Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 33
Les priorités dans les calculs
Je sais calculer sans me tromper une expression qui mélange additions, soustractions, multiplications, divisions, parenthèses et traits de fraction.
- 45 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître l'ordre de priorité des opérations
- Calculer une expression avec ou sans parenthèses, y compris avec des crochets
- Calculer une expression écrite avec un trait de fraction
- Traduire une phrase en expression mathématique
Avant de commencer : Les quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux, le vocabulaire somme, différence, produit, quotient (7e).
1Je découvre
Mariama fait les courses au marché de Kankan pour sa mère. Elle achète un savon à 2 500 GNF et 3 paquets de sucre à 8 000 GNF le paquet. Pour connaître la dépense, elle écrit sur son cahier :
2 500 + 3 × 8 000
Son petit frère Ousmane prend la calculatrice de l'école et tape les nombres de gauche à droite : il ajoute d'abord 2 500 et 3, puis il multiplie par 8 000. Il annonce fièrement : « 20 024 000 GNF ! »
Mariama éclate de rire : trois paquets de sucre et un savon ne coûtent pas vingt millions de francs guinéens. Elle calcule autrement : les 3 paquets coûtent 3 × 8 000 = 24 000 GNF, et avec le savon, cela fait 24 000 + 2 500 = 26 500 GNF. C'est le bon prix.
La même écriture a donné deux résultats très différents. Il faut donc une règle commune, que tout le monde respecte, pour savoir quelle opération faire en premier.
Dans quel ordre doit-on effectuer les opérations d'un calcul pour que tout le monde trouve le même résultat ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire des opérations
Avant d'apprendre les règles, rappelle-toi le nom du résultat de chaque opération :
| Opération | Résultat | Exemple | Les nombres s'appellent |
|---|---|---|---|
| addition | somme | 7 + 5 = 12 | les termes |
| soustraction | différence | 15 - 6 = 9 | les termes |
| multiplication | produit | 4 × 9 = 36 | les facteurs |
| division | quotient | 20 ÷ 4 = 5 | le dividende et le diviseur |
Une expression numérique est une suite de nombres reliés par des signes d'opérations, parfois avec des parenthèses. Calculer une expression, c'est trouver le nombre qu'elle représente.
2. Calcul sans parenthèses
Règle 1. Dans une expression sans parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions, ensuite les additions et les soustractions.
On dit que la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction. C'est exactement ce qu'a fait Mariama : 2 500 + 3 × 8 000 = 2 500 + 24 000 = 26 500.
Règle 2. Quand il n'y a que des additions et des soustractions, ou que des multiplications et des divisions, on calcule de gauche à droite.
Cette deuxième règle est très importante pour la soustraction et la division, car l'ordre change le résultat :
- 50 - 20 - 10 = 30 - 10 = 20 (et non 50 - 10 = 40) ;
- 48 ÷ 4 × 2 = 12 × 2 = 24 (et non 48 ÷ 8 = 6).
Exemple
Calculer A = 17 − 3 × 4 + 10 ÷ 2.
Étape 1 : on repère les opérations prioritaires : 3 × 4 et 10 ÷ 2.
A = 17 − 12 + 5
Étape 2 : il ne reste que des additions et des soustractions ; on calcule de gauche à droite.
A = 5 + 5
A = 10.
3. Calcul avec parenthèses
Les parenthèses servent à imposer un ordre différent.
Règle 3. On effectue d'abord les calculs entre parenthèses. À l'intérieur des parenthèses, on applique les règles 1 et 2.
Compare :
- 5 × 12 - 4 = 60 - 4 = 56 ;
- 5 × (12 - 4) = 5 × 8 = 40.
Quand il y a plusieurs niveaux de parenthèses, on utilise souvent des crochets [ ] pour mieux lire. On commence par les parenthèses les plus intérieures, puis on « remonte » vers l'extérieur.
Exemple
Calculer B = 3 × [20 − 2 × (4 + 3)].
On commence par la parenthèse la plus intérieure : 4 + 3 = 7.
B = 3 × [20 − 2 × 7]
Dans les crochets, la multiplication est prioritaire : 2 × 7 = 14.
B = 3 × [20 − 14]
B = 3 × 6
B = 18.
4. Le trait de fraction
Un trait de fraction joue le rôle de parenthèses invisibles : il faut calculer séparément le numérateur (au-dessus) et le dénominateur (en dessous), puis faire la division à la fin.
18 + 610 - 4 signifie (18 + 6) ÷ (10 - 4).
Exemple
Calculer C = (8 × 5 − 4) / (3 + 3 × 5), écrit avec un trait de fraction.
Numérateur : 8 × 5 − 4 = 40 − 4 = 36.
Dénominateur : 3 + 3 × 5 = 3 + 15 = 18.
C = 36 ÷ 18 = 2.
5. La méthode complète
- 1Je calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures.
- 2Pour un trait de fraction, je calcule le numérateur et le dénominateur séparément.
- 3J'effectue ensuite les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
- 4J'effectue enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Méthode
Pour calculer une expression sans erreur :
- Je recopie l'expression et je souligne l'opération que je vais faire en premier.
- J'écris une nouvelle ligne à chaque étape, en recopiant tout ce que je n'ai pas encore calculé.
- Je n'effectue qu'une ou deux opérations prioritaires par ligne.
- Je mets un signe « = » au début de chaque ligne, sous le précédent.
- Je relis : ai-je bien respecté l'ordre ? Le résultat est-il raisonnable ?
6. Traduire une phrase en calcul
Au collège, on te demande souvent d'écrire une expression à partir d'une phrase. Le dernier mot d'opération cité en premier dans la phrase indique l'opération que l'on fait en dernier.
- « La somme de 15 et du produit de 4 par 6 » : c'est une somme ; son deuxième terme est un produit. On écrit 15 + 4 × 6 = 15 + 24 = 39.
- « Le produit de la somme de 15 et 4 par 6 » : c'est un produit ; son premier facteur est une somme, qu'il faut protéger par des parenthèses. On écrit (15 + 4) × 6 = 19 × 6 = 114.
Exemple
Traduire puis calculer : « la différence entre 50 et le quotient de 36 par 9 ».
C'est une différence ; le deuxième terme est un quotient.
D = 50 − 36 ÷ 9
D = 50 − 4
D = 46.
3Je retiens
Je retiens
- On calcule d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier).
- Ensuite les multiplications et les divisions ; enfin les additions et les soustractions.
- Entre opérations de même priorité, on calcule de gauche à droite.
- Un trait de fraction : on calcule le numérateur et le dénominateur séparément, puis on divise.
- Somme → addition ; différence → soustraction ; produit → multiplication ; quotient → division.
- Pour traduire une phrase, le premier mot d'opération donne l'opération effectuée en dernier.
4Erreurs fréquentes
- Calculer de gauche à droite sans respecter la priorité : 2 + 3 × 4 = 14 et non 20.
- Oublier la règle « de gauche à droite » : 30 − 10 − 5 = 15 et non 25 ; 24 ÷ 6 × 2 = 8 et non 2.
- Ne recopier qu'une partie de l'expression à la ligne suivante : on « perd » des nombres en route. Recopie tout ce qui n'est pas encore calculé.
- Oublier que le trait de fraction regroupe tout le numérateur : (18 + 6) / 6 = 4, et non 18 + 1 = 19.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule en détaillant les étapes.
a) 12 + 3 × 5
b) 40 - 16 ÷ 4
c) 7 × 6 - 4 × 5
d) 30 - 12 + 5
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) La multiplication d'abord : 12 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27.
b) La division d'abord : 40 - 16 ÷ 4 = 40 - 4 = 36.
c) Les deux produits d'abord : 7 × 6 - 4 × 5 = 42 - 20 = 22.
d) De gauche à droite : 30 - 12 + 5 = 18 + 5 = 23.
2Exercice 2
Calcule en détaillant les étapes.
a) 6 × (9 - 4)
b) (15 + 9) ÷ (11 - 5)
c) 100 - 4 × (7 + 8)
d) 2 × [15 - (3 + 4) × 2]
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 6 × (9 - 4) = 6 × 5 = 30.
b) (15 + 9) ÷ (11 - 5) = 24 ÷ 6 = 4.
c) 100 - 4 × (7 + 8) = 100 - 4 × 15 = 100 - 60 = 40.
d) 2 × [15 - (3 + 4) × 2] = 2 × [15 - 7 × 2] = 2 × [15 - 14] = 2 × 1 = 2.
3Exercice 3
Place des parenthèses pour que chaque égalité soit vraie.
a) 4 + 6 × 3 = 30
b) 20 - 8 - 2 = 14
c) 36 ÷ 6 × 3 = 2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (4 + 6) × 3 = 10 × 3 = 30.
b) 20 - (8 - 2) = 20 - 6 = 14.
c) 36 ÷ (6 × 3) = 36 ÷ 18 = 2.
4Exercice 4
Traduis chaque phrase par une expression, puis calcule-la.
a) La somme de 15 et du produit de 4 par 7.
b) Le produit de la somme de 15 et 4 par 7.
c) La différence entre 60 et le quotient de 42 par 6.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) C'est une somme : 15 + 4 × 7 = 15 + 28 = 43.
b) C'est un produit dont le premier facteur est une somme : (15 + 4) × 7 = 19 × 7 = 133.
c) C'est une différence dont le second terme est un quotient : 60 - 42 ÷ 6 = 60 - 7 = 53.
5Exercice 5
(Problème) Kadiatou a 50 000 GNF. Elle achète 3 cahiers à 4 000 GNF l'un et 2 stylos à 1 500 GNF l'un pour la rentrée à Labé.
a) Écris, en une seule expression, la somme qui lui reste.
b) Calcule cette expression.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) La dépense est 3 × 4 000 + 2 × 1 500 ; il faut la retirer en entier des 50 000 GNF, donc on la met entre parenthèses :
R = 50 000 - (3 × 4 000 + 2 × 1 500).
b) R = 50 000 - (12 000 + 3 000) = 50 000 - 15 000 = 35 000.
Il reste 35 000 GNF à Kadiatou.
6Exercice 6
(Synthèse) Calcule :
a) G = 8 × 5 - 43 + 3 × 5
b) H = 7 + 3 × (10 - 2 × 4) - 6 ÷ 2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Numérateur : 8 × 5 - 4 = 40 - 4 = 36. Dénominateur : 3 + 3 × 5 = 3 + 15 = 18. Donc G = 36 ÷ 18 = 2.
b) Parenthèse d'abord : 10 - 2 × 4 = 10 - 8 = 2.
H = 7 + 3 × 2 - 6 ÷ 2 = 7 + 6 - 3 = 13 - 3 = 10.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
