Karamö, le prof virtuelLeçon 18 sur 20
Vitesse moyenne et vitesse instantanée
Je sais calculer une vitesse moyenne entre deux dates et déterminer graphiquement une vitesse instantanée de formation ou de disparition à l'aide d'une tangente.
- 1 h 10
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et calculer la vitesse moyenne de formation d'un produit ou de disparition d'un réactif
- Définir la vitesse instantanée comme une dérivée et la déterminer par la pente d'une tangente
- Relier les vitesses des différentes espèces grâce aux coefficients de l'équation et définir la vitesse volumique de réaction
- Décrire et expliquer l'évolution de la vitesse au cours du temps
Avant de commencer : La leçon « Cinétique chimique » (suivi temporel, courbe x = f(t), temps de demi-réaction), la notion de coefficient directeur d'une droite et de dérivée.
1Je découvre
Sur la route nationale entre Conakry et Kindia, un taxi-brousse parcourt 135 km en 3 heures. Sa vitesse moyenne est de 45 km/h. Mais le chauffeur a roulé vite sur les portions droites et très lentement dans les virages de la montée : à chaque instant, le compteur indiquait une vitesse instantanée différente.
Au laboratoire, Mariama a suivi la formation du diiode dans la réaction entre l'eau oxygénée et les ions iodure (leçon précédente). Sa courbe monte vite au début, puis de plus en plus lentement. Elle se demande : « Quelle est la vitesse de cette réaction ? » Son professeur lui répond : « Comme pour le taxi-brousse, il faut préciser : vitesse moyenne sur un intervalle, ou vitesse à un instant précis ? »
Comment définir et mesurer la vitesse d'une réaction chimique, en moyenne sur une durée et à un instant donné ?
2Je comprends
1. Les données de départ
On reprend la réaction H2O2 + 2 I^- + 2 H3O^+ → I2 + 4 H2O dans un volume V = 100 mL. En divisant les quantités de diiode par le volume, Mariama obtient la concentration [I2] :
| t (min) | 0 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [I2] (mmol/L) | 0 | 6,6 | 11,0 | 12,6 | 14,0 | 16,0 | 17,3 | 19,0 | 19,6 |
2. La vitesse moyenne
La vitesse moyenne de formation d'un produit P entre les dates t1 et t2 est :
vm = [P]2 - [P]1t2 - t1 = Δ [P]Δ t.
La vitesse moyenne de disparition d'un réactif R est :
vm = -[R]2 - [R]1t2 - t1 = -Δ [R]Δ t.
Le signe moins rend la vitesse positive, puisque [R] diminue. Unités usuelles : mol·L-1·s-1, ou mmol·L-1·min-1.
Sur le graphique, la vitesse moyenne est le coefficient directeur de la corde (le segment) qui joint les deux points de la courbe.
Exemple
Calculer la vitesse moyenne de formation du diiode entre 0 et 10 min, puis entre 10 et 20 min.
Entre 0 et 10 min : vm = (17,3 − 0) / (10 − 0) = 1,73 mmol·L−1·min−1.
Entre 10 et 20 min : vm = (19,6 − 17,3) / (20 − 10) = 0,23 mmol·L−1·min−1.
La vitesse moyenne est environ 7 fois plus petite dans le deuxième intervalle : la réaction ralentit.
3. La vitesse instantanée
Plus on réduit l'intervalle Δ t autour d'une date t, plus la vitesse moyenne se rapproche de la vitesse instantanée à cette date. À la limite, on obtient la dérivée de la concentration par rapport au temps :
- vitesse de formation de P à la date t : v(t) = d[P]dt ;
- vitesse de disparition de R à la date t : v(t) = -d[R]dt.
Interprétation graphique. La vitesse instantanée à la date t est le coefficient directeur de la tangente à la courbe [P] = f(t) au point d'abscisse t (en valeur absolue pour un réactif).
Méthode
Pour déterminer une vitesse instantanée à la date t :
- Je place le point de la courbe d'abscisse t.
- Je trace avec soin la tangente à la courbe en ce point (elle « frôle » la courbe sans la traverser).
- Je choisis deux points A et B de la tangente, éloignés l'un de l'autre, faciles à lire.
- Je calcule le coefficient directeur : (yB − yA) / (xB − xA), avec les unités des axes.
- Pour un réactif, je prends l'opposé (la vitesse de disparition est positive).
Exemple
Déterminer la vitesse de formation du diiode à t = 0 et à t = 5 min.
À t = 0 : la tangente passe par O(0 ; 0) et par A(5 ; 20,0).
v(0) = (20,0 − 0) / (5 − 0) = 4,0 mmol·L−1·min−1.
À t = 5 min : la tangente passe par B(0 ; 5,3) et C(10 ; 20,0).
v(5) = (20,0 − 5,3) / (10 − 0) ≈ 1,47 mmol·L−1·min−1.
Conversion en unités SI : 4,0 mmol·L−1·min−1 = 4,0 × 10^−3 / 60 ≈ 6,7 × 10^−5 mol·L−1·s−1.
4. Vitesses des différentes espèces et vitesse volumique de réaction
Pour la réaction H2O2 + 2 I^- + 2 H3O^+ → I2 + 4 H2O, pendant qu'une mole de diiode se forme, deux moles d'ions iodure disparaissent. Donc :
vdisp(I^-) = 2 vform(I2) et vdisp(H2O2) = vform(I2).
Pour ne pas dépendre de l'espèce choisie, on définit la vitesse volumique de réaction à partir de l'avancement x :
v = 1V dxdt.
Pour une équation aA + bB → cC + dD, on a :
v = -1ad[A]dt = -1bd[B]dt = 1cd[C]dt = 1dd[D]dt.
Ici [I2] = xV, donc la vitesse volumique de réaction est égale à la vitesse de formation du diiode.
5. Comment évolue la vitesse au cours du temps ?
| Date | 0 | 5 min | 10 min |
|---|---|---|---|
| v (mmol·L-1·min-1) | 4,0 | 1,47 | 0,54 |
La vitesse est maximale au début, puis elle diminue jusqu'à devenir nulle quand la réaction est terminée (la courbe devient horizontale).
Explication. Au fil du temps, les réactifs sont consommés : leurs concentrations diminuent. Or, en général, la vitesse d'une réaction augmente avec la concentration des réactifs. C'est un premier exemple de facteur cinétique, que l'on étudiera dans la leçon suivante.
En plus pour SM : si l'on connaît l'expression mathématique de la courbe, on calcule la vitesse par dérivation. Ici, la courbe est bien décrite par [I2] = 20 (1 - e-t/5) (mmol/L, t en min). Alors v(t) = d[I2]dt = 4 e-t/5, ce qui donne v(0) = 4,0, v(5) = 4 e-1 ≈ 1,47 et v(10) = 4 e-2 ≈ 0,54 mmol·L-1·min-1, en accord avec les tangentes.
3Je retiens
Je retiens
Vitesse moyenne de formation entre t1 et t2 : vm = Δ[P] / Δt (pente de la corde).
Vitesse moyenne de disparition : vm = −Δ[R] / Δt.
Vitesse instantanée : v(t) = d[P]/dt (formation) ou v(t) = −d[R]/dt (disparition) : pente de la tangente à la courbe à la date t.
Vitesse volumique de réaction : v = (1/V) dx/dt ; pour aA + bB → cC + dD, v = −(1/a) d[A]/dt = (1/c) d[C]/dt.
Unités : mol·L−1·s−1 ou mmol·L−1·min−1 (1 min = 60 s).
En général, la vitesse est maximale au début et diminue au cours du temps, car les réactifs s'épuisent.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins pour un réactif : −Δ[R]/Δt est positif car [R] diminue.
- Lire la pente de la tangente avec des points trop proches ou mal lus : choisis deux points éloignés et exactement sur la droite.
- Confondre la vitesse (pente) et la concentration (ordonnée) : un point haut sur la courbe ne veut pas dire une grande vitesse.
- Oublier les coefficients stœchiométriques : la vitesse de disparition de I− est le double de la vitesse de formation de I2.
5Je m’exerce
1Exercice 1
À l'aide du tableau du cours, calcule la vitesse moyenne de formation du diiode entre t = 2 min et t = 6 min.
Voir le corrigéCacher le corrigé
vm = 14,0 - 6,66 - 2 = 7,44 = 1,85 mmol·L-1·min-1.
2Exercice 2
La décomposition du pentaoxyde de diazote s'écrit 2 N2O5 → 4 NO2 + O2. À un instant donné, la vitesse de formation du dioxygène vaut 1,5 × 10-4 mol·L-1·s-1.
a) Calcule à cet instant la vitesse de disparition de N2O5 et la vitesse de formation de NO2.
b) Quelle est la vitesse volumique de réaction ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) v = -12d[N2O5]dt = 14d[NO2]dt = d[O2]dt.
Vitesse de disparition de N2O5 : 2 × 1,5 × 10-4 = 3,0 × 10-4 mol·L-1·s-1.
Vitesse de formation de NO2 : 4 × 1,5 × 10-4 = 6,0 × 10-4 mol·L-1·s-1.
b) Le coefficient de O2 est 1 : v = 1,5 × 10-4 mol·L-1·s-1.
3Exercice 3
Sur la courbe du cours, la tangente au point d'abscisse t = 10 min passe par les points (0 ; 11,9) et (20 ; 22,7).
a) Calcule la vitesse de formation du diiode à t = 10 min.
b) Compare-la aux vitesses à t = 0 et t = 5 min et explique.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) v(10) = 22,7 - 11,920 - 0 = 10,820 = 0,54 mmol·L-1·min-1.
b) v(0) = 4,0 ; v(5) ≈ 1,47 ; v(10) = 0,54 mmol·L-1·min-1 : la vitesse diminue au cours du temps, car la concentration des réactifs (ici surtout l'eau oxygénée, réactif limitant) diminue.
4Exercice 4
En plus pour SM. On admet que [I2] = 20 (1 - e-t/5) (mmol/L, t en min).
a) Exprime v(t) = d[I2]dt.
b) À quelle date la vitesse vaut-elle 1,0 mmol·L-1·min-1 ?
c) Calcule la limite de [I2] quand t tend vers l'infini. Est-ce cohérent avec le tableau d'avancement de la leçon précédente (xmax = 2,0 mmol dans 100 mL) ?
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a) v(t) = 20 × 15 e-t/5 = 4 e-t/5.
b) 4 e-t/5 = 1 donne e-t/5 = 14, soit t = 5 ln 4 ≈ 6,9 min.
c) Quand t → +∞, e-t/5 → 0 et [I2] → 20 mmol/L. Or xmaxV = 2,0 mmol0,100 L = 20 mmol/L : c'est cohérent.
5Exercice 5
(Type BAC) On étudie la décomposition de l'eau oxygénée, en présence d'un catalyseur : 2 H2O2 → 2 H2O + O2. On mesure [H2O2] au cours du temps.
| t (min) | 0 | 5 | 10 | 20 | 30 | 40 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [H2O2] (mmol/L) | 60,0 | 46,7 | 36,4 | 22,1 | 13,4 | 8,1 | 3,0 |
a) Calcule la vitesse moyenne de disparition de H2O2 entre 0 et 10 min.
b) La tangente à la courbe au point d'abscisse 20 min passe par les points (0 ; 44,1) et (40 ; 0). Calcule la vitesse de disparition de H2O2 à t = 20 min.
c) Déduis-en la vitesse de formation du dioxygène (en mmol de O2 formé par litre de solution et par minute) à cette date.
d) Détermine le temps de demi-réaction.
e) Comment évolue la vitesse de disparition au cours du temps ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) vm = -36,4 - 60,010 - 0 = 2,36 mmol·L-1·min-1.
b) Pente de la tangente : 0 - 44,140 - 0 ≈ -1,10 mmol·L-1·min-1. La vitesse de disparition vaut donc 1,10 mmol·L-1·min-1.
c) D'après l'équation, il se forme 1 mol de O2 quand 2 mol de H2O2 disparaissent : v(O2) = 1,102 = 0,55 mmol·L-1·min-1.
d) La réaction est totale : [H2O2] tend vers 0 ; à t1/2, il reste 30,0 mmol/L. Cette valeur est atteinte entre 10 min (36,4) et 20 min (22,1) ; sur la courbe on lit t1/2 ≈ 14 min.
e) La vitesse diminue : 2,36 en moyenne sur les 10 premières minutes, 1,10 à 20 min. La concentration du réactif H2O2 diminue au cours du temps, et la vitesse diminue avec elle.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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