Karamö, le prof virtuelLeçon 41 sur 44
Les droites graduées
Je sais graduer une droite, placer un point connaissant son abscisse, lire l'abscisse d'un point et calculer la distance entre deux points d'une droite graduée.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 3 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Construire une droite graduée (origine, unité, sens)
- Lire l'abscisse d'un point, y compris négative ou décimale
- Placer un point d'abscisse donnée en choisissant un pas adapté
- Calculer la distance entre deux points d'une droite graduée
- Utiliser la droite graduée pour comparer et trouver le milieu
Avant de commencer : La demi-droite graduée ; les nombres décimaux relatifs (signe, distance à zéro, opposé, comparaison).
1Je découvre
Dans une école de Faranah, le professeur a accroché au mur un grand thermomètre en carton, gradué de −10 °C à 40 °C. Il demande à Lansana de placer un curseur à 34 °C, la température de l'après-midi, puis à −18 °C, la température d'un congélateur. Lansana s'arrête : le thermomètre s'arrête à −10 !
Le professeur trace alors au tableau une longue droite, choisit un point qu'il nomme O et écrit 0 dessous. Il reporte régulièrement la même longueur vers la droite et vers la gauche : 1, 2, 3… d'un côté, −1, −2, −3… de l'autre.
« Maintenant, dit-il, chaque nombre relatif a sa place sur cette droite, et chaque point a son nombre. Mais quelle est la distance entre le point de −18 et celui de 34 ? »
Comment construire une droite graduée, y placer ou y lire des nombres relatifs, et mesurer l'écart entre deux points ?
2Je comprends
1. Construire une droite graduée
Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :
- un point origine, noté souvent O, qui représente le nombre 0 ;
- une unité de longueur, que l'on reporte régulièrement à partir de O ;
- un sens : en général de gauche à droite, indiqué par une flèche. Les nombres positifs sont du côté de la flèche, les négatifs de l'autre côté.
La demi-droite graduée que tu connais est la moitié « positive » de la droite graduée. La droite graduée la prolonge de l'autre côté de 0 pour accueillir les nombres négatifs.
2. Abscisse d'un point
À chaque point d'une droite graduée correspond un nombre relatif unique, appelé l'abscisse du point. Inversement, à chaque nombre relatif correspond un point unique.
On écrit A(−3) et on lit « le point A d'abscisse −3 ».
Propriétés.
- L'origine O a pour abscisse 0.
- Deux points dont les abscisses sont opposées sont symétriques par rapport à O.
- Plus un point est à droite, plus son abscisse est grande.
3. Choisir un pas adapté
L'écart entre deux graduations consécutives s'appelle le pas de la graduation. On le choisit selon les nombres à placer :
- pour placer -3 ; 2 ; 5, un pas de 1 convient ;
- pour placer -1,5 ; 0,5 ; 2, on prend un pas de 0,5 ;
- pour placer -300 ; 150 ; 450, on prend un pas de 50 ou de 150.
Méthode
Pour lire l'abscisse d'un point sur une droite graduée :
- Je repère l'origine (0) et le sens de la droite.
- Je calcule le pas : je prends deux graduations numérotées, je divise leur écart par le nombre d'intervalles qui les séparent.
- Je compte le nombre de pas entre 0 (ou une graduation connue) et le point.
- Je multiplie par le pas et j'écris le signe : − si le point est à gauche de 0, + sinon.
Exemple
Sur une droite, les graduations 0 et 1 sont séparées par 5 intervalles égaux. Le point M est 7 intervalles à gauche de 0. Quelle est son abscisse ?
Pas : 1 ÷ 5 = 0,2.
Distance à zéro de M : 7 × 0,2 = 1,4.
M est à gauche de 0 : son abscisse est −1,4. On écrit M(−1,4).
4. Distance entre deux points
La distance entre deux points A et B d'une droite graduée est la longueur du segment [AB], exprimée en unités de la graduation. Une distance est toujours positive.
- Si les deux points sont du même côté de O, la distance est la différence de leurs distances à zéro. Exemple : A(−7) et B(−2) : 7 - 2 = 5. AB = 5.
- Si les deux points sont de part et d'autre de O, la distance est la somme de leurs distances à zéro. Exemple : C(−3) et D(4) : 3 + 4 = 7. CD = 7.
On peut toujours vérifier en comptant les graduations entre les deux points.
Exemple
Sur le thermomètre de Lansana, quelle est la distance entre les points d'abscisses −18 et 34 ?
Les deux points sont de part et d'autre de 0 : on additionne les distances à zéro.
18 + 34 = 52.
L'écart de température entre le congélateur et l'après-midi est de 52 °C.
Exemple
Un plongeur est à −12 m (sous la surface de l'eau). Il remonte à −4,5 m. De combien de mètres est-il remonté ?
Les deux points sont du même côté de 0 : on soustrait les distances à zéro.
12 − 4,5 = 7,5. Il est remonté de 7,5 m.
5. Le milieu d'un segment
Le milieu de [AB] est le point situé à égale distance de A et de B. Sur une droite graduée, on le trouve en partant de A et en avançant de la moitié de la distance AB vers B.
Exemple
A(−5) et B(3). Trouver l'abscisse du milieu I de [AB].
AB = 5 + 3 = 8 (de part et d'autre de 0). La moitié : 8 ÷ 2 = 4.
En partant de A(−5) et en avançant de 4 unités vers la droite, on arrive à −1.
I a pour abscisse −1. Vérification : de −5 à −1, il y a 4 unités ; de −1 à 3, il y a 4 unités.
6. La droite graduée pour comparer
Comme le plus petit nombre est toujours le plus à gauche, la droite graduée permet de vérifier une comparaison ou de ranger des nombres : on place les points et on les lit de gauche à droite pour l'ordre croissant.
3Je retiens
Je retiens
Une droite graduée a une origine O (abscisse 0), une unité et un sens.
Chaque point a une abscisse : on écrit A(−3). Les points à gauche de O ont une abscisse négative.
Le pas est l'écart entre deux graduations consécutives ; on le choisit selon les nombres à placer.
Distance entre deux points : même côté de O → on soustrait les distances à zéro ; de part et d'autre de O → on les additionne.
Une distance est toujours positive.
Deux points d'abscisses opposées sont symétriques par rapport à O.
4Erreurs fréquentes
- Supposer que le pas vaut toujours 1 : il faut le calculer à partir de deux graduations numérotées.
- Compter les graduations au lieu des intervalles : entre 0 et 1 partagés en 5 parts, il y a 6 traits mais 5 intervalles, donc le pas est 0,2.
- Soustraire au lieu d'additionner quand les points sont de part et d'autre de O : la distance entre −3 et 4 est 7, pas 1.
- Donner une distance négative : la distance entre −7 et −2 est 5, et non −5.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Trace une droite graduée d'unité 1 cm et places-y les points A(−4), B(2,5), C(−1,5), D(0) et E(4). Que peux-tu dire des points A et E ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
On place O, puis on compte : A à 4 cm à gauche de O, B à 2,5 cm à droite, C à 1,5 cm à gauche, D sur O, E à 4 cm à droite.
A et E ont des abscisses opposées (-4 et 4) : ils sont symétriques par rapport à O.
2Exercice 2
Sur une droite graduée, les graduations 0 et 1 sont séparées par 4 intervalles égaux.
a) Quel est le pas ?
b) Le point P est 6 intervalles à droite de 0 et le point Q est 3 intervalles à gauche de 0. Donne leurs abscisses.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Pas : 1 ÷ 4 = 0,25.
b) P : 6 × 0,25 = 1,5, à droite, donc P(1,5). Q : 3 × 0,25 = 0,75, à gauche, donc Q(−0,75).
3Exercice 3
Calcule les distances.
a) Entre M(−8) et N(−3).
b) Entre R(−2,5) et S(6).
c) Entre T(1,2) et U(7,5).
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a) Même côté de O : 8 - 3 = 5. MN = 5.
b) De part et d'autre de O : 2,5 + 6 = 8,5. RS = 8,5.
c) Même côté : 7,5 - 1,2 = 6,3. TU = 6,3.
4Exercice 4
Trouve l'abscisse du milieu de chaque segment.
a) [AB] avec A(−6) et B(2).
b) [CD] avec C(−7) et D(−1).
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a) AB = 6 + 2 = 8 ; moitié : 4. En partant de -6 et en avançant de 4 vers la droite : -2. Le milieu a pour abscisse -2.
b) CD = 7 - 1 = 6 ; moitié : 3. En partant de -7 et en avançant de 3 vers la droite : -4. Le milieu a pour abscisse -4.
5Exercice 5
Lors d'une nuit d'harmattan, la température descend à 12 °C à Mamou ; au même moment, un congélateur affiche −16 °C.
a) Place ces deux températures sur une droite graduée avec un pas adapté.
b) Quel est l'écart entre ces deux températures ?
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a) On peut prendre un pas de 4 °C, de -16 à 12 : les graduations sont -16 ; -12 ; -8 ; -4 ; 0 ; 4 ; 8 ; 12.
b) Les points sont de part et d'autre de 0 : 16 + 12 = 28. L'écart est de 28 °C.
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Un ascenseur dessert un immeuble de 8 étages et 3 sous-sols. On repère chaque niveau par un nombre relatif : le rez-de-chaussée est le niveau 0, le premier sous-sol le niveau −1…
a) Quel est le niveau le plus bas ? le plus haut ?
b) Mariama monte du niveau −3 au niveau 5. De combien d'étages monte-t-elle ?
c) Ibrahima part du niveau 6 et descend de 8 étages. À quel niveau arrive-t-il ?
d) Quel niveau se trouve exactement au milieu entre −3 et 5 ?
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a) Le plus bas : le 3e sous-sol, niveau -3. Le plus haut : le 8e étage, niveau 8.
b) De part et d'autre de 0 : 3 + 5 = 8. Elle monte de 8 étages.
c) Du niveau 6, on descend de 6 étages pour arriver à 0, puis encore de 2 étages : niveau -2.
d) Distance : 8 ; moitié : 4. En partant de -3 et en montant de 4 : niveau 1. Vérification : de -3 à 1, 4 étages ; de 1 à 5, 4 étages.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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