Karamö, le prof virtuelLeçon 28 sur 28
Bissectrices d'un triangle et cercle inscrit
Je sais construire les bissectrices d'un triangle, utiliser leur point de concours et tracer le cercle inscrit, tangent aux trois côtés.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et construire la bissectrice d'un angle au compas
- Savoir qu'un point de la bissectrice est à égale distance des deux côtés de l'angle, et réciproquement
- Savoir que les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes au centre du cercle inscrit
- Construire le cercle inscrit et calculer des angles et un rayon
Avant de commencer : Les angles et la somme des angles d'un triangle, les médiatrices, hauteurs et médianes (8e), la distance d'un point à une droite et la tangente à un cercle (9e-maths-27).
1Je découvre
La famille de Mariama possède un terrain triangulaire à la sortie de Kankan, entouré de trois clôtures droites. Son père veut creuser un puits et planter autour un cercle de fleurs le plus grand possible, sans que le cercle ne dépasse les clôtures.
Mariama réfléchit. Si le puits est trop près d'une clôture, le cercle sera petit. Le meilleur emplacement est un point situé à la même distance des trois clôtures : le cercle de fleurs touchera alors chaque clôture en un seul point.
Son frère Alpha propose une autre idée : placer le puits à égale distance des trois coins du terrain. Mariama n'est pas d'accord : « Ça, c'est le centre du cercle circonscrit, qui passe par les coins ; il peut même sortir du terrain ! »
Comment trouver le point intérieur d'un triangle situé à égale distance de ses trois côtés, et comment tracer le cercle qui touche les trois côtés ?
2Je comprends
1. La bissectrice d'un angle
Définition. La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui part du sommet et qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
Si xOy = 84°, sa bissectrice [Oz) forme deux angles xOz = zOy = 42°.
Construction au compas (plus précise qu'au rapporteur) :
- Pointe du compas sur le sommet O : on trace un arc qui coupe [Ox) en A et [Oy) en B.
- Pointe en A, puis en B, avec le même écartement : on trace deux arcs qui se coupent en C.
- La demi-droite [OC) est la bissectrice.
Pourquoi ? On a OA = OB et CA = CB : la droite (OC) est la médiatrice de [AB], donc l'axe de symétrie de la figure ; elle partage l'angle en deux angles égaux.
2. La propriété d'équidistance
La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle. On en déduit :
Propriété. Si un point est sur la bissectrice d'un angle, alors il est à égale distance des deux côtés de cet angle.
Réciproque (admise). Si un point situé à l'intérieur d'un angle est à égale distance des deux côtés, alors il est sur la bissectrice de cet angle.
Rappel : la distance d'un point à un côté se mesure sur la perpendiculaire à ce côté (leçon précédente).
Exemple
Un point M est sur la bissectrice de l'angle xOy. Il est à 3 cm de la demi-droite [Ox). À quelle distance est-il de [Oy) ?
M est sur la bissectrice de l'angle, donc il est à égale distance des deux côtés.
M est à 3 cm de [Oy).
3. Les bissectrices d'un triangle et le cercle inscrit
Dans un triangle ABC, on appelle bissectrices du triangle les bissectrices de ses trois angles.
Propriété. Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes (elles passent par un même point I). Ce point est à égale distance des trois côtés du triangle. C'est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Pourquoi ? Les bissectrices des angles A et B se coupent en un point I.
- I est sur la bissectrice de A : il est à égale distance de (AB) et de (AC).
- I est sur la bissectrice de B : il est à égale distance de (BA) et de (BC).
- Donc I est à égale distance de (CA) et de (CB) : d'après la réciproque, I est aussi sur la bissectrice de C.
Le cercle inscrit a pour centre I et pour rayon r la distance de I à un côté. La distance de I à chaque côté est égale au rayon : chaque côté est donc tangent au cercle inscrit (leçon précédente). Les points de contact sont les projetés orthogonaux de I sur les trois côtés.
Construction du cercle inscrit :
- Tracer au compas les bissectrices de deux angles ; elles se coupent en I (la troisième sert de vérification).
- Construire le projeté orthogonal D de I sur un côté.
- Tracer le cercle de centre I et de rayon ID.
4. Ne pas confondre les deux cercles
| Cercle circonscrit | Cercle inscrit | |
|---|---|---|
| Droites utilisées | les médiatrices des côtés | les bissectrices des angles |
| Son centre est à égale distance... | des trois sommets | des trois côtés |
| Le cercle... | passe par les trois sommets | est tangent aux trois côtés |
| Position du centre | à l'intérieur, sur un côté ou à l'extérieur | toujours à l'intérieur |
Dans un triangle équilatéral, bissectrices, médiatrices, hauteurs et médianes sont confondues : les deux cercles ont le même centre.
5. Calculer avec les bissectrices
Exemple
Dans le triangle ABC, les angles B et C mesurent 70° et 50°. I est le centre du cercle inscrit. Calculer l'angle BIC.
(BI) est la bissectrice de l'angle B : IBC = 70° ÷ 2 = 35°.
(CI) est la bissectrice de l'angle C : ICB = 50° ÷ 2 = 25°.
Dans le triangle BIC : BIC = 180° − 35° − 25° = 120°.
Exemple
Rayon du cercle inscrit du triangle de la figure (AB = 8, AC = 6, BC = 10, rectangle en A).
On découpe ABC en trois triangles IAB, IBC et ICA qui ont tous pour hauteur r (la distance de I aux côtés).
Aire de ABC = (AB × AC) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24.
Aire de IAB + IBC + ICA = (8 × r) ÷ 2 + (10 × r) ÷ 2 + (6 × r) ÷ 2 = 24 × r ÷ 2 = 12r.
Donc 12r = 24 et r = 2. On retrouve le rayon de la figure.
Cette méthode donne une formule générale : aire du triangle = périmètre × r2.
Méthode
Pour construire le cercle inscrit dans un triangle :
- Je construis au compas la bissectrice d'un premier angle.
- Je construis la bissectrice d'un deuxième angle ; elles se coupent en I.
- Je trace à l'équerre la perpendiculaire à un côté passant par I ; son pied est un point de contact.
- Je trace le cercle de centre I passant par ce point ; je vérifie qu'il touche les trois côtés sans les traverser.
3Je retiens
Je retiens
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles égaux ; c'est son axe de symétrie.
Un point de la bissectrice est à égale distance des deux côtés de l'angle, et réciproquement (pour un point intérieur).
Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point I, centre du cercle inscrit.
I est à égale distance des trois côtés ; le cercle inscrit est tangent aux trois côtés.
Les points de contact sont les projetés orthogonaux de I sur les côtés.
Médiatrices → cercle circonscrit (passe par les sommets) ; bissectrices → cercle inscrit (touche les côtés).
Aire du triangle = périmètre × r ÷ 2.
4Erreurs fréquentes
- Confondre bissectrice et médiatrice : la bissectrice partage un ANGLE, la médiatrice coupe un SEGMENT en son milieu perpendiculairement.
- Prendre comme rayon du cercle inscrit la distance de I à un sommet : le rayon est la distance de I à un côté, mesurée perpendiculairement.
- Confondre bissectrice et médiane : la bissectrice issue de A ne passe en général pas par le milieu de [BC].
- Changer l'écartement du compas entre les deux arcs de la construction : les deux arcs doivent avoir le même rayon.
5Je m’exerce
1Exercice 1
L'angle xOy mesure 84°. On trace sa bissectrice [Oz). Combien mesurent xOz et zOy ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux : xOz = zOy = 84°2 = 42°.
2Exercice 2
Un point M est situé à l'intérieur d'un angle xOy. Il est à 2,5 cm de [Ox) et à 2,5 cm de [Oy). Que peux-tu dire de M ? Justifie.
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M est à l'intérieur de l'angle et à égale distance (2,5 cm) des deux côtés [Ox) et [Oy).
Or, si un point intérieur à un angle est à égale distance de ses deux côtés, il est sur la bissectrice de cet angle. Donc M est sur la bissectrice de xOy.
3Exercice 3
Dans le triangle ABC, A = 60° et B = 80°. I est le point de concours des bissectrices.
a) Calcule C.
b) Calcule IBC, ICB, puis BIC.
c) Calcule AIB.
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a) C = 180° - 60° - 80° = 40°.
b) (BI) est la bissectrice de B : IBC = 80°2 = 40°. (CI) est la bissectrice de C : ICB = 40°2 = 20°.
Dans le triangle BIC : BIC = 180° - 40° - 20° = 120°.
c) IAB = 60°2 = 30° et IBA = 40°. Dans le triangle AIB : AIB = 180° - 30° - 40° = 110°.
4Exercice 4
(Type examen) ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8 cm et AC = 6 cm.
a) Calcule BC.
b) Calcule l'aire et le périmètre du triangle ABC.
c) I est le centre du cercle inscrit et r son rayon. En découpant ABC en trois triangles de sommet I, montre que l'aire de ABC vaut 12r, puis calcule r.
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a) ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2 = 64 + 36 = 100, donc BC = 10 cm.
b) Aire = 8 × 62 = 24 cm². Périmètre = 8 + 6 + 10 = 24 cm.
c) Le point I est à la distance r de chaque côté ; r est donc la hauteur de chacun des triangles IAB, IBC et ICA.
Aire de ABC = 8r2 + 10r2 + 6r2 = 4r + 5r + 3r = 12r.
Donc 12r = 24 et r = 2 cm.
5Exercice 5
(Problème) Retour au terrain de Mariama.
a) Le père veut un puits à égale distance des trois clôtures. Quel point du triangle doit-il choisir, et quelles droites faut-il construire pour le trouver ?
b) Alpha, lui, voulait un point à égale distance des trois coins du terrain. Quel est ce point, et quelles droites faut-il construire ?
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a) Le point à égale distance des trois côtés est le centre du cercle inscrit, point de concours des bissectrices du triangle. Il faut construire les bissectrices de deux angles du terrain. Le cercle de fleurs de centre I et de rayon r touchera chaque clôture en un point, sans les dépasser.
b) Le point à égale distance des trois sommets est le centre du cercle circonscrit, point de concours des médiatrices des côtés. Il faut construire les médiatrices de deux côtés. Si le terrain a un angle obtus, ce point est à l'extérieur du terrain : l'idée d'Alpha ne convient donc pas toujours.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 9e
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