Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 28
Les expressions littérales
Je sais écrire une expression littérale à partir d'une situation ou d'une phrase, l'écrire de façon simplifiée et la réduire.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Comprendre le rôle d'une lettre dans une expression
- Appliquer les conventions d'écriture (suppression du signe ×, carré, cube)
- Traduire une phrase ou une situation par une expression littérale
- Reconnaître si une expression est une somme ou un produit
- Réduire une expression en regroupant les termes semblables
Avant de commencer : Les nombres relatifs (somme, produit, puissances) et les priorités opératoires.
1Je découvre
Alpha loue des motos-taxis à Nzérékoré. Pour une course, le conducteur demande 5 000 GNF de prise en charge, plus 2 000 GNF par kilomètre parcouru.
- Pour 3 km, le prix est 5 000 + 2 000 × 3 = 11 000 GNF.
- Pour 7 km, le prix est 5 000 + 2 000 × 7 = 19 000 GNF.
- Pour 12 km, le prix est 5 000 + 2 000 × 12 = 29 000 GNF.
Alpha remarque que le calcul est toujours le même : seul le nombre de kilomètres change. Plutôt que de refaire un tableau pour chaque course, il voudrait une formule unique à afficher sur sa moto.
Son amie Mariama lui propose d'appeler d le nombre de kilomètres. Le prix s'écrit alors 5 000 + 2 000 × d, ou plus simplement 5 000 + 2 000d.
Comment écrire correctement une telle formule avec des lettres, et comment la simplifier ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce qu'une expression littérale ?
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres. Chaque lettre représente un nombre que l'on ne connaît pas encore, ou qui peut varier : on l'appelle une variable (ou une indéterminée).
Exemples : 5 000 + 2 000d ; 2(L + ell) ; π r2 ; 3x2 - 5x + 1.
Les formules de géométrie sont des expressions littérales que tu connais déjà :
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Carré de côté c | 4c | c2 |
| Rectangle de longueur L et de largeur ell | 2(L + ell) | Lell |
| Cercle ou disque de rayon r | 2π r | π r2 |
| Triangle de base b et de hauteur h | bh2 |
2. Les conventions d'écriture
Pour alléger l'écriture, on peut supprimer le signe × :
- entre un nombre et une lettre : 3 × x = 3x ;
- entre deux lettres : a × b = ab ;
- entre un nombre (ou une lettre) et une parenthèse : 4 × (x + 1) = 4(x + 1) ;
- entre deux parenthèses : (x + 1) × (x - 2) = (x + 1)(x - 2).
On garde le signe × entre deux nombres : 3 × 5 ne s'écrit pas 35 !
Dans un produit, on écrit le nombre en premier : x × 7 = 7x (on n'écrit pas x7).
Autres conventions :
- x × x = x2 (« x au carré ») et x × x × x = x3 (« x au cube ») ;
- 1 × x = x et (-1) × x = -x ;
- 0 × x = 0.
Exemple
Écrire de façon simplifiée : A = 2 × a × b × 5 et B = y × (−3) × y + 1 × x.
A = 2 × 5 × a × b = 10ab.
B = −3 × y × y + x = −3y² + x.
3. Somme ou produit ?
Une expression est une somme (ou une différence) si la dernière opération à effectuer, en respectant les priorités, est une addition (ou une soustraction). Elle est un produit si la dernière opération est une multiplication.
- Dans une somme, les nombres ajoutés sont les termes : 3x + 7 a pour termes 3x et 7.
- Dans un produit, les nombres multipliés sont les facteurs : 3(x + 7) a pour facteurs 3 et (x + 7).
- Dans 5x2, le nombre 5 est le coefficient de x2.
| Expression | Dernière opération | Nature |
|---|---|---|
| 2x + 9 | addition | somme |
| 2(x + 9) | multiplication | produit |
| (x - 1)(x + 4) | multiplication | produit |
| x2 - 5x | soustraction | différence |
4. Traduire une phrase par une expression
C'est une compétence essentielle pour mettre un problème en équation dans les leçons suivantes.
| Phrase | Expression |
|---|---|
| le double de x | 2x |
| le triple de x augmenté de 4 | 3x + 4 |
| le triple de la somme de x et de 4 | 3(x + 4) |
| la moitié de x | x2 |
| le carré de x diminué de 1 | x2 - 1 |
| le carré de la différence de x et de 1 | (x - 1)2 |
| l'opposé de x | -x |
| l'inverse de x (x ≠ 0) | 1x |
| deux nombres entiers consécutifs | n et n + 1 |
Remarque la différence entre « le triple de x augmenté de 4 » (3x + 4) et « le triple de la somme de x et de 4 » (3(x + 4)) : les parenthèses changent tout.
Exemple
Aïssatou a x ans. Son père a 3 ans de moins que le triple de son âge. Sa grand-mère a le double de l'âge du père. Exprimer l'âge du père et celui de la grand-mère en fonction de x.
Âge du père : le triple de x est 3x ; 3 ans de moins : 3x − 3.
Âge de la grand-mère : le double de (3x − 3) : 2(3x − 3).
5. Réduire une expression
Des termes semblables sont des termes qui ont la même partie littérale (mêmes lettres avec les mêmes exposants) : 4x et -7x sont semblables ; 3x2 et 5x2 aussi ; mais 2x et 2x2 ne le sont pas.
Réduire une expression, c'est regrouper les termes semblables en additionnant leurs coefficients, pour l'écrire avec le moins de termes possible. Cela repose sur la distributivité : 4x + 3x = (4 + 3)x = 7x.
Méthode
Pour réduire une expression littérale :
- Je repère les termes semblables (même lettre, même exposant), avec leur signe.
- Je les regroupe : d'abord les x², puis les x, puis les nombres seuls.
- J'additionne les coefficients de chaque groupe (règles de la somme algébrique).
- J'écris le résultat en rangeant les termes par exposants décroissants.
Exemple
Réduire C = 5x² − 3x + 8 − 2x² + 7x − 10.
Termes en x² : 5x² − 2x² = 3x².
Termes en x : −3x + 7x = 4x.
Nombres : 8 − 10 = −2.
C = 3x² + 4x − 2.
Exemple
Réduire les produits D = 3x × 4x et E = (−2a) × 5b × a.
D = 3 × 4 × x × x = 12x².
E = (−2) × 5 × a × a × b = −10a²b.
- 3x + 4x = 7x : on additionne les coefficients
- x + x = 2x
- 5x + 2 ne se réduit pas
- 3x × 4x = 12x² : on multiplie tout
- x × x = x²
- 5x × 2 = 10x
Pour la course de moto-taxi, l'expression 5 000 + 2 000d est déjà réduite : 5 000 et 2 000d ne sont pas semblables.
3Je retiens
Je retiens
Une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres.
Conventions : 3 × x = 3x ; a × b = ab ; 4 × (x + 1) = 4(x + 1) ; x × x = x² ; 1x = x ; on garde × entre deux nombres.
Somme : la dernière opération est + ou − (termes). Produit : la dernière opération est × (facteurs).
Termes semblables : même partie littérale (même lettre, même exposant).
Réduire : additionner les coefficients des termes semblables : 4x − 7x = −3x.
Attention : 2x + 3 ne se réduit pas, et x + x = 2x alors que x × x = x².
4Erreurs fréquentes
- Réduire des termes non semblables : 3x + 2 n'est pas 5x, et 2x + 3x² n'est pas 5x³.
- Confondre x + x = 2x et x × x = x².
- Oublier les parenthèses en traduisant : « le double de la somme de a et 5 » s'écrit 2(a + 5), pas 2a + 5.
- Perdre le signe d'un terme en le déplaçant : dans 7 − 4x + x, le terme −4x garde son signe : 7 − 3x.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris de façon simplifiée.
a) 4 × y b) a × 6 × b c) x × x × 9 d) 2 × (t - 3) e) 1 × m + (-1) × n
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a) 4y. b) 6ab. c) 9x2. d) 2(t - 3). e) m - n.
2Exercice 2
Dis si chaque expression est une somme ou un produit : 7x - 2 ; 7(x - 2) ; x2 + 3x ; (2x + 1)(x - 5) ; 3 + 2(x + 1).
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7x - 2 : somme (différence). 7(x - 2) : produit. x2 + 3x : somme. (2x + 1)(x - 5) : produit. 3 + 2(x + 1) : somme (on calcule d'abord le produit 2(x + 1), et la dernière opération est l'addition).
3Exercice 3
Traduis par une expression littérale.
a) La somme du triple de x et de 8.
b) Le quart de la différence de y et de 3.
c) Le produit de deux entiers consécutifs, le plus petit étant n.
d) Le carré de la somme de a et de b.
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a) 3x + 8. b) y - 34. c) n(n + 1). d) (a + b)2.
4Exercice 4
Réduis.
a) F = 6x + 4 - 9x + 11
b) G = 2a2 - 5a + 3 + a2 + 5a - 7
c) H = 4x × (-3x) × 2
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a) Termes en x : 6x - 9x = -3x ; nombres : 4 + 11 = 15. F = -3x + 15.
b) 2a2 + a2 = 3a2 ; -5a + 5a = 0 ; 3 - 7 = -4. G = 3a2 - 4.
c) 4 × (-3) × 2 = -24 et x × x = x2. H = -24x2.
5Exercice 5
(Problème) Un terrain rectangulaire à Kankan a une largeur de x mètres. Sa longueur mesure 15 m de plus que sa largeur.
a) Exprime la longueur en fonction de x.
b) Exprime le périmètre du terrain en fonction de x, puis réduis l'expression.
c) Exprime son aire en fonction de x.
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a) Longueur : x + 15.
b) Périmètre : 2(x + x + 15) = 2(2x + 15). Réduit et développé : 4x + 30.
c) Aire : x(x + 15).
6Exercice 6
(Type examen) Une boutique vend des cahiers à a GNF l'unité et des stylos à b GNF l'unité. Ibrahima achète 5 cahiers et 3 stylos ; sa sœur Hawa achète 2 cahiers et 7 stylos.
a) Écris le prix payé par chacun en fonction de a et b.
b) Écris, puis réduis, le prix total payé par les deux.
c) Écris la différence entre le prix payé par Ibrahima et celui payé par Hawa, puis réduis-la.
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a) Ibrahima : 5a + 3b. Hawa : 2a + 7b.
b) Total : 5a + 3b + 2a + 7b = 7a + 10b.
c) Différence : (5a + 3b) - (2a + 7b) = 5a + 3b - 2a - 7b = 3a - 4b.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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