Karamö, le prof virtuelLeçon 39 sur 44
Les échelles
Je sais utiliser l'échelle d'un plan ou d'une carte pour calculer une distance réelle, une distance sur le plan, ou l'échelle elle-même.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir l'échelle d'un plan ou d'une carte
- Calculer une distance réelle à partir d'une distance sur le plan
- Calculer une distance sur le plan à partir d'une distance réelle
- Déterminer l'échelle d'un plan
- Distinguer réduction et agrandissement
Avant de commencer : Le tableau de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité ; conversions des unités de longueur ; fractions ; multiplication et division des décimaux.
1Je découvre
Mamadou veut construire une maison de trois pièces sur son terrain de Coyah. L'architecte lui remet un plan dessiné sur une feuille. Dans un coin, il est écrit : « Échelle : 1/100 ».
Sur le plan, le salon mesure 5 cm de long. Mamadou s'étonne : « Un salon de 5 cm ? Même mes chaussures sont plus grandes ! » Sa fille Aïssatou, élève de 7e année, lui explique que le dessin est une réduction de la réalité : tout a été rapetissé de la même façon.
Le même jour, en classe de géographie, le professeur montre une carte de la préfecture au 1/200 000 et demande à quelle distance réelle se trouvent deux villages séparés de 7 cm sur la carte.
Que signifie une échelle comme 1/100 ou 1/200 000, et comment l'utiliser pour passer du dessin à la réalité et inversement ?
2Je comprends
1. Définition
Sur un plan ou une carte, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. L'échelle est le coefficient qui permet de passer des longueurs réelles aux longueurs du plan :
échelle = distance sur le plandistance réelle, les deux distances étant exprimées dans la même unité.
L'échelle s'écrit en général sous la forme d'une fraction de numérateur 1 : 1100, 150 000, ou « 1 : 100 ».
Lire une échelle. 1100 signifie : 1 cm sur le plan représente 100 cm dans la réalité (c'est-à-dire 1 m). De même, 1 mm sur le plan représente 100 mm dans la réalité : l'unité ne change pas, puisque les deux distances sont dans la même unité.
| Échelle | 1 cm sur le plan représente… |
|---|---|
| 1/100 | 100 cm = 1 m |
| 1/1 000 | 1 000 cm = 10 m |
| 1/50 000 | 50 000 cm = 500 m |
| 1/200 000 | 200 000 cm = 2 km |
| 1/1 000 000 | 1 000 000 cm = 10 km |
Plus le dénominateur est grand, plus la réduction est forte : une carte au 1/1 000 000 montre une grande région avec peu de détails ; un plan au 1/100 montre une maison avec beaucoup de détails.
2. Le tableau de proportionnalité de l'échelle
On peut toujours présenter les calculs dans un tableau de proportionnalité :
| Distance sur le plan (cm) | 1 | 5 |
|---|---|---|
| Distance réelle (cm) | 100 | 500 |
Le salon de Mamadou mesure donc réellement 500 cm, c'est-à-dire 5 m.
- 1Je lis l'échelle : 1 unité sur le plan représente N unités dans la réalité.
- 2Plan → réalité : je multiplie la distance sur le plan par N.
- 3Réalité → plan : je convertis la distance réelle dans l'unité du plan, puis je divise par N.
- 4Trouver l'échelle : je mets les deux distances dans la même unité, puis je calcule distance plan ÷ distance réelle.
- 5Je convertis le résultat dans une unité adaptée (m, km) et je fais une phrase.
3. Calculer une distance réelle
Exemple
Sur la carte au 1/200 000, deux villages sont séparés de 7 cm. Quelle est la distance réelle ?
1 cm sur la carte représente 200 000 cm dans la réalité.
Distance réelle : 7 × 200 000 = 1 400 000 cm.
Conversion : 1 400 000 cm = 14 000 m = 14 km.
Les deux villages sont à 14 km à vol d'oiseau.
Remarque : une carte donne la distance à vol d'oiseau (en ligne droite). La route, qui fait des virages, est plus longue.
4. Calculer une distance sur le plan
Exemple
Sur une carte au 1/50 000, comment représenter une piste rectiligne de 3 km ?
On convertit la distance réelle en cm : 3 km = 300 000 cm.
Distance sur la carte : 300 000 ÷ 50 000 = 6 cm.
5. Trouver l'échelle
Exemple
Sur un plan, un terrain de football de 100 m de long est représenté par un segment de 20 cm. Quelle est l'échelle du plan ?
On met les deux distances dans la même unité : 100 m = 10 000 cm.
Échelle : 20 ÷ 10 000 = 1 ÷ 500, c'est-à-dire 1/500.
(1 cm sur le plan représente 500 cm = 5 m.)
Méthode
Pour trouver une échelle :
- J'écris les deux distances dans la même unité (en général le cm).
- J'écris la fraction distance sur le plan ÷ distance réelle.
- Je simplifie pour obtenir un numérateur égal à 1 (je divise le numérateur et le dénominateur par le numérateur).
- J'écris l'échelle sous la forme 1/N.
6. Agrandissements
Une échelle peut aussi être supérieure à 1 : c'est un agrandissement. Dans un livre de sciences, une fourmi de 6 mm est dessinée avec une longueur de 3 cm, c'est-à-dire 30 mm. L'échelle est 306 = 5, qu'on écrit aussi 51 : le dessin est 5 fois plus grand que la réalité.
- Échelle inférieure à 1 (ex. 1/100)
- Le dessin est plus petit que l'objet
- Cartes, plans de maisons, de quartiers
- Échelle supérieure à 1 (ex. 5/1)
- Le dessin est plus grand que l'objet
- Dessins d'insectes, de cellules, de pièces fines
7. L'échelle graphique
Sur beaucoup de cartes, l'échelle est aussi donnée par un segment gradué (échelle graphique) : par exemple un segment de 2 cm marqué « 10 km ». Elle a un avantage : si l'on photocopie la carte en l'agrandissant, le segment s'agrandit aussi, et l'échelle graphique reste juste, alors que l'échelle écrite en fraction devient fausse.
Avec une échelle graphique de 2 cm pour 10 km : 1 cm représente 5 km, soit 500 000 cm. L'échelle numérique est donc 1500 000.
3Je retiens
Je retiens
Échelle = distance sur le plan ÷ distance réelle, les deux dans la même unité.
L'échelle 1/N signifie : 1 unité sur le plan représente N unités dans la réalité.
Plan → réalité : on multiplie par N. Réalité → plan : on divise par N.
Les distances sur le plan sont proportionnelles aux distances réelles.
Échelle inférieure à 1 : réduction. Échelle supérieure à 1 : agrandissement.
Toujours convertir avant de calculer, puis donner le résultat dans une unité adaptée.
4Erreurs fréquentes
- Mélanger les unités : pour 1/50 000, 1 cm représente 50 000 cm (= 500 m), et non 50 000 m ou 50 000 km.
- Oublier de convertir la distance réelle en cm avant de diviser par N : 3 km ÷ 50 000 ne donne pas des centimètres.
- Inverser la fraction : l'échelle d'un plan est distance plan ÷ distance réelle, pas l'inverse.
- Croire qu'une carte au 1/1 000 000 est plus détaillée qu'une carte au 1/50 000 : c'est l'inverse, la réduction est plus forte.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Complète : sur une carte au 1/25 000, 1 cm représente … cm, soit … m.
Voir le corrigéCacher le corrigé
1 cm représente 25 000 cm, soit 250 m.
2Exercice 2
Sur le plan de la maison de Mamadou, à l'échelle 1/100 :
a) une chambre mesure 4 cm sur 3,5 cm. Quelles sont ses dimensions réelles ?
b) la cuisine mesure réellement 3,2 m de long. Quelle est sa longueur sur le plan ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 4 × 100 = 400 cm = 4 m et 3,5 × 100 = 350 cm = 3,5 m. La chambre mesure 4 m sur 3,5 m.
b) 3,2 m = 320 cm ; 320 ÷ 100 = 3,2 cm sur le plan.
3Exercice 3
Sur une carte au 1/500 000, deux villages sont à 4,2 cm l'un de l'autre. Calcule la distance réelle à vol d'oiseau en kilomètres.
Voir le corrigéCacher le corrigé
4,2 × 500 000 = 2 100 000 cm = 21 000 m = 21 km.
4Exercice 4
Détermine l'échelle dans chaque cas.
a) Une cour de 30 m de long est représentée par 6 cm.
b) Une distance de 12 km est représentée sur une carte par 24 cm.
c) Une graine de 2 mm est dessinée avec un diamètre de 4 cm.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 30 m = 3 000 cm. Échelle : 6 ÷ 3 000 = 1 ÷ 500, soit 1/500.
b) 12 km = 1 200 000 cm. Échelle : 24 ÷ 1 200 000 = 1 ÷ 50 000, soit 1/50 000.
c) 4 cm = 40 mm. Échelle : 40 ÷ 2 = 20, soit 20/1 : c'est un agrandissement, le dessin est 20 fois plus grand que la graine.
5Exercice 5
Sékou dessine le plan de sa salle de classe, qui est un rectangle de 9 m sur 7 m, à l'échelle 1/50.
a) Quelles sont les dimensions du rectangle sur son plan ?
b) Le bureau du professeur mesure 1,5 m de long. Quelle sera sa longueur sur le plan ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 9 m = 900 cm ; 900 ÷ 50 = 18 cm. 7 m = 700 cm ; 700 ÷ 50 = 14 cm. Le rectangle mesure 18 cm sur 14 cm.
b) 1,5 m = 150 cm ; 150 ÷ 50 = 3 cm.
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Une carte de randonnée du Fouta-Djallon possède une échelle graphique : un segment de 3 cm correspond à 1,5 km.
a) Quelle distance réelle représente 1 cm ? Déduis-en l'échelle numérique de la carte.
b) Sur la carte, le chemin qui mène à une cascade est formé de trois portions droites de 4 cm, 2,5 cm et 5,5 cm. Calcule la longueur réelle du chemin.
c) Fatoumata marche à 4 km par heure. Combien de temps mettra-t-elle pour aller à la cascade ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 1 cm représente 1,5 ÷ 3 = 0,5 km, soit 500 m = 50 000 cm. L'échelle est 1/50 000.
b) Longueur sur la carte : 4 + 2,5 + 5,5 = 12 cm. Longueur réelle : 12 × 0,5 = 6 km.
c) 4 km en 1 h, donc 2 km en 30 min ; 6 km = 4 + 2 km : 1 h + 30 min = 1 h 30 min.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
