Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 28
La somme algébrique
Je sais calculer rapidement une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs, avec ou sans parenthèses.
- 45 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Additionner et soustraire des nombres relatifs
- Transformer une soustraction en addition de l'opposé
- Supprimer des parenthèses précédées d'un signe + ou −
- Calculer une somme algébrique en regroupant les termes positifs et les termes négatifs
Avant de commencer : Les nombres relatifs vus en 7e et 8e : signe, distance à zéro (valeur absolue), opposé d'un nombre, droite graduée.
1Je découvre
Mariama tient une petite boutique de condiments au marché de Madina. Chaque soir, elle note dans son cahier ce qu'elle a gagné ou perdu dans la journée, en milliers de francs guinéens (GNF). Un gain s'écrit avec le signe +, une perte avec le signe −.
Voici sa semaine : lundi +45, mardi -12, mercredi +30, jeudi -25, vendredi +18, samedi -6.
Son petit frère Sékou calcule dans l'ordre : 45 - 12 = 33, puis 33 + 30 = 63, puis 63 - 25 = 38… Il se perd dans les signes et doit tout recommencer. Mariama, elle, a une autre méthode : elle additionne d'abord tous les gains, puis toutes les pertes, et fait une seule différence à la fin.
Qui a raison ? Est-ce qu'on a le droit de changer l'ordre des termes quand il y a des soustractions ?
Comment calculer vite et sans erreur une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs ?
2Je comprends
1. Rappels sur les nombres relatifs
Un nombre relatif est formé d'un signe (+ ou −) et d'une distance à zéro (on dit aussi valeur absolue). Par exemple, -7 a pour signe − et pour distance à zéro 7.
Deux nombres sont opposés lorsqu'ils ont la même distance à zéro et des signes contraires : 5 et -5 sont opposés. La somme de deux nombres opposés est toujours nulle : 5 + (-5) = 0.
2. Additionner deux nombres relatifs
Règle 1 : même signe. On garde le signe commun et on additionne les distances à zéro.
(-8) + (-5) = -13 ; (+6) + (+9) = +15.
Règle 2 : signes contraires. On prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro (la plus grande moins la plus petite).
(-11) + (+4) = -7, car 11 > 4 et 11 - 4 = 7.
(+15) + (-9) = +6, car 15 > 9 et 15 - 9 = 6.
3. Soustraire, c'est additionner l'opposé
Règle 3. Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé :
a - b = a + (opposé de b).
Exemples :
- 7 - (+10) = 7 + (-10) = -3 ;
- -4 - (-9) = -4 + (+9) = 5 ;
- -6 - (+2) = -6 + (-2) = -8.
Grâce à cette règle, toute soustraction devient une addition. Or, dans une addition, on peut changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut. C'est ce qui donne raison à Mariama.
4. Qu'est-ce qu'une somme algébrique ?
Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs. Par exemple :
A = (-3) + (+8) - (-5) - (+12) + (-1).
On appelle termes les nombres qui sont ajoutés, après avoir transformé chaque soustraction en addition de l'opposé.
Écriture simplifiée. Pour alléger, on supprime les parenthèses et les signes d'addition inutiles, en suivant ces règles :
- +(+a) s'écrit +a et -(-a) s'écrit +a (deux signes identiques donnent +) ;
- +(-a) s'écrit -a et -(+a) s'écrit -a (deux signes différents donnent −).
Ainsi A = -3 + 8 + 5 - 12 - 1.
Dans cette écriture simplifiée, chaque nombre porte le signe qui le précède : les termes de A sont -3, +8, +5, -12 et -1.
5. Calculer une somme algébrique
Méthode
Pour calculer une somme algébrique :
- J'écris la somme sous forme simplifiée (sans parenthèses autour des nombres).
- Je regroupe tous les termes positifs, puis tous les termes négatifs.
- Je calcule la somme des positifs et la somme des négatifs.
- J'additionne les deux résultats (règle des signes contraires).
- 1Écrire la somme sans parenthèses : −(−5) devient +5, −(+12) devient −12
- 2Regrouper les termes positifs ensemble et les termes négatifs ensemble
- 3Additionner les positifs, puis additionner les négatifs
- 4Faire une seule dernière opération entre les deux résultats
Exemple
Calculer A = (−3) + (+8) − (−5) − (+12) + (−1).
Écriture simplifiée : A = −3 + 8 + 5 − 12 − 1.
Termes positifs : 8 + 5 = 13.
Termes négatifs : −3 − 12 − 1 = −16.
A = 13 − 16 = −3.
Exemple
Retour à la boutique de Mariama (en milliers de GNF).
B = 45 − 12 + 30 − 25 + 18 − 6.
Gains : 45 + 30 + 18 = 93.
Pertes : −12 − 25 − 6 = −43.
B = 93 − 43 = 50.
Sur la semaine, Mariama a gagné 50 000 GNF.
6. Supprimer des parenthèses qui contiennent plusieurs termes
Il arrive que des parenthèses contiennent déjà un calcul.
Règle 4.
- Des parenthèses précédées du signe + peuvent être supprimées sans rien changer : a + (b - c + d) = a + b - c + d.
- Des parenthèses précédées du signe − peuvent être supprimées à condition de changer le signe de chaque terme qu'elles contiennent : a - (b - c + d) = a - b + c - d.
La deuxième règle vient de la règle 3 : soustraire une somme, c'est ajouter l'opposé de chacun de ses termes.
Exemple
Calculer C = 17 − (8 − 13 + 2) + (−6 + 4).
On supprime les parenthèses :
C = 17 − 8 + 13 − 2 − 6 + 4.
Positifs : 17 + 13 + 4 = 34.
Négatifs : −8 − 2 − 6 = −16.
C = 34 − 16 = 18.
Vérification en calculant d'abord les parenthèses :
8 − 13 + 2 = −3 et −6 + 4 = −2, donc C = 17 − (−3) + (−2) = 17 + 3 − 2 = 18. Même résultat.
Exemple
Calculer D = −(−9 + 4) − [5 − (7 − 11)].
On commence par les parenthèses les plus intérieures : 7 − 11 = −4.
Crochet : 5 − (−4) = 5 + 4 = 9.
Première parenthèse : −9 + 4 = −5.
D = −(−5) − 9 = 5 − 9 = −4.
7. Astuces de calcul
Dans une somme algébrique, on peut aussi repérer :
- les termes opposés, qui s'annulent : 12 - 7 + 7 = 12 ;
- les termes qui donnent des nombres « ronds » : -37 + 25 - 13 + 75 = (-37 - 13) + (25 + 75) = -50 + 100 = 50.
| Écriture | Se simplifie en | Pourquoi |
|---|---|---|
| +(+4) | +4 | signes identiques |
| -(-4) | +4 | signes identiques |
| +(-4) | -4 | signes différents |
| -(+4) | -4 | signes différents |
| -(a - b) | -a + b | on change chaque signe |
3Je retiens
Je retiens
Même signe : on garde le signe et on additionne les distances à zéro.
Signes contraires : on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro et on soustrait les distances à zéro.
Soustraire un nombre, c'est additionner son opposé : a − b = a + (−b).
Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions ; on peut regrouper les termes dans l'ordre qu'on veut.
+(+a) = +a ; −(−a) = +a ; +(−a) = −a ; −(+a) = −a.
Parenthèses précédées de + : on les supprime sans rien changer. Précédées de − : on les supprime en changeant le signe de chaque terme.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de changer tous les signes : 10 − (3 − 5) n'est pas 10 − 3 − 5. C'est 10 − 3 + 5 = 12.
- Additionner les distances à zéro quand les signes sont contraires : −9 + 4 ne fait pas −13, mais −5.
- Perdre le signe d'un terme en le déplaçant : dans 6 − 8 + 3, le 8 est un terme négatif ; on regroupe 6 + 3 − 8 = 1, pas 6 + 8 + 3.
- Confondre −(−a) et −a : −(−7) vaut +7.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule.
a) (-7) + (-8) b) (+12) + (-20) c) (-3) - (+6) d) (-15) - (-15) e) 0 - (-9)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Même signe : (-7) + (-8) = -15.
b) Signes contraires, 20 > 12 : (+12) + (-20) = -8.
c) (-3) - (+6) = -3 + (-6) = -9.
d) (-15) - (-15) = -15 + 15 = 0.
e) 0 - (-9) = 0 + 9 = 9.
2Exercice 2
Écris sans parenthèses, puis calcule.
E = (+4) - (-6) + (-11) - (+3) + (+9).
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E = 4 + 6 - 11 - 3 + 9.
Positifs : 4 + 6 + 9 = 19. Négatifs : -11 - 3 = -14. E = 19 - 14 = 5.
3Exercice 3
Supprime les parenthèses et calcule.
a) F = 20 - (5 - 8) + (-4 + 1)
b) G = -(3 - 10) - (-2 + 6 - 1)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) F = 20 - 5 + 8 - 4 + 1. Positifs : 20 + 8 + 1 = 29 ; négatifs : -5 - 4 = -9. F = 29 - 9 = 20.
b) G = -3 + 10 + 2 - 6 + 1. Positifs : 10 + 2 + 1 = 13 ; négatifs : -3 - 6 = -9. G = 13 - 9 = 4.
4Exercice 4
Calcule astucieusement.
H = 48 - 19 + 52 - 81 + 19.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Les termes -19 et +19 s'annulent. Ensuite 48 + 52 = 100.
H = 100 - 81 = 19.
5Exercice 5
(Problème) Un car part de Conakry vers Labé avec 32 passagers. À Coyah, 5 descendent et 9 montent. À Kindia, 14 descendent et 6 montent. À Mamou, 11 descendent et 3 montent.
a) Écris le nombre de passagers à l'arrivée sous forme d'une somme algébrique.
b) Calcule-le.
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a) N = 32 - 5 + 9 - 14 + 6 - 11 + 3.
b) Positifs : 32 + 9 + 6 + 3 = 50. Négatifs : -5 - 14 - 11 = -30. N = 50 - 30 = 20.
Il y a 20 passagers à l'arrivée à Labé.
6Exercice 6
(Type examen) On donne a = -5, b = 8 et c = -12.
Calcule a + b + c, puis a - b - c, puis -(a - c) + b.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a + b + c = -5 + 8 + (-12) = -5 + 8 - 12 = 8 - 17 = -9.
a - b - c = -5 - 8 - (-12) = -5 - 8 + 12 = -13 + 12 = -1.
a - c = -5 - (-12) = -5 + 12 = 7, donc -(a - c) + b = -7 + 8 = 1.
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6Je vérifie
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