Karamö, le prof virtuelLeçon 29 sur 33
Parallélogrammes particuliers : losange, rectangle, carré
Je connais les propriétés du rectangle, du losange et du carré, surtout celles de leurs diagonales, et je sais démontrer qu'un parallélogramme est l'un d'eux.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le rectangle, le losange et le carré comme des parallélogrammes particuliers
- Connaître les propriétés de leurs diagonales et de leurs axes de symétrie
- Démontrer qu'un parallélogramme est un rectangle, un losange ou un carré
- Utiliser ces propriétés pour calculer des longueurs et des angles
Avant de commencer : Le parallélogramme et ses propriétés caractéristiques, la médiatrice d'un segment, les triangles isocèles.
1Je découvre
Mamadou et ses cousins veulent tracer sur le sol un terrain de football rectangulaire, dans un quartier de Nzérékoré. Ils ont planté quatre piquets et tendu des cordes. Les côtés opposés ont bien la même longueur, mais le terrain paraît « tordu » : les coins ne semblent pas droits.
Ils n'ont pas d'équerre assez grande. Le grand frère Alpha propose une astuce : « Mesurez les deux diagonales avec la corde. Si elles sont égales, les coins sont droits. »
Plus tard, pour tracer le rond central, Mamadou se demande pourquoi, sur un losange dessiné par sa petite sœur, les deux diagonales se croisent en formant une croix parfaite.
Quelles propriétés particulières ont le rectangle, le losange et le carré, et comment les reconnaître à partir d'un parallélogramme ?
2Je comprends
1. Trois parallélogrammes particuliers
| Figure | Définition | C'est aussi… |
|---|---|---|
| Rectangle | quadrilatère qui a quatre angles droits | un parallélogramme |
| Losange | quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur | un parallélogramme |
| Carré | quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur | un rectangle ET un losange |
Comme ce sont des parallélogrammes, ils ont toutes les propriétés du parallélogramme : côtés opposés parallèles et de même longueur, diagonales qui se coupent en leur milieu, angles opposés égaux.
2. Propriétés du rectangle
En plus des propriétés du parallélogramme :
- les diagonales d'un rectangle ont la même longueur : AC = BD ;
- le rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Conséquence : si O est le centre du rectangle ABCD, alors OA = OB = OC = OD. Les quatre sommets sont sur un même cercle de centre O.
3. Propriétés du losange
En plus des propriétés du parallélogramme :
- les diagonales d'un losange sont perpendiculaires : (AC) ⊥ (BD) ;
- chaque diagonale est un axe de symétrie : le losange a deux axes de symétrie ;
- chaque diagonale partage les angles qu'elle traverse en deux angles égaux (c'est la bissectrice de ces angles).
4. Propriétés du carré
Le carré est à la fois un rectangle et un losange. Donc :
- ses diagonales ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires ;
- il a quatre axes de symétrie : ses deux diagonales et les deux médiatrices de ses côtés.
- Même milieu
- Même longueur
- Perpendiculaires
- Même milieu, même longueur, perpendiculaires
- parallélogramme, rectangle, losange, carré
- rectangle, carré
- losange, carré
- carré seulement
5. Démontrer qu'un parallélogramme est particulier
| Si un parallélogramme a… | …alors c'est un |
|---|---|
| un angle droit | rectangle |
| des diagonales de même longueur | rectangle |
| deux côtés consécutifs de même longueur | losange |
| des diagonales perpendiculaires | losange |
| une propriété du rectangle et une propriété du losange | carré |
Attention : ces propriétés s'appliquent à un parallélogramme. Il faut d'abord savoir (ou démontrer) que la figure est un parallélogramme.
Méthode
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle, un losange ou un carré :
- Je démontre d'abord que c'est un parallélogramme (ou je lis que c'en est un dans l'énoncé).
- Je cherche une information sur les angles, les côtés consécutifs ou les diagonales.
- J'applique la propriété du tableau et je conclus : rectangle ou losange.
- Si j'ai à la fois une propriété du rectangle et une du losange, je conclus : carré.
Exemple
EFGH est un parallélogramme dont les diagonales mesurent EG = 8 cm et FH = 8 cm. Quelle est sa nature ?
On sait que EFGH est un parallélogramme et que ses diagonales ont la même longueur.
Or, un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.
Donc EFGH est un rectangle.
Exemple
ABCD est un losange de centre O. On donne AC = 8 cm, BD = 6 cm et AB = 5 cm. Calculer OA, OB et le périmètre.
Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu : OA = 8 ÷ 2 = 4 cm et OB = 6 ÷ 2 = 3 cm.
Un losange a quatre côtés égaux : périmètre = 4 × 5 = 20 cm.
Le triangle AOB est rectangle en O, car les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
Exemple
KLMN est un rectangle de centre O, avec KM = 13 cm. Calculer OL.
Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur : LN = KM = 13 cm.
Elles se coupent en leur milieu : OL = 13 ÷ 2 = 6,5 cm.
6. Retour au terrain de Mamadou
Les côtés opposés du terrain ont la même longueur : c'est un parallélogramme. Si ses diagonales sont égales, c'est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur, donc un rectangle : les quatre coins sont droits. L'astuce d'Alpha est une vraie propriété mathématique !
3Je retiens
Je retiens
Rectangle : 4 angles droits ; ses diagonales ont la même longueur ; 2 axes de symétrie.
Losange : 4 côtés égaux ; ses diagonales sont perpendiculaires ; 2 axes de symétrie (les diagonales).
Carré : rectangle et losange ; diagonales de même longueur et perpendiculaires ; 4 axes de symétrie.
Un parallélogramme avec un angle droit ou des diagonales de même longueur est un rectangle.
Un parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux ou des diagonales perpendiculaires est un losange.
Un parallélogramme à la fois rectangle et losange est un carré.
4Erreurs fréquentes
- Dire qu'un losange a des diagonales de même longueur : c'est faux, sauf si c'est un carré.
- Oublier l'étape « parallélogramme » : un quadrilatère quelconque dont les diagonales ont la même longueur n'est pas forcément un rectangle.
- Croire que les diagonales d'un rectangle sont perpendiculaires : ce n'est vrai que pour le carré.
- Confondre les axes de symétrie : les diagonales d'un rectangle (non carré) ne sont pas des axes de symétrie.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Complète avec « rectangle », « losange » ou « carré ».
a) Un parallélogramme qui a un angle droit est un … .
b) Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un … .
c) Un rectangle qui a deux côtés consécutifs égaux est un … .
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a) rectangle ; b) losange ; c) carré.
2Exercice 2
RSTU est un rectangle de centre O avec RT = 9 cm. Calcule SU et OS.
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Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur : SU = RT = 9 cm. Elles se coupent en leur milieu : OS = 9 ÷ 2 = 4,5 cm.
3Exercice 3
ABCD est un losange de périmètre 36 cm et A = 50°.
a) Calcule la longueur d'un côté.
b) Calcule B, C et D.
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a) Un losange a quatre côtés égaux : 36 ÷ 4 = 9 cm.
b) Un losange est un parallélogramme : deux angles consécutifs sont supplémentaires, B = 180° - 50° = 130° ; les angles opposés sont égaux, C = A = 50° et D = B = 130°.
4Exercice 4
EFGH est un parallélogramme de centre O tel que OE = OF = 4 cm.
a) Calcule EG et FH.
b) Déduis-en la nature de EFGH. Justifie.
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a) Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : EG = 2 × OE = 8 cm et FH = 2 × OF = 8 cm.
b) EFGH est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur (8 cm). Or, un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. Donc EFGH est un rectangle.
5Exercice 5
Pour chaque figure, donne le nombre d'axes de symétrie : parallélogramme quelconque, rectangle, losange, carré.
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Parallélogramme quelconque : 0 ; rectangle : 2 ; losange : 2 ; carré : 4.
6Exercice 6
(Problème) On trace deux segments [AC] et [BD] de même milieu O, perpendiculaires, avec AC = BD = 6 cm.
a) Démontre que ABCD est un parallélogramme.
b) Démontre que c'est un losange, puis un rectangle.
c) Conclus sur la nature de ABCD et calcule OA.
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a) Les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD ont le même milieu O. Or, un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme.
b) ABCD est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires : c'est un losange. ABCD est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur : c'est un rectangle.
c) ABCD est à la fois un losange et un rectangle : c'est un carré. OA = 6 ÷ 2 = 3 cm.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
