Karamö, le prof virtuelLeçon 44 sur 44
Bilan : les figures géométriques
Je sais réutiliser ensemble tout ce que j'ai appris cette année en géométrie : droites, cercles, angles, triangles, quadrilatères, symétries, périmètres, aires et solides.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire et les notations de la géométrie (droite, segment, milieu, cercle)
- Reconnaître et utiliser les propriétés des angles, des triangles et des quadrilatères particuliers
- Construire le symétrique d'une figure par rapport à un point ou à une droite
- Calculer périmètres, aires et volumes
- Rédiger une justification géométrique courte
Avant de commencer : Toutes les leçons de géométrie de 7e année : droites, segments, cercle, angles, bissectrice, triangles et quadrilatères, symétries centrale et axiale, parallélogramme, rectangle, carré, périmètres, aires et solides.
1Je découvre
Le comité de quartier de Sékou, à Kankan, veut aménager un terrain vague pour les enfants. Sur le plan, on voit un terrain rectangulaire, un rond-point planté d'arbres, un bac à sable carré, une allée qui coupe le terrain en diagonale et un château d'eau cylindrique.
Le responsable demande aux élèves de 7e année de l'aider : tracer l'allée bien droite, planter un arbre exactement au milieu du terrain, vérifier que les coins sont bien des angles droits, calculer la longueur de la clôture, la surface de gazon et le volume du bac à sable. Il veut aussi que le portail d'entrée soit décoré d'un motif symétrique.
Sékou se rend compte que chaque tâche utilise une leçon différente de l'année : les droites, le milieu, les angles, le rectangle, les symétries, les aires, les solides…
Comment reconnaître la propriété géométrique utile dans une situation, et comment justifier ses réponses ?
2Je comprends
1. Points, droites, segments et cercle
- Par deux points distincts passe une seule droite. Des points alignés sont sur une même droite.
- Notations : (AB) la droite, [AB) la demi-droite d'origine A, [AB] le segment, AB sa longueur.
- Deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit. Deux droites parallèles n'ont aucun point commun (ou sont confondues).
- Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
- Le milieu I de [AB] est le point de [AB] tel que IA = IB.
- Le cercle de centre O et de rayon r est formé de tous les points situés à la distance r de O. Le diamètre vaut 2 × r.
2. Angles et bissectrice
- Un angle se mesure en degrés avec le rapporteur. Angle aigu (entre 0° et 90°), droit (90°), obtus (entre 90° et 180°), plat (180°).
- Deux angles complémentaires : somme 90° ; supplémentaires : somme 180°.
- La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles de même mesure ; c'est l'axe de symétrie de l'angle.
3. Triangles
- La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
- Triangle isocèle : deux côtés égaux, et deux angles égaux (les angles à la base).
- Triangle équilatéral : trois côtés égaux, trois angles de 60°.
- Triangle rectangle : un angle droit ; les deux autres angles sont complémentaires.
Exemple
Dans un triangle ABC isocèle en A, l'angle en A mesure 40°. Calculer les deux autres angles.
Somme des angles : 180°. Il reste 180° − 40° = 140° pour les deux angles à la base.
Ces deux angles sont égaux : 140° ÷ 2 = 70° chacun.
4. Quadrilatères particuliers
| Figure | Côtés | Diagonales | Angles |
|---|---|---|---|
| Parallélogramme | opposés parallèles et de même longueur | se coupent en leur milieu (centre de symétrie) | opposés égaux |
| Rectangle | propriétés du parallélogramme | se coupent en leur milieu et ont la même longueur | quatre angles droits |
| Carré | quatre côtés égaux | même longueur, se coupent en leur milieu, perpendiculaires | quatre angles droits |
Le carré est à la fois un rectangle et un parallélogramme particulier. Le rectangle est un parallélogramme particulier.
5. Les deux symétries
- A' est le symétrique de A si O est le milieu de [AA']
- C'est un demi-tour autour de O
- Une droite a pour symétrique une droite parallèle
- Elle conserve longueurs, angles, aires
- Exemples de figures : parallélogramme, rectangle, cercle
- A' est le symétrique de A si (d) est la médiatrice de [AA']
- C'est un pliage le long de (d)
- Une droite a pour symétrique une droite (pas toujours parallèle)
- Elle conserve longueurs, angles, aires
- Exemples de figures : rectangle, carré, triangle isocèle
- Une figure a un centre de symétrie si elle est sa propre image par une symétrie centrale (le parallélogramme : le point de rencontre des diagonales).
- Une figure a un axe de symétrie si elle se superpose à elle-même par pliage le long de cet axe (le rectangle en a 2, le carré 4, le triangle équilatéral 3, le cercle une infinité).
6. Périmètres et aires
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Carré de côté c | 4 × c | c × c |
| Rectangle L, l | 2 × (L + l) | L × l |
| Triangle | somme des 3 côtés | (b × h) ÷ 2 |
| Cercle, disque de rayon r | 2 × π × r | π × r × r |
7. Solides
| Solide | Faces | Volume |
|---|---|---|
| Pavé droit L, l, h | 6 rectangles | L × l × h |
| Cube d'arête a | 6 carrés identiques | a × a × a |
| Prisme droit | 2 bases polygonales, faces latérales rectangulaires | aire de la base × h |
| Cylindre droit | 2 disques et une surface courbe | π × r × r × h |
Unités : 1 m² = 100 dm² ; 1 m³ = 1 000 dm³ ; 1 dm³ = 1 L.
8. Rédiger une justification
En géométrie, on ne se contente pas de « voir » sur le dessin : on justifie avec une propriété du cours.
Méthode
Pour rédiger une justification géométrique :
- J'écris ce que je sais (les données de l'énoncé ou du codage de la figure).
- J'écris la propriété du cours que j'utilise (« Or, dans un rectangle, les diagonales… »).
- J'écris la conclusion (« Donc… »).
- Je vérifie que la propriété utilisée correspond bien à la figure (un parallélogramme n'a pas forcément des diagonales de même longueur).
Exemple
ABCD est un rectangle de centre O avec AC = 10 cm. Calculer OB.
Je sais que ABCD est un rectangle et que AC = 10 cm.
Or, dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.
Donc BD = AC = 10 cm et O est le milieu de [BD], d'où OB = 10 ÷ 2 = 5 cm.
Exemple
Le terrain de Sékou est un rectangle de 60 m sur 40 m. Au centre, un rond-point circulaire de 5 m de rayon est planté d'arbres ; le reste est en gazon.
Clôture : P = 2 × (60 + 40) = 200 m.
Aire du terrain : 60 × 40 = 2 400 m².
Aire du rond-point : 3,14 × 5 × 5 = 78,5 m².
Gazon : 2 400 − 78,5 = 2 321,5 m² environ.
3Je retiens
Je retiens
Notations : (AB) droite, [AB) demi-droite, [AB] segment, AB longueur. Le milieu I de [AB] vérifie IA = IB.
Somme des angles d'un triangle : 180°. Complémentaires : 90° ; supplémentaires : 180°.
Parallélogramme : diagonales de même milieu. Rectangle : en plus, diagonales de même longueur et 4 angles droits. Carré : en plus, 4 côtés égaux et diagonales perpendiculaires.
Symétrie centrale : O milieu de [AA']. Symétrie axiale : (d) médiatrice de [AA']. Les deux conservent longueurs, angles et aires.
Périmètre : longueur du contour ; aire : surface ; volume : place occupée. Toujours la bonne unité (m, m², m³).
Une justification : je sais… ; or (propriété)… ; donc…
4Erreurs fréquentes
- Confondre (AB), [AB) et [AB] : une droite est illimitée, un segment a deux extrémités.
- Affirmer qu'un parallélogramme a des diagonales de même longueur : c'est vrai seulement pour le rectangle (et le carré).
- Confondre les deux symétries : dans la symétrie centrale, O est le milieu de [AA'] ; dans la symétrie axiale, on « plie » le long de la droite.
- Mélanger les unités : un périmètre en m, une aire en m², un volume en m³.
- Justifier « parce que ça se voit sur le dessin » : il faut citer une propriété.
5Je m’exerce
1Exercice 1
(Vocabulaire) Vrai ou faux ? Corrige les affirmations fausses.
a) Un segment a deux extrémités.
b) Deux droites perpendiculaires à une même droite sont perpendiculaires entre elles.
c) Un carré est un rectangle particulier.
d) Un triangle peut avoir deux angles droits.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Vrai.
b) Faux : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
c) Vrai : il a quatre angles droits, comme tout rectangle, et en plus quatre côtés égaux.
d) Faux : la somme des angles vaut 180° ; deux angles droits font déjà 180°, il ne resterait rien pour le troisième angle.
2Exercice 2
(Angles et triangles)
a) Dans un triangle EFG, E = 65° et F = 48°. Calcule G.
b) Un triangle est rectangle et isocèle. Quelles sont les mesures de ses angles ?
c) La bissectrice d'un angle de 124° le partage en deux angles. Combien mesure chacun ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) G = 180° - 65° - 48° = 180° - 113° = 67°.
b) Un angle droit (90°) et deux angles égaux : (180° - 90°) ÷ 2 = 45°. Les angles mesurent 90°, 45° et 45°.
c) 124° ÷ 2 = 62° chacun.
3Exercice 3
(Quadrilatères) ABCD est un parallélogramme de centre O. On sait que AB = 7 cm, BC = 4 cm, AC = 9 cm et ABC = 110°.
a) Donne les longueurs CD, AD et OA en justifiant.
b) Donne la mesure de l'angle ADC en justifiant.
c) Peut-on connaître BD avec ces seules informations ?
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a) Je sais que ABCD est un parallélogramme. Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Donc CD = AB = 7 cm et AD = BC = 4 cm.
De plus, les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : O est le milieu de [AC], donc OA = 9 ÷ 2 = 4,5 cm.
b) Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. ADC est opposé à ABC : ADC = 110°.
c) Non : dans un parallélogramme quelconque, les diagonales n'ont pas forcément la même longueur. Ici, l'angle de 110° n'est pas droit : ABCD n'est pas un rectangle, et on ne peut pas affirmer que BD = AC.
4Exercice 4
(Symétries)
a) Combien d'axes de symétrie ont un rectangle (non carré), un carré, un triangle équilatéral, un cercle ?
b) Quelles figures parmi celles-ci ont un centre de symétrie ?
c) Le point A' est le symétrique de A par rapport au point O. On sait que OA = 3,5 cm. Calcule AA'.
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a) Rectangle non carré : 2 axes ; carré : 4 axes ; triangle équilatéral : 3 axes ; cercle : une infinité (toutes les droites qui passent par le centre).
b) Le rectangle, le carré et le cercle ont un centre de symétrie. Le triangle équilatéral n'en a pas.
c) O est le milieu de [AA'], donc AA' = 2 × 3,5 = 7 cm.
5Exercice 5
(Mesures) Calcule, avec π ≈ 3,14 :
a) le périmètre et l'aire d'un carré de côté 12 m ;
b) l'aire d'un triangle de base 9 cm et de hauteur 6 cm ;
c) la longueur d'un cercle et l'aire d'un disque de rayon 4 cm ;
d) le volume d'un cube de 6 cm d'arête et celui d'un cylindre de rayon 2 m et de hauteur 3 m.
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a) P = 4 × 12 = 48 m ; mathcalA = 12 × 12 = 144 m².
b) mathcalA = (9 × 6) ÷ 2 = 27 cm².
c) Longueur : 2 × 3,14 × 4 = 25,12 cm ; aire : 3,14 × 4 × 4 = 50,24 cm².
d) Cube : 6 × 6 × 6 = 216 cm³. Cylindre : 3,14 × 2 × 2 × 3 = 3,14 × 12 = 37,68 m³.
6Exercice 6
(Problème de synthèse) Le terrain de jeux de Sékou est un rectangle ABCD de 60 m sur 40 m, de centre O.
a) Où faut-il planter l'arbre pour qu'il soit exactement au milieu du terrain ? Justifie avec une propriété du rectangle.
b) L'allée suit la diagonale [AC], qui mesure environ 72 m. Quelle est la longueur de l'autre diagonale ? Justifie.
c) Le bac à sable est un pavé droit à base carrée de 4 m de côté, rempli de sable sur 0,3 m de hauteur. Calcule le volume de sable.
d) Un camion livre le sable par chargements de 2 m³. Combien de chargements faut-il commander ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le milieu du terrain est le centre O du rectangle, c'est-à-dire le point de rencontre des diagonales, car les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu. On plante l'arbre au point O, à l'intersection des allées tracées de A vers C et de B vers D.
b) Dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur. Donc BD = AC, environ 72 m.
c) mathcalV = 4 × 4 × 0,3 = 16 × 0,3 = 4,8 m³.
d) 4,8 ÷ 2 = 2,4. Deux chargements ne font que 4 m³ : il faut commander 3 chargements.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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