Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 41
Les primitives
Je sais trouver les primitives d'une fonction à l'aide du tableau des primitives usuelles et des formes composées, et choisir celle qui vérifie une condition donnée.
- 1 h 30
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une primitive et connaître la forme de toutes les primitives d'une fonction
- Utiliser le tableau des primitives usuelles et la linéarité
- Reconnaître les formes u'uⁿ, u'/u², u'/√u, sin(ax + b), cos(ax + b)
- Déterminer la primitive qui prend une valeur donnée en un point
Avant de commencer : La dérivée d'une fonction, en particulier la dérivée des fonctions composées (leçon « Dérivée d'une fonction »).
1Je découvre
Ousmane, élève de Terminale SE à N'Zérékoré, étudie en physique le mouvement d'un camion chargé de bois qui démarre sur la route de Macenta. Il connaît sa vitesse à chaque instant : v(t) = 2t (en m/s, pour t en secondes). Il sait que la vitesse est la dérivée de la position : v(t) = x'(t).
Mais son exercice demande l'inverse : trouver la position x(t) du camion à partir de sa vitesse. Il faut donc trouver une fonction dont la dérivée est 2t. Ousmane pense tout de suite à t2, puisque (t2)' = 2t. Mais t2 + 5 ou t2 - 100 conviennent aussi ! Laquelle est la bonne ? Il lui manque une information : la position du camion au départ.
Faire le chemin inverse de la dérivation, c'est chercher une primitive. Cette opération est au cœur du calcul intégral (leçon suivante), du calcul des aires et de la résolution des équations différentielles.
Comment trouver toutes les fonctions qui ont une dérivée donnée, et comment choisir la bonne ?
2Je comprends
1. Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que :
F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I.
Exemple : F(x) = x3 est une primitive de f(x) = 3x2 sur ℝ, car F'(x) = 3x2.
Existence (admise). Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
2. L'ensemble des primitives
Théorème. Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont exactement les fonctions x mapsto F(x) + k, où k est une constante réelle.
En effet, (F + k)' = F' = f ; et si G est une autre primitive, (G - F)' = f - f = 0 sur l'intervalle I, donc G - F est constante.
Primitive avec condition. Pour x0 ∈ I et y0 réel donnés, il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x0) = y0.
Exemple
Trouver la primitive F de f(x) = 2x + 1 sur ℝ telle que F(1) = 2.
Les primitives de f sont F(x) = x² + x + k.
F(1) = 1 + 1 + k = 2 + k. On veut F(1) = 2, donc k = 0.
La primitive cherchée est F(x) = x² + x.
3. Primitives des fonctions usuelles
On lit le tableau des dérivées « à l'envers ». Dans ce tableau, k est une constante réelle.
| f(x) | Une primitive F(x) | Intervalle |
|---|---|---|
| a (constante) | ax | ℝ |
| xn (n entier, n ≥ 0) | xn+1n + 1 | ℝ |
| 1x2 | -1x | ]-∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ |
| 1xn (n ≥ 2) | -1(n - 1)xn-1 | ]-∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ |
| 1√x | 2√x | ]0 ; +∞[ |
| cos x | sin x | ℝ |
| sin x | -cos x | ℝ |
La fonction 1x n'apparaît pas : aucune fonction de ce tableau n'a pour dérivée 1x. Ses primitives feront l'objet de la leçon « Fonction logarithme népérien ».
Linéarité. Si F et G sont des primitives de f et g, alors F + G est une primitive de f + g et aF une primitive de af.
Exemple
Primitives de f(x) = 3x² − 4x + 5 sur ℝ.
Une primitive de 3x² est x³ ; de −4x, c'est −2x² ; de 5, c'est 5x.
Les primitives de f sont F(x) = x³ − 2x² + 5x + k.
Vérification : F'(x) = 3x² − 4x + 5.
4. Primitives des formes composées
On lit à l'envers les formules de dérivation des fonctions composées. Ici u est une fonction dérivable sur I.
| Forme de f | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| u' un (n entier ≥ 0) | un+1n + 1 | |
| u'u2 | -1u | u ne s'annule pas sur I |
| u'un (n ≥ 2) | -1(n - 1)un-1 | u ne s'annule pas sur I |
| u'√u | 2√u | u > 0 sur I |
| cos(ax + b), a ≠ 0 | 1asin(ax + b) | |
| sin(ax + b), a ≠ 0 | -1acos(ax + b) |
Méthode
Pour trouver une primitive :
- Je regarde si f est une somme de fonctions usuelles : j'utilise alors la linéarité.
- Sinon, je cherche une forme composée : je repère u (souvent la parenthèse ou l'expression sous la racine) et je calcule u'.
- Si u' n'apparaît pas exactement, j'ajuste la constante : par exemple x = (1/2) × 2x.
- J'écris la primitive et je la vérifie en la dérivant.
Exemple
Primitives de f(x) = 2x(x² + 1)³ et de g(x) = x/√(x² + 4) sur ℝ.
f : avec u = x² + 1, u' = 2x : f = u'u³. Une primitive est u⁴/4 = (x² + 1)⁴/4.
g : avec u = x² + 4 > 0, u' = 2x. On écrit g(x) = (1/2) × 2x/√(x² + 4) = (1/2) × u'/√u.
Une primitive est (1/2) × 2√u = √(x² + 4).
Vérification : la dérivée de √(x² + 4) est 2x/(2√(x² + 4)) = x/√(x² + 4).
Exemple
Primitive de h(x) = 3/(2x + 1)² sur ]−1/2 ; +∞[.
u = 2x + 1, u' = 2 et u ne s'annule pas sur l'intervalle.
h(x) = (3/2) × 2/(2x + 1)² = (3/2) × u'/u².
Une primitive est (3/2) × (−1/u) = −3/[2(2x + 1)].
5. Fonctions trigonométriques
Pour les puissances de sin et cos, on linéarise avec les formules de duplication :
cos2 x = 1 + cos(2x)2 sin2 x = 1 - cos(2x)2 sin x cos x = sin(2x)2.
Exemple
Primitives de f(x) = sin(3x) et de g(x) = cos²x.
f : une primitive de sin(3x) est −(1/3)cos(3x).
g : cos²x = 1/2 + (1/2)cos(2x). Une primitive est x/2 + (1/2) × (1/2)sin(2x) = x/2 + sin(2x)/4.
6. Retour au camion d'Ousmane
La position vérifie x'(t) = 2t, donc x(t) = t2 + k. Si le camion part du point origine (x(0) = 0), alors k = 0 et x(t) = t2 : au bout de 10 s, il a parcouru 100 m.
3Je retiens
Je retiens
F primitive de f sur I : F'(x) = f(x) pour tout x de I. Toute fonction continue sur un intervalle a des primitives.
Si F est une primitive, toutes les primitives sont F + k (k réel) ; une seule vérifie F(x₀) = y₀.
xⁿ → x^(n+1)/(n + 1) ; 1/x² → −1/x ; 1/√x → 2√x ; cos x → sin x ; sin x → −cos x.
u'uⁿ → u^(n+1)/(n + 1) ; u'/u² → −1/u ; u'/√u → 2√u.
cos(ax + b) → (1/a)sin(ax + b) ; sin(ax + b) → −(1/a)cos(ax + b).
Linéariser : cos²x = (1 + cos 2x)/2 ; sin²x = (1 − cos 2x)/2.
Toujours vérifier en dérivant.
4Erreurs fréquentes
- Oublier la constante k quand on demande « les primitives » : il y en a une infinité.
- Se tromper de signe : une primitive de sin x est −cos x, pas cos x.
- Oublier de diviser par a : une primitive de cos(3x) est (1/3)sin(3x), pas sin(3x).
- Appliquer la formule u'uⁿ alors que u' n'est pas présent : (x² + 1)³ n'a pas pour primitive (x² + 1)⁴/4 (on développe d'abord).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne les primitives de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.
a) f(x) = 4x3 - 6x + 1 sur ℝ
b) g(x) = 1x2 + x sur ]0 ; +∞[
c) h(x) = 1√x sur ]0 ; +∞[
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a) F(x) = x4 - 3x2 + x + k.
b) G(x) = -1x + x22 + k.
c) H(x) = 2√x + k.
2Exercice 2
Donne une primitive de chaque fonction.
a) f(x) = (2x - 1)4 sur ℝ
b) g(x) = x(x2 - 3)2 sur ℝ
c) h(x) = 2x(x2 + 1)2 sur ℝ
d) k(x) = 1√3x + 1 sur ]-13 ; +∞[
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a) u = 2x - 1, u' = 2 : f = 12u'u4. Une primitive : 12 × u55 = (2x - 1)510.
b) u = x2 - 3, u' = 2x : g = 12u'u2. Une primitive : 12 × u33 = (x2 - 3)36.
c) u = x2 + 1 ne s'annule pas, u' = 2x : h = u'u2. Une primitive : -1x2 + 1.
d) u = 3x + 1 > 0, u' = 3 : k = 13 × u'√u. Une primitive : 13 × 2√u = 23√3x + 1.
3Exercice 3
Trouve la primitive F de f(x) = 6x2 - 2x + 3 sur ℝ telle que F(1) = 5.
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F(x) = 2x3 - x2 + 3x + k. F(1) = 2 - 1 + 3 + k = 4 + k = 5, donc k = 1 et F(x) = 2x3 - x2 + 3x + 1.
4Exercice 4
Donne une primitive de chaque fonction sur ℝ.
a) f(x) = cos(2x) + sin x
b) g(x) = sin2 x
c) h(x) = sin x cos x
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a) F(x) = 12sin(2x) - cos x.
b) sin2 x = 12 - 12cos(2x) : G(x) = x2 - sin(2x)4.
c) sin x cos x = 12sin(2x) : H(x) = -14cos(2x). (On peut aussi voir la forme u'u avec u = sin x et trouver sin2 x2 : les deux réponses diffèrent d'une constante, car sin2 x2 = 14 - 14cos(2x).)
5Exercice 5
Soit F(x) = x√x + 1 sur ]-1 ; +∞[. Montre que F est une primitive de f(x) = 3x + 22√x + 1.
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F est un produit : F'(x) = 1 × √x + 1 + x × 12√x + 1 = 2(x + 1) + x2√x + 1 = 3x + 22√x + 1 = f(x).
Donc F est une primitive de f sur ]-1 ; +∞[.
6Exercice 6
(Type BAC) Soit f définie sur ]-1 ; +∞[ par f(x) = x2 + 2x - 1(x + 1)2.
a) Détermine les réels a et b tels que f(x) = a + b(x + 1)2.
b) Déduis-en les primitives de f sur ]-1 ; +∞[.
c) Détermine la primitive F de f qui vaut 1 en 0.
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a) a + b(x + 1)2 = a(x2 + 2x + 1) + b(x + 1)2 = ax2 + 2ax + a + b(x + 1)2.
Par identification : a = 1, 2a = 2 (cohérent) et a + b = -1, donc b = -2. Ainsi f(x) = 1 - 2(x + 1)2.
b) Une primitive de 1(x + 1)2 est -1x + 1 (forme u'u2 avec u = x + 1). Les primitives de f sont :
F(x) = x + 2x + 1 + k.
c) F(0) = 0 + 2 + k = 1, donc k = -1 et F(x) = x + 2x + 1 - 1.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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