Karamö, le prof virtuelLeçon 31 sur 33
Aires du triangle, du parallélogramme, du trapèze et du disque
Je sais calculer l'aire d'un triangle, d'un parallélogramme, d'un trapèze et d'un disque, et je comprends d'où viennent ces formules.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer l'aire d'un parallélogramme et d'un triangle avec une base et la hauteur correspondante
- Calculer l'aire d'un trapèze
- Calculer l'aire d'un disque et le périmètre d'un cercle avec π
- Décomposer une figure complexe pour calculer son aire
Avant de commencer : Aires du carré et du rectangle, hauteurs d'un triangle, parallélogramme et ses propriétés, unités d'aire (cm², m²).
1Je découvre
Le grand-père de Kadiatou possède plusieurs parcelles près de Kindia. L'une est un triangle, l'autre un parallélogramme (un champ « penché » entre deux pistes parallèles), une troisième a la forme d'un trapèze le long d'une rivière. Au milieu de la cour, il y a aussi un puits rond entouré d'une margelle en ciment.
Pour acheter la bonne quantité de semences d'arachide, il doit connaître l'aire de chaque parcelle. Kadiatou sait calculer l'aire d'un rectangle : longueur × largeur. Mais pour les autres formes, elle ne sait pas faire. Et pour le puits, les côtés ne sont même pas droits !
Comment calculer l'aire d'un parallélogramme, d'un triangle, d'un trapèze et d'un disque ?
2Je comprends
1. Rappel
L'aire d'une figure est la mesure de sa surface. On l'exprime en unités d'aire : cm², m², km², ha…
- Aire d'un rectangle = L × ell (longueur × largeur).
- Aire d'un carré = c × c = c2.
2. Aire du parallélogramme
Dans un parallélogramme ABCD, on choisit une base, par exemple le côté [AB], et on trace la hauteur correspondante : la distance entre les deux côtés parallèles (AB) et (DC), mesurée perpendiculairement.
Si on découpe le triangle à gauche de la hauteur et qu'on le recolle à droite, on obtient un rectangle de même base et de même hauteur. Donc :
Aire du parallélogramme = b × h.
Attention : on n'utilise pas la longueur du côté penché, mais la hauteur.
3. Aire du triangle
Deux triangles identiques, assemblés, forment un parallélogramme de même base et de même hauteur. Un triangle est donc la moitié d'un parallélogramme :
Aire du triangle = b × h2,
où h est la hauteur relative à la base b (issue du sommet opposé à cette base).
Cas du triangle rectangle : les deux côtés de l'angle droit sont une base et la hauteur correspondante. Aire = côté × côté2.
4. Aire du trapèze
Un trapèze a deux côtés parallèles, la grande base B et la petite base b. La hauteur h est la distance entre ces deux bases.
Deux trapèzes identiques, l'un retourné, forment un parallélogramme de base B + b et de hauteur h. Donc :
Aire du trapèze = (B + b) × h2.
5. Le cercle et le disque
Le cercle est la ligne ; le disque est la surface à l'intérieur du cercle.
Le nombre π (pi) est le quotient du périmètre d'un cercle par son diamètre ; il est le même pour tous les cercles. Il n'a pas d'écriture décimale exacte ; on utilise souvent la valeur approchée π ≈ 3,14.
Pour un cercle de rayon r (et de diamètre d = 2r) :
- Périmètre du cercle = 2 × π × r = π × d ;
- Aire du disque = π × r × r = π r2.
6. Tableau récapitulatif
| Figure | Aire |
|---|---|
| Rectangle | L × ell |
| Carré | c2 |
| Parallélogramme | b × h |
| Triangle | b × h2 |
| Trapèze | (B + b) × h2 |
| Disque | π r2 |
Méthode
Pour calculer une aire :
- Je reconnais la figure et j'écris la formule.
- Je repère les bonnes mesures : base et hauteur PERPENDICULAIRE, ou rayon (moitié du diamètre).
- Je vérifie que toutes les longueurs sont dans la même unité ; sinon je convertis.
- Je remplace, je calcule, et j'écris l'unité d'aire (cm², m²…).
- Pour une figure complexe, je la découpe en figures simples, puis j'additionne (ou je soustrais) les aires.
Exemple
Un champ en forme de parallélogramme a une base de 60 m. La distance entre les deux pistes parallèles est de 35 m. Les côtés penchés mesurent 40 m. Calculer l'aire.
La base est b = 60 m et la hauteur correspondante h = 35 m (distance perpendiculaire entre les pistes).
Le côté de 40 m ne sert pas.
Aire = 60 × 35 = 2 100 m².
Exemple
La parcelle au bord de la rivière est un trapèze : bases de 50 m et 30 m, hauteur 20 m. Calculer son aire.
Aire = (B + b) × h ÷ 2 = (50 + 30) × 20 ÷ 2 = 80 × 20 ÷ 2 = 1 600 ÷ 2 = 800 m².
Exemple
Le puits a un diamètre intérieur de 1,2 m. La margelle forme un anneau autour du puits, et le diamètre extérieur de la margelle est 2 m. Calculer l'aire de la margelle (π ≈ 3,14).
Rayon extérieur : 2 ÷ 2 = 1 m. Aire du grand disque ≈ 3,14 × 1 × 1 = 3,14 m².
Rayon intérieur : 1,2 ÷ 2 = 0,6 m. Aire du petit disque ≈ 3,14 × 0,6 × 0,6 = 3,14 × 0,36 = 1,1304 m².
Aire de la margelle ≈ 3,14 − 1,1304 = 2,0096 m², soit environ 2,01 m².
Exemple
Un triangle a une base de 12 cm et une hauteur de 7 cm. Calculer son aire.
Aire = (12 × 7) ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42 cm².
3Je retiens
Je retiens
Parallélogramme : A = b × h (h = hauteur perpendiculaire à la base, pas le côté penché).
Triangle : A = (b × h) ÷ 2 ; triangle rectangle : produit des côtés de l'angle droit ÷ 2.
Trapèze : A = (B + b) × h ÷ 2.
Disque de rayon r : A = π × r², avec π ≈ 3,14.
Périmètre du cercle : P = 2 × π × r = π × d.
Toutes les longueurs dans la même unité ; l'aire s'exprime en unités carrées.
Figure complexe : découper en figures simples, puis additionner ou soustraire.
4Erreurs fréquentes
- Prendre le côté penché au lieu de la hauteur : dans un parallélogramme, la hauteur est perpendiculaire à la base.
- Oublier de diviser par 2 pour le triangle et le trapèze.
- Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans πr² : avec d = 10 cm, r = 5 cm et l'aire vaut π × 25, pas π × 100.
- Confondre périmètre (2πr, en cm) et aire (πr², en cm²).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule l'aire :
a) d'un parallélogramme de base 9 cm et de hauteur 4 cm ;
b) d'un triangle de base 15 m et de hauteur 8 m ;
c) d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 5 cm.
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a) A = 9 × 4 = 36 cm².
b) A = 15 × 82 = 1202 = 60 m².
c) A = 6 × 52 = 302 = 15 cm².
2Exercice 2
Un trapèze a pour bases 14 cm et 8 cm, et pour hauteur 6 cm. Calcule son aire.
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A = (14 + 8) × 62 = 22 × 62 = 1322 = 66 cm².
3Exercice 3
Un disque a un rayon de 5 cm. Calcule son aire et le périmètre de son cercle (π ≈ 3,14).
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Aire ≈ 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm². Périmètre ≈ 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm.
4Exercice 4
Un parallélogramme a une aire de 72 cm² et une base de 9 cm. Calcule sa hauteur.
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A = b × h, donc h = Ab = 729 = 8 cm.
5Exercice 5
Sékou veut carreler une terrasse en forme de trapèze : bases 8 m et 5 m, hauteur 4 m. Un carton de carreaux couvre 2 m² et coûte 45 000 GNF.
a) Calcule l'aire de la terrasse.
b) Combien de cartons doit-il acheter au minimum ?
c) Quel est le prix total ?
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a) A = (8 + 5) × 42 = 13 × 42 = 522 = 26 m².
b) 26 ÷ 2 = 13 : il faut 13 cartons.
c) 13 × 45 000 = 585 000 GNF.
6Exercice 6
(Problème) Une table ronde a un diamètre de 1,4 m. On la pose au centre d'une natte carrée de 2 m de côté.
a) Calcule l'aire de la natte.
b) Calcule l'aire du plateau de la table (π ≈ 3,14).
c) Calcule l'aire de la partie de la natte qui n'est pas sous la table.
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a) Aire de la natte = 2 × 2 = 4 m².
b) Rayon = 1,4 ÷ 2 = 0,7 m. Aire ≈ 3,14 × 0,7 × 0,7 = 3,14 × 0,49 = 1,5386 m².
c) Aire restante ≈ 4 - 1,5386 = 2,4614 m², soit environ 2,46 m².
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
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