le rectangle
- Connaître ses propriétés (côtés, diagonales, centre de symétrie)
- Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle
- Construire un rectangle et calculer son périmètre
Avant de commencer : Droites perpendiculaires et parallèles ; angles droits ; le parallélogramme et ses propriétés.
1Je découvre
À Dubréka, Alpha aide son grand-père à préparer les fondations d'une nouvelle case rectangulaire de 6 m sur 4 m. Ils plantent quatre piquets et tendent des cordes. Le grand-père mesure les quatre côtés : 6 m, 4 m, 6 m, 4 m. « C'est bon ? » demande Alpha.
« Pas encore, répond le grand-père. Avec ces longueurs, le terrain peut encore pencher, comme un cadre de portail. Je vais mesurer les deux cordes tendues en croix, d'un coin au coin opposé. Si elles sont égales, les coins sont bien droits. »
Alpha est intrigué : pourquoi l'égalité des deux diagonales suffirait-elle à prouver que les quatre coins sont des angles droits ?
Qu'est-ce qu'un rectangle, quelles sont ses propriétés, et comment prouver qu'un quadrilatère en est un ?
2Je comprends
1. Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Ses côtés les plus longs forment la longueur L, les plus courts la largeur ell.
2. Le rectangle est un parallélogramme
Dans un rectangle ABCD, les droites (AB) et (DC) sont toutes les deux perpendiculaires à (AD) : elles sont donc parallèles. De même, (AD) et (BC) sont parallèles. Un rectangle a donc ses côtés opposés parallèles : tout rectangle est un parallélogramme.
Il possède donc toutes les propriétés du parallélogramme :
- ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur ;
- ses diagonales ont le même milieu, qui est son centre de symétrie.
3. La propriété en plus : des diagonales de même longueur
Propriété. Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur.
Donc, si O est le centre du rectangle ABCD :
AC = BD et OA = OB = OC = OD.
Conséquence : les quatre sommets d'un rectangle sont sur un même cercle de centre O et de rayon OA.
Le rectangle possède aussi deux axes de symétrie : les droites qui passent par les milieux de deux côtés opposés. Tu les étudieras dans la leçon sur les axes de symétrie.
| Propriété | Parallélogramme | Rectangle |
|---|---|---|
| côtés opposés parallèles et égaux | oui | oui |
| diagonales de même milieu | oui | oui |
| diagonales de même longueur | pas toujours | oui |
| quatre angles droits | pas toujours | oui |
Exemple
EFGH est un rectangle de centre K. On sait que EG = 9 cm. Calculer FH et KF.
Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur : FH = EG = 9 cm.
Elles ont le même milieu K : KF = FH ÷ 2 = 9 ÷ 2 = 4,5 cm.
4. Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle
On peut utiliser l'une de ces propriétés :
- un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle (le quatrième angle est alors forcément droit, car la somme des angles d'un quadrilatère vaut 360° : 360° - 3 × 90° = 90°) ;
- un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle ;
- un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.
Exemple
Dans le quadrilatère RSTU, les diagonales [RT] et [SU] se coupent en I avec IR = IT = IS = IU = 5 cm. Quelle est la nature de RSTU ?
I est le milieu de [RT] et de [SU] : les diagonales ont le même milieu, donc RSTU est un parallélogramme.
De plus RT = 5 + 5 = 10 cm et SU = 5 + 5 = 10 cm : les diagonales ont la même longueur.
Or un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.
Donc RSTU est un rectangle.
5. Construire un rectangle
Méthode
Pour construire un rectangle ABCD de longueur L et de largeur l :
- Je trace [AB] de longueur L.
- Avec l'équerre, je trace la perpendiculaire à (AB) en A et celle en B.
- Sur chaque perpendiculaire, du même côté, je place D et C à la distance l de A et de B.
- Je trace [DC] et je vérifie : DC = L et les diagonales AC et BD sont égales.
On peut aussi utiliser les diagonales : on trace deux segments de même longueur qui se coupent en leur milieu ; leurs extrémités sont les sommets d'un rectangle.
6. Le périmètre du rectangle
Le périmètre est la longueur du tour de la figure. Un rectangle a deux longueurs et deux largeurs :
P = 2 × (L + ell), avec L et ell exprimées dans la même unité.
Exemple
Un terrain rectangulaire mesure 25 m de long et 12,5 m de large. Quelle longueur de grillage faut-il pour l'entourer ?
P = 2 × (25 + 12,5) = 2 × 37,5 = 75 m.
Il faut 75 m de grillage.
Exemple
Un rectangle a un périmètre de 34 cm et une longueur de 11 cm. Quelle est sa largeur ?
L + l = 34 ÷ 2 = 17 cm, donc l = 17 − 11 = 6 cm.
7. Retour à la case d'Alpha
Avec quatre côtés de 6 m, 4 m, 6 m, 4 m, les côtés opposés sont égaux : le terrain est un parallélogramme, mais peut-être « penché ». En vérifiant que les deux diagonales ont la même longueur, le grand-père utilise la propriété : « un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle ». Les quatre coins sont alors des angles droits : les fondations sont justes. C'est la méthode des maçons.
3Je retiens
Je retiens
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Un rectangle est un parallélogramme : côtés opposés parallèles et égaux, diagonales de même milieu.
Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur.
Pour prouver qu'un quadrilatère est un rectangle : trois angles droits ; ou parallélogramme avec un angle droit ; ou parallélogramme avec diagonales de même longueur.
Périmètre : P = 2 × (L + l).
4Erreurs fréquentes
- Croire qu'un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur est forcément un rectangle : il faut aussi qu'elles aient le même milieu (parallélogramme).
- Croire que les diagonales d'un rectangle sont perpendiculaires : c'est faux, sauf pour le carré.
- Calculer le périmètre en faisant L + l : il y a deux longueurs et deux largeurs, P = 2 × (L + l).
- Additionner des longueurs d'unités différentes (mètres et centimètres) sans convertir.
5Je m’exerce
1Exercice 1
MNPQ est un rectangle avec MN = 8 cm et NP = 5 cm. Donne PQ et QM, puis calcule son périmètre.
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Côtés opposés égaux : PQ = MN = 8 cm et QM = NP = 5 cm. Périmètre : 2 × (8 + 5) = 26 cm.
2Exercice 2
ABCD est un rectangle de centre O et OA = 3,5 cm. Calcule AC, BD et OB. Justifie.
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O est le milieu de [AC] : AC = 2 × 3,5 = 7 cm. Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur : BD = AC = 7 cm. O est aussi le milieu de [BD] : OB = 7 ÷ 2 = 3,5 cm.
3Exercice 3
Construis un rectangle EFGH tel que EF = 6 cm et FG = 3,5 cm. Mesure ses diagonales : que remarques-tu ?
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Je trace [EF] de 6 cm, les perpendiculaires à (EF) en E et en F, je place H et G à 3,5 cm, du même côté, puis je trace [HG]. En mesurant, je trouve deux diagonales [EG] et [FH] de même longueur (environ 6,9 cm) : c'est la propriété du rectangle.
4Exercice 4
Dans chaque cas, dis si le quadrilatère est forcément un rectangle. Justifie.
a) ABCD a trois angles droits.
b) EFGH a des diagonales de même longueur.
c) IJKL est un parallélogramme avec IJK = 90°.
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a) Oui : un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle.
b) Non : il faut aussi que les diagonales aient le même milieu. Par exemple, deux segments de même longueur qui se croisent hors de leurs milieux forment un quadrilatère qui n'est pas un rectangle.
c) Oui : un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
5Exercice 5
(Type examen) ABCD est un parallélogramme de centre O avec OA = 4 cm et OB = 4 cm.
a) Calcule AC et BD.
b) Démontre que ABCD est un rectangle.
c) Place les points sur un cercle : quel est son centre, quel est son rayon ?
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a) O est le milieu des diagonales (propriété du parallélogramme) : AC = 2 × 4 = 8 cm et BD = 2 × 4 = 8 cm.
b) ABCD est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur (AC = BD = 8 cm). Or un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. Donc ABCD est un rectangle.
c) OA = OB = OC = OD = 4 cm : les quatre sommets sont sur le cercle de centre O et de rayon 4 cm.
6Exercice 6
(Problème) Mariama veut entourer de fil de fer un jardin rectangulaire à Pita de 18,5 m sur 9 m, en laissant une entrée de 1,5 m. Le fil coûte 6 000 GNF le mètre.
a) Calcule le périmètre du jardin.
b) Quelle longueur de fil doit-elle acheter ?
c) Combien va-t-elle payer ?
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a) P = 2 × (18,5 + 9) = 2 × 27,5 = 55 m.
b) 55 - 1,5 = 53,5 m de fil.
c) 53,5 × 6 000 = 321 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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