Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 28
La division de fractions
Je sais diviser par une fraction en multipliant par son inverse, calculer une fraction « à étages » et résoudre des problèmes de partage.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Diviser une fraction par une fraction ou par un entier en multipliant par l'inverse
- Appliquer la règle des signes à un quotient de fractions
- Simplifier une écriture fractionnaire « à étages »
- Enchaîner les quatre opérations sur les fractions en respectant les priorités
- Résoudre un problème qui conduit à une division de fractions
Avant de commencer : La multiplication de fractions et l'inverse d'une fraction (leçon précédente), la division des nombres relatifs.
1Je découvre
Hawa vend du jus de bissap devant le collège de Kissidougou. Elle a préparé 6 litres de jus et veut le verser dans des bouteilles de 34 de litre.
Elle se demande combien de bouteilles elle pourra remplir. Il s'agit de savoir combien de fois 34 L « rentre » dans 6 L, c'est-à-dire de calculer 6 ÷ 34.
Elle raisonne : « Dans 1 litre, il y a 4 quarts de litre. Dans 6 litres, il y a donc 6 × 4 = 24 quarts. Chaque bouteille contient 3 quarts, donc je remplis 24 ÷ 3 = 8 bouteilles. »
Elle remarque qu'elle a multiplié par 4 puis divisé par 3, c'est-à-dire qu'elle a multiplié par 43, l'inverse de 34.
Diviser par une fraction revient-il toujours à multiplier par son inverse ?
2Je comprends
1. La règle de la division
Rappel : deux nombres sont inverses si leur produit vaut 1. L'inverse de cd (avec c ≠ 0 et d ≠ 0) est dc.
Dans la leçon sur les relatifs, tu as vu que diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse. C'est encore vrai pour les fractions.
Règle. Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse :
ab ÷ cd = ab × dc (avec b, c, d non nuls).
Pourquoi ? Le quotient q = ab ÷ cd est le nombre tel que cd × q = ab. Essayons q = ab × dc : on a cd × ab × dc = ab × (cd × dc) = ab × 1 = ab. Cela marche.
Pour Hawa : 6 ÷ 34 = 6 × 43 = 243 = 8 bouteilles.
Méthode
Pour diviser par une fraction :
- Je détermine le signe du résultat (règle des signes).
- Je remplace « ÷ c/d » par « × d/c » (je multiplie par l'inverse du diviseur).
- Je simplifie avant d'effectuer les produits.
- J'écris le résultat sous forme irréductible.
Exemple
Calculer A = 5/6 ÷ 10/9.
A = 5/6 × 9/10 = (5 × 9)/(6 × 10) = (5 × 3 × 3)/(2 × 3 × 2 × 5).
On simplifie par 5 et par 3 : A = 3/(2 × 2) = 3/4.
Exemple
Calculer B = (−8/15) ÷ (4/−25).
Deux nombres négatifs : le quotient est positif.
B = 8/15 × 25/4 = (8 × 25)/(15 × 4) = (2 × 4 × 5 × 5)/(3 × 5 × 4).
On simplifie par 4 et par 5 : B = (2 × 5)/3 = 10/3.
2. Diviser une fraction par un entier
Un entier n non nul a pour inverse 1n. Donc :
ab ÷ n = ab × 1n = ab × n.
Exemple : 67 ÷ 3 = 67 × 3 = 621 = 27. C'est logique : partager 67 en 3 parts égales donne 27 chacune.
3. Les écritures « à étages »
Une division de fractions s'écrit souvent avec un grand trait de fraction :
abcd = ab ÷ cd = ab × dc.
Le grand trait est le trait principal : il faut bien repérer où il se trouve. Par exemple :
- 235 = 23 ÷ 5 = 215 ;
- 235 = 2 ÷ 35 = 2 × 53 = 103.
Les deux résultats sont très différents !
Exemple
Calculer C = (1/2 + 1/3) / (1 − 1/6).
Numérateur : 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Dénominateur : 1 − 1/6 = 6/6 − 1/6 = 5/6.
C = 5/6 ÷ 5/6 = 1.
Exemple
Calculer D = (3/4 − 2) / (5/8).
Numérateur : 3/4 − 8/4 = −5/4.
D = −5/4 ÷ 5/8 = −5/4 × 8/5 = −(5 × 2 × 4)/(4 × 5) = −2.
4. Les quatre opérations ensemble
On respecte toujours les priorités : parenthèses (et traits de fraction), puissances, puis multiplications et divisions de gauche à droite, enfin additions et soustractions.
Exemple
Calculer E = 2/3 − 1/3 ÷ 1/2.
La division est prioritaire : 1/3 ÷ 1/2 = 1/3 × 2 = 2/3.
E = 2/3 − 2/3 = 0.
| Opération | Ce qu'on fait |
|---|---|
| ab + cb | même dénominateur, puis on additionne les numérateurs |
| ab × cd | numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux |
| ab ÷ cd | on multiplie par l'inverse : ab × dc |
| ab ÷ n | ab × n |
- Il faut un dénominateur commun
- On calcule seulement les numérateurs
- Exemple : 1/2 + 1/3 = 5/6
- Pas besoin de dénominateur commun
- On multiplie numérateurs et dénominateurs
- Exemple : 1/2 ÷ 1/3 = 1/2 × 3 = 3/2
3Je retiens
Je retiens
Diviser par une fraction non nulle, c'est multiplier par son inverse : a/b ÷ c/d = a/b × d/c.
On ne divise jamais par zéro : 0 n'a pas d'inverse.
a/b ÷ n = a/(b × n).
Signe du quotient : même signe → +, signes contraires → −.
Dans une écriture à étages, on repère le trait principal, on calcule le haut et le bas, puis on divise.
On simplifie avant d'effectuer les produits et on donne un résultat irréductible.
4Erreurs fréquentes
- Prendre l'inverse de la mauvaise fraction : dans 2/5 ÷ 3/7, c'est 3/7 (le diviseur) qu'on inverse : 2/5 × 7/3 = 14/15.
- Diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux quand cela ne tombe pas juste : on multiplie par l'inverse.
- Confondre inverse et opposé : l'inverse de 3/4 est 4/3, pas −3/4.
- Mal lire une écriture à étages : (2/3)/5 = 2/15, alors que 2/(3/5) = 10/3.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.
a) 23 ÷ 57 b) 910 ÷ 35 c) 4 ÷ 29 d) 1213 ÷ 4
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 23 × 75 = 1415.
b) 910 × 53 = 3 × 3 × 52 × 5 × 3 = 32.
c) 4 × 92 = 362 = 18.
d) 1213 × 4 = 1252 = 313.
2Exercice 2
Calcule en faisant attention aux signes.
a) (-78) ÷ 214 b) -625 ÷ -910
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Signes contraires : résultat négatif. 78 × 421 = 7 × 42 × 4 × 3 × 7 = 16. Résultat : -16.
b) Même signe : résultat positif. 625 × 109 = 2 × 3 × 2 × 55 × 5 × 3 × 3 = 415.
3Exercice 3
Calcule.
a) F = 4983 b) G = 14 + 1232 - 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) F = 49 × 38 = 4 × 33 × 3 × 2 × 4 = 16.
b) Numérateur : 14 + 24 = 34. Dénominateur : 32 - 22 = 12. G = 34 × 2 = 32.
4Exercice 4
Calcule en respectant les priorités.
a) H = 52 - 34 ÷ 12
b) I = (23 + 16) ÷ (1 - 38)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Division prioritaire : 34 ÷ 12 = 34 × 2 = 32. H = 52 - 32 = 22 = 1.
b) 23 + 16 = 46 + 16 = 56 ; 1 - 38 = 58.
I = 56 × 85 = 86 = 43.
5Exercice 5
(Problème) Sékou transporte 152 tonnes de sable avec une charrette qui peut porter 38 de tonne à chaque voyage.
a) Combien de voyages doit-il faire ?
b) S'il ne pouvait charger que 58 de ce que porte la charrette à chaque voyage, combien de voyages ferait-il ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 152 ÷ 38 = 152 × 83 = 3 × 5 × 2 × 42 × 3 = 20. Il fait 20 voyages.
b) Charge par voyage : 58 × 38 = 1564 de tonne. Nombre de voyages : 152 ÷ 1564 = 152 × 6415 = 32. Il ferait 32 voyages.
6Exercice 6
(Type examen) On donne J = 35 - 1225 + 110 et K = (74 - 12) ÷ 58 - 32.
Calcule J et K, puis J × K.
Voir le corrigéCacher le corrigé
J : numérateur 610 - 510 = 110 ; dénominateur 410 + 110 = 510 = 12. J = 110 × 2 = 15.
K : 74 - 24 = 54 ; 54 ÷ 58 = 54 × 85 = 2 ; K = 2 - 32 = 12.
J × K = 15 × 12 = 110.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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