Karamö, le prof virtuelLeçon 20 sur 33
Les angles
Je sais nommer, mesurer, construire et classer les angles, et utiliser les angles complémentaires, supplémentaires, adjacents et opposés par le sommet.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Nommer un angle et le mesurer au rapporteur
- Classer un angle (aigu, droit, obtus, plat)
- Reconnaître des angles adjacents, complémentaires, supplémentaires et opposés par le sommet
- Calculer une mesure d'angle en justifiant et utiliser la bissectrice
Avant de commencer : Droites, demi-droites et segments ; droites perpendiculaires ; utiliser une règle et un rapporteur.
1Je découvre
Lansana aide son père, menuisier à Pita, à fabriquer une chaise. Son père lui dit : « Coupe le pied de façon que le dossier fasse un angle droit avec l'assise, puis incline-le un peu vers l'arrière, pour que ce soit confortable. »
Lansana regarde les deux planches qui se touchent. Plus il ouvre le dossier, plus « l'ouverture » entre les planches grandit, même si les planches gardent la même longueur. Il comprend qu'un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés, mais seulement de leur écartement.
Son père sort alors un rapporteur d'un vieux cartable : « Pour que les quatre pieds soient pareils, il faut mesurer. » Sur le rapporteur, Lansana voit deux graduations de 0 à 180 et se demande laquelle lire.
Comment nommer, mesurer et calculer des angles, et quelles relations existent entre deux angles ?
2Je comprends
1. Définition et notation
Un angle est la figure formée par deux demi-droites de même origine. L'origine commune est le sommet de l'angle ; les deux demi-droites sont les côtés.
L'angle formé par les demi-droites [Ox) et [Oy) se note xOy. Si A est sur [Ox) et B sur [Oy), on peut aussi le noter AOB. La lettre du sommet est toujours au milieu.
La mesure d'un angle s'exprime en degrés (°). On la note AOB = 45°. Elle ne dépend pas de la longueur tracée des côtés.
2. Mesurer un angle au rapporteur
Méthode
Pour mesurer un angle avec le rapporteur :
- Je place le centre du rapporteur exactement sur le sommet de l'angle.
- J'aligne la graduation 0 avec l'un des côtés de l'angle.
- Je suis la graduation qui part de ce 0 (celle de l'extérieur ou celle de l'intérieur).
- Je lis la mesure là où passe l'autre côté (je prolonge le côté s'il est trop court).
- Je vérifie l'ordre de grandeur : un angle aigu mesure moins de 90°, un angle obtus plus de 90°.
Pour construire un angle de mesure donnée, on trace un côté, on place le rapporteur, on marque un point à la bonne graduation et on trace le second côté.
3. Les différentes sortes d'angles
| Nom | Mesure | Exemple |
|---|---|---|
| angle nul | 0° | les deux côtés sont confondus |
| angle aigu | entre 0° et 90° | 35° |
| angle droit | 90° | le coin d'un cahier |
| angle obtus | entre 90° et 180° | 130° |
| angle plat | 180° | les deux côtés forment une droite |
| angle plein | 360° | un tour complet |
4. Angles adjacents
Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun, et s'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Alors leurs mesures s'additionnent : si AOB et BOC sont adjacents, AOC = AOB + BOC.
5. Angles complémentaires et supplémentaires
- Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est 90°.
- Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est 180°.
Exemple
a) Quel est le complémentaire d'un angle de 35° ?
90° − 35° = 55°.
b) Quel est le supplémentaire d'un angle de 128° ?
180° − 128° = 52°.
c) Les points A, O et C sont alignés, et B est hors de la droite (AC). On sait que AOB = 70°. Calculer BOC.
Les angles AOB et BOC sont adjacents et forment l'angle plat AOC : ils sont supplémentaires.
BOC = 180° − 70° = 110°.
Deux angles supplémentaires adjacents forment un angle plat ; deux angles complémentaires adjacents forment un angle droit.
6. Angles opposés par le sommet
Quand deux droites se coupent en un point O, elles forment quatre angles. Deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre sont opposés par le sommet.
Propriété. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Pourquoi ? Dans la figure ci-dessous, AOC + COB = 180° (angle plat) et COB + BOD = 180° (angle plat). Donc AOC = 180° - COB = BOD.
Exemple
Deux droites se coupent en O. L'un des quatre angles mesure 48°. Calculer les trois autres.
L'angle opposé par le sommet au premier mesure aussi 48°.
Chacun des deux autres est supplémentaire de 48° (ils forment avec lui un angle plat) : 180° − 48° = 132°.
Les quatre angles mesurent 48°, 132°, 48° et 132°. Contrôle : 48 + 132 + 48 + 132 = 360°.
7. La bissectrice d'un angle
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Si [Oz) est la bissectrice de xOy = 80°, alors xOz = zOy = 40°.
Pour la tracer, on mesure l'angle, on divise par 2, et on construit un angle de cette mesure à partir d'un côté.
8. Bien rédiger un calcul d'angle
En géométrie, un calcul d'angle se justifie toujours par une propriété. On écrit : « Les angles … et … sont supplémentaires (car … forment un angle plat), donc … ». Un résultat sans justification ne rapporte presque rien à l'examen.
3Je retiens
Je retiens
Un angle est formé de deux demi-droites de même origine (le sommet) ; dans AOB, le sommet O est au milieu.
Aigu : entre 0° et 90° ; droit : 90° ; obtus : entre 90° et 180° ; plat : 180°.
Adjacents : même sommet, un côté commun, de part et d'autre ; leurs mesures s'additionnent.
Complémentaires : somme 90°. Supplémentaires : somme 180°.
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
La bissectrice partage un angle en deux angles égaux.
4Erreurs fréquentes
- Mal nommer l'angle : l'angle de sommet O entre A et B s'écrit AOB, et non OAB (qui a pour sommet A).
- Lire la mauvaise graduation du rapporteur : un angle visiblement aigu ne peut pas mesurer 140°. Il faut suivre la graduation qui part de 0 sur le premier côté.
- Confondre complémentaires (90°) et supplémentaires (180°). Astuce : « C » comme « Complémentaire » et comme « Coin » (le coin d'un cahier, 90°) ; supplémentaires, c'est l'angle plat (180°).
- Croire que des angles adjacents sont forcément égaux : adjacents veut dire « côte à côte », pas « de même mesure ».
5Je m’exerce
1Exercice 1
Classe chaque angle (nul, aigu, droit, obtus, plat) : 35° ; 90° ; 145° ; 180° ; 89° ; 0°.
Voir le corrigéCacher le corrigé
35° : aigu ; 90° : droit ; 145° : obtus ; 180° : plat ; 89° : aigu (il est inférieur à 90°) ; 0° : nul.
2Exercice 2
a) Calcule le complémentaire de 27°, puis de 64°.
b) Calcule le supplémentaire de 27°, puis de 115°.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 90° - 27° = 63° ; 90° - 64° = 26°.
b) 180° - 27° = 153° ; 180° - 115° = 65°.
3Exercice 3
Deux droites (d) et (d') se coupent en O et forment un angle de 75°. Calcule, en justifiant, les mesures des trois autres angles.
Voir le corrigéCacher le corrigé
L'angle opposé par le sommet à l'angle de 75° mesure 75°, car deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Chacun des deux autres forme avec l'angle de 75° un angle plat : ils sont supplémentaires, donc ils mesurent 180° - 75° = 105°.
Les quatre angles mesurent 75°, 105°, 75° et 105°.
4Exercice 4
Les angles aOb = 35° et bOc = 55° sont adjacents. Calcule aOc. Que peux-tu dire des demi-droites [Oa) et [Oc) ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Les angles sont adjacents, donc aOc = aOb + bOc = 35° + 55° = 90°.
L'angle aOc est droit : les demi-droites [Oa) et [Oc) sont perpendiculaires. (Les angles aOb et bOc sont complémentaires.)
5Exercice 5
(Type BEPC) Les points A, O et B sont alignés dans cet ordre. Le point C est tel que AOC = 3x et COB = x + 20°, où x est une mesure en degrés.
a) Justifie que 3x + x + 20 = 180.
b) Calcule x, puis les mesures de AOC et de COB.
c) [OD) est la bissectrice de COB. Calcule COD puis AOD.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) A, O, B sont alignés, donc AOB est un angle plat : AOB = 180°. Les angles AOC et COB sont adjacents, donc AOC + COB = 180°, soit 3x + x + 20 = 180.
b) 4x + 20 = 180 ; 4x = 160 ; x = 40. Donc AOC = 3 × 40° = 120° et COB = 40° + 20° = 60°. Contrôle : 120° + 60° = 180°.
c) [OD) est la bissectrice de COB, donc COD = 60° ÷ 2 = 30°.
AOD = AOC + COD = 120° + 30° = 150° (angles adjacents).
6Exercice 6
Les aiguilles d'une horloge font un tour complet (360°) en 12 heures. Quel angle forment-elles à 3 h ? à 4 h ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
En 1 heure, l'écart correspond à 360° ÷ 12 = 30°.
À 3 h, les aiguilles sont écartées de 3 heures : 3 × 30° = 90° (angle droit).
À 4 h : 4 × 30° = 120° (angle obtus).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
