Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 41
Suites géométriques
Je sais reconnaître une suite géométrique, exprimer son terme général, calculer la somme de termes consécutifs et étudier une suite du type u(n+1) = a·u(n) + b.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Démontrer qu'une suite est géométrique et trouver sa raison
- Exprimer u(n) en fonction de n et étudier le sens de variation selon la raison
- Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique
- Étudier une suite arithmético-géométrique à l'aide d'une suite auxiliaire
Avant de commencer : Les suites et le raisonnement par récurrence ; les suites arithmétiques (leçon précédente) ; puissances d'un nombre.
1Je découvre
Mamadou a reçu 1 000 000 GNF pour son entrée au lycée. Son oncle lui propose de les placer sur un compte d'épargne qui rapporte, pour l'exemple, 5 % d'intérêts par an. Les intérêts sont ajoutés au capital à la fin de chaque année, puis rapportent à leur tour des intérêts : on parle d'intérêts composés.
Au bout d'un an, Mamadou aura 1 000 000 × 1,05 = 1 050 000 GNF. Au bout de deux ans, 1 050 000 × 1,05 = 1 102 500 GNF. Chaque année, on ne rajoute pas une somme fixe (comme dans une suite arithmétique) : on multiplie par le même nombre, 1,05.
Mamadou se demande combien il aura dans dix ans. Et son camarade Sékou, qui élève des poulets, se demande pourquoi son troupeau, qui obéit à la règle « on garde la moitié et on ajoute 40 », semble se stabiliser autour de 80 poulets.
Comment étudier une suite où l'on multiplie toujours par le même nombre, et comment s'en servir pour des suites plus compliquées ?
2Je comprends
1. Définition
Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier n :
un+1 = q × un.
Le réel q est la raison de la suite. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par q.
Pour démontrer qu'une suite dont les termes ne s'annulent pas est géométrique, on montre que un+1un est une constante. On peut aussi exprimer directement un+1 sous la forme q × un.
Exemple
La suite u(n) = 3 × 2ⁿ est-elle géométrique ?
u(n+1) = 3 × 2^(n+1) = 2 × (3 × 2ⁿ) = 2 × u(n).
La suite est géométrique de raison q = 2 et de premier terme u(0) = 3.
2. Terme général
Si (un) est géométrique de raison q, alors pour tous entiers n et p :
un = u0 × qn et un = up × qn-p.
Si la suite commence au rang 1 : un = u1 × qn-1.
Exemple
Une suite géométrique à termes positifs vérifie u(2) = 12 et u(5) = 96. Trouver q et u(0).
u(5) = u(2) × q³, donc q³ = 96/12 = 8, d'où q = 2.
u(0) = u(2)/q² = 12/4 = 3. Donc u(n) = 3 × 2ⁿ.
Exemple
Capital de Mamadou au bout de 10 ans.
C(n+1) = 1,05 × C(n) : la suite est géométrique de raison 1,05 et C(0) = 1 000 000.
C(10) = 1 000 000 × 1,05¹⁰ ≈ 1 000 000 × 1,628 89 ≈ 1 628 895 GNF.
3. Sens de variation
Pour une suite géométrique de premier terme u0 > 0 et de raison q :
| Raison | Comportement | Exemple |
|---|---|---|
| q > 1 | strictement croissante | un = 2n |
| q = 1 | constante | un = 5 |
| 0 < q < 1 | strictement décroissante | un = (12)n |
| q < 0 | ni croissante ni décroissante (signes alternés) | un = (-2)n |
Si u0 < 0, les sens sont inversés. En effet, un+1 - un = u0 qn (q - 1).
4. Trois termes consécutifs
Trois nombres non nuls a, b, c sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si :
b2 = a × c.
Pour des nombres positifs, b = √ac est la moyenne géométrique de a et c.
5. Somme de termes consécutifs
Pour tout réel q ≠ 1 et tout entier n :
1 + q + q2 + … + qn = 1 - qn+11 - q.
Preuve : notons S cette somme. Alors qS = q + q2 + … + qn+1. En soustrayant, presque tous les termes s'éliminent : S - qS = 1 - qn+1, donc S(1 - q) = 1 - qn+1.
Cas général. La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 vaut :
S = premier terme × 1 - qnombre de termes1 - q.
Si q = 1, tous les termes sont égaux et S = nombre de termes × premier terme.
Exemple
Calculer S = 1 + 2 + 4 + … + 2¹⁰.
C'est la somme des termes consécutifs de raison 2, de 2⁰ à 2¹⁰ : il y a 11 termes.
S = 1 × (1 − 2¹¹)/(1 − 2) = (1 − 2 048)/(−1) = 2 047.
6. Suites arithmético-géométriques
Une suite définie par un+1 = a un + b (avec a ≠ 1 et b ≠ 0) n'est ni arithmétique ni géométrique. On l'étudie avec la méthode suivante, très fréquente au BAC.
Méthode
Pour étudier u(n+1) = a·u(n) + b :
- Je cherche le réel ℓ tel que ℓ = aℓ + b (ℓ = b/(1 − a)).
- Je pose v(n) = u(n) − ℓ (l'énoncé la donne souvent).
- Je calcule v(n+1) = u(n+1) − ℓ = a·u(n) + b − ℓ et je montre que v(n+1) = a·v(n) : (v(n)) est géométrique de raison a.
- J'écris v(n) = v(0) × aⁿ, puis u(n) = v(n) + ℓ.
Exemple
Les poulets de Sékou : u(0) = 50 et u(n+1) = 0,5 u(n) + 40.
ℓ = 0,5ℓ + 40 donne 0,5ℓ = 40, soit ℓ = 80. On pose v(n) = u(n) − 80.
v(n+1) = 0,5 u(n) + 40 − 80 = 0,5 u(n) − 40 = 0,5 (u(n) − 80) = 0,5 v(n).
(v(n)) est géométrique de raison 0,5 et v(0) = 50 − 80 = −30.
Donc v(n) = −30 × 0,5ⁿ et u(n) = 80 − 30 × 0,5ⁿ.
Comme 30 × 0,5ⁿ > 0, on a toujours u(n) < 80 : le troupeau se rapproche de 80 sans l'atteindre.
3Je retiens
Je retiens
(u(n)) géométrique de raison q : u(n+1) = q × u(n). Preuve : u(n+1)/u(n) constant (termes non nuls).
Terme général : u(n) = u(0) × qⁿ ; u(n) = u(p) × q^(n−p).
Avec u(0) > 0 : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1, signes alternés si q < 0.
a, b, c consécutifs (non nuls) : b² = ac.
1 + q + … + qⁿ = (1 − q^(n+1))/(1 − q) pour q ≠ 1.
Somme = premier terme × (1 − q^(nombre de termes))/(1 − q).
u(n+1) = a·u(n) + b : on pose v(n) = u(n) − ℓ avec ℓ = aℓ + b ; (v(n)) est géométrique de raison a.
4Erreurs fréquentes
- Confondre les deux types : ajouter une constante donne une suite arithmétique, multiplier par une constante donne une suite géométrique.
- Mal compter l'exposant dans la somme : de q⁰ à qⁿ il y a n + 1 termes, donc q^(n+1) dans la formule.
- Écrire u(n) = u(0) × qⁿ⁻¹ quand la suite commence au rang 0 : l'exposant est n.
- Oublier les parenthèses : 3 × 2ⁿ n'est pas 6ⁿ.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit (un) géométrique de premier terme u0 = 5 et de raison 3. Calcule u1, u2 et u5, puis exprime un en fonction de n.
Voir le corrigéCacher le corrigé
u1 = 15 ; u2 = 45 ; u5 = 5 × 35 = 5 × 243 = 1 215. Et un = 5 × 3n.
2Exercice 2
Montre que la suite vn = 2n+13n est géométrique. Précise sa raison, son premier terme et son sens de variation.
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vn = 2 × 2n3n = 2 × (23)n. Donc vn+1 = 2 × (23)n+1 = 23 vn.
(vn) est géométrique de raison 23 et de premier terme v0 = 2. Comme v0 > 0 et 0 < 23 < 1, elle est strictement décroissante.
3Exercice 3
Une suite géométrique vérifie u3 = 40 et u6 = 320.
a) Trouve la raison q et le premier terme u0.
b) Quel est le rang du terme égal à 5 120 ?
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a) u6 = u3 × q3, donc q3 = 32040 = 8 et q = 2. Puis u0 = u3q3 = 408 = 5.
b) un = 5 × 2n = 5 120 ⇔ 2n = 1 024 = 210 ⇔ n = 10.
4Exercice 4
Calcule S = 3 + 6 + 12 + … + 3 072.
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Chaque terme est le double du précédent : raison 2, premier terme 3. Les termes sont 3 × 2k ; or 3 072 = 3 × 1 024 = 3 × 210. On va de k = 0 à k = 10 : 11 termes.
S = 3 × 1 - 2111 - 2 = 3 × 2 047 = 6 141.
5Exercice 5
Les nombres 2, x et 18 sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique. Trouve les valeurs possibles de x et la raison correspondante.
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x2 = 2 × 18 = 36, donc x = 6 (raison 3 : 2, 6, 18) ou x = -6 (raison -3 : 2, -6, 18).
6Exercice 6
(Type BAC) Soit (un) définie par u0 = 4 et un+1 = 13un + 2. On pose vn = un - 3.
a) Calcule u1 et u2.
b) Montre que (vn) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.
c) Exprime vn puis un en fonction de n.
d) Calcule Sn = v0 + v1 + … + vn, puis Tn = u0 + u1 + … + un en fonction de n.
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a) u1 = 43 + 2 = 103 ; u2 = 109 + 2 = 289.
b) vn+1 = un+1 - 3 = 13un + 2 - 3 = 13un - 1 = 13(un - 3) = 13vn.
(vn) est géométrique de raison 13 et de premier terme v0 = 4 - 3 = 1.
c) vn = (13)n et un = 3 + (13)n. Vérification : u2 = 3 + 19 = 289.
d) Sn = 1 × 1 - (13)n+11 - 13 = 32[1 - (13)n+1].
Comme uk = 3 + vk : Tn = 3(n + 1) + Sn = 3(n + 1) + 32[1 - (13)n+1].
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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