Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 38
Nombres complexes : généralités
Je sais calculer avec les nombres complexes sous forme algébrique (somme, produit, quotient, conjugué, module) et les représenter dans le plan complexe.
- 1 h 30
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître l'ensemble ℂ, le nombre i et la forme algébrique z = a + ib (partie réelle, partie imaginaire)
- Calculer sommes, produits, inverses et quotients en utilisant le conjugué
- Calculer le module d'un nombre complexe et utiliser ses propriétés
- Associer un point ou un vecteur à son affixe et calculer distances et milieux
Avant de commencer : Calcul littéral et identités remarquables ; repère orthonormé, coordonnées de vecteurs, distance entre deux points et milieu d'un segment ; équations du second degré.
1Je découvre
Kadiatou, en Terminale SM à Conakry, résout l'équation x2 + 1 = 0. Elle écrit x2 = -1 et s'arrête : aucun nombre réel n'a un carré négatif. Pourtant, son professeur lui raconte qu'au XVIᵉ siècle, des mathématiciens italiens qui cherchaient les solutions des équations du troisième degré ont été obligés de calculer avec des « racines carrées de nombres négatifs » au milieu de leurs calculs… et qu'ils obtenaient à la fin des solutions réelles justes !
L'idée a d'abord paru étrange, mais elle s'est révélée extraordinairement utile. On invente un nombre, noté i, dont le carré vaut -1, et on calcule avec lui comme avec les autres nombres. On obtient ainsi un nouvel ensemble de nombres, les nombres complexes.
Aujourd'hui, ils servent en électricité (courant alternatif), en électronique, en traitement du signal et surtout en géométrie : un nombre complexe peut représenter un point du plan, et les calculs sur les nombres deviennent des transformations géométriques (tu le verras dans les leçons suivantes).
Qu'est-ce qu'un nombre complexe, et comment calcule-t-on avec lui ?
2Je comprends
1. L'ensemble ℂ
Définition (admise). Il existe un ensemble noté mathbbC, appelé ensemble des nombres complexes, qui :
- contient l'ensemble ℝ des nombres réels ;
- contient un nombre i tel que i2 = -1 ;
- est muni d'une addition et d'une multiplication qui ont les mêmes règles de calcul que dans ℝ ;
- et dont tout élément z s'écrit de manière unique sous la forme :
z = a + ib, a et b réels.
Cette écriture est la forme algébrique de z.
- a est la partie réelle de z : a = Re(z).
- b est la partie imaginaire de z : b = Im(z) (c'est un réel : on n'écrit pas le i).
- Si b = 0, z = a est réel. Si a = 0, z = ib est imaginaire pur.
Égalité. Par unicité de la forme algébrique : a + ib = a' + ib' ⇔ a = a' et b = b'. En particulier, a + ib = 0 ⇔ a = 0 et b = 0.
2. Calculs sous forme algébrique
On calcule comme avec des expressions littérales, en remplaçant i2 par -1.
- Somme : (a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b').
- Produit : (a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b).
Puissances de i. i0 = 1, i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, puis cela recommence : les puissances de i se répètent tous les 4. Pour calculer in, on cherche le reste de la division de n par 4. Exemple : 2 026 = 4 × 506 + 2, donc i2026 = i2 = -1.
Exemple
Écrire sous forme algébrique z₁ = (2 + 3i) + (1 − 5i), z₂ = (2 + 3i)(1 − 5i) et z₃ = (1 + i)².
z₁ = 3 − 2i.
z₂ = 2 − 10i + 3i − 15i² = 2 − 7i + 15 = 17 − 7i.
z₃ = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i (imaginaire pur).
3. Le conjugué
Définition. Le conjugué de z = a + ib est le nombre z = a - ib.
Propriétés. Pour tous complexes z et z' :
- z + z = 2a = 2 Re(z) et z - z = 2ib = 2i Im(z) ;
- zz = a2 + b2, qui est un réel positif ;
- z est réel ⇔ z = z ; z est imaginaire pur ⇔ z = -z ;
- z + z' = z + z' ; zz' = z × z' ; (zz') = zz' (z' ≠ 0) ; zn = zn.
Inverse et quotient. Grâce à zz = a2 + b2, on supprime le i du dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Méthode
Pour écrire un quotient z/z' sous forme algébrique :
- J'écris le conjugué du dénominateur z' = a' + ib' : c'est a' − ib'.
- Je multiplie le numérateur et le dénominateur par ce conjugué.
- Au dénominateur, j'obtiens le réel a'² + b'² ; au numérateur, je développe en remplaçant i² par −1.
- Je sépare la partie réelle et la partie imaginaire.
Exemple
Écrire 1/(3 + 4i) et (1 + 2i)/(2 − i) sous forme algébrique.
1/(3 + 4i) = (3 − 4i)/[(3 + 4i)(3 − 4i)] = (3 − 4i)/(9 + 16) = 3/25 − (4/25)i.
(1 + 2i)/(2 − i) = (1 + 2i)(2 + i)/[(2 − i)(2 + i)] = (2 + i + 4i + 2i²)/(4 + 1) = (0 + 5i)/5 = i.
Exemple
Résoudre dans ℂ l'équation 2z − 3i = z̄ + 1.
On pose z = x + iy (x, y réels), donc z̄ = x − iy.
2x + 2iy − 3i = x − iy + 1, soit (2x − x − 1) + i(2y − 3 + y) = 0, soit (x − 1) + i(3y − 3) = 0.
Une forme algébrique est nulle si ses parties réelle et imaginaire sont nulles : x = 1 et y = 1.
S = {1 + i}. Vérification : 2(1 + i) − 3i = 2 − i et (1 − i) + 1 = 2 − i.
4. Le module
Définition. Le module de z = a + ib est le réel positif :
|z| = √a2 + b2 = √zz.
Si z est réel, |z| est sa valeur absolue habituelle. Exemple : |3 - 4i| = √9 + 16 = 5.
Propriétés. Pour tous complexes z et z' :
- |z| = 0 ⇔ z = 0 ; |z| = |-z| = |z| ;
- |zz'| = |z| × |z'| ; |zz'| = |z||z'| (z' ≠ 0) ; |zn| = |z|n ;
- inégalité triangulaire : |z + z'| ≤ |z| + |z'|.
Attention : en général, |z + z'| ≠ |z| + |z'|.
5. Le plan complexe
On munit le plan d'un repère orthonormé direct (O ; u, v).
- Au nombre complexe z = a + ib, on associe le point M(a ; b), appelé image de z. Réciproquement, z est l'affixe du point M. On note M(z).
- De même, le vecteur wbinomab a pour affixe z = a + ib.
- L'axe des abscisses est l'axe réel, l'axe des ordonnées l'axe imaginaire.
- z a pour image le symétrique de M par rapport à l'axe réel ; -z a pour image le symétrique de M par rapport à O.
- |z| = OM : le module est la distance de O à M.
Formules clés. Si A(zA) et B(zB) :
- le vecteur overrightarrowAB a pour affixe zB - zA ;
- la distance AB = |zB - zA| ;
- le milieu I de [AB] a pour affixe zI = zA + zB2 ;
- l'affixe de w + w' est la somme des affixes, celle de kw est k fois l'affixe.
Exemple
On donne A(1 + 2i) et B(4 − 2i). Calculer AB et l'affixe du milieu I de [AB].
z_B − z_A = 3 − 4i, donc AB = |3 − 4i| = √(9 + 16) = 5.
z_I = (1 + 2i + 4 − 2i)/2 = 5/2. Le milieu I est sur l'axe réel.
3Je retiens
Je retiens
i² = −1. Tout complexe s'écrit de façon unique z = a + ib (a, b réels) : a = Re(z), b = Im(z).
a + ib = a' + ib' ⇔ a = a' et b = b'. Les puissances de i se répètent tous les 4 : 1, i, −1, −i.
Conjugué : z̄ = a − ib ; z z̄ = a² + b² ; conjugué d'une somme, d'un produit, d'un quotient = somme, produit, quotient des conjugués.
Quotient : multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur.
Module : |z| = √(a² + b²) = √(z z̄) ; |zz'| = |z||z'| ; |z/z'| = |z|/|z'|.
Plan complexe : M(a ; b) a pour affixe a + ib ; affixe de AB (vecteur) = z_B − z_A ; AB = |z_B − z_A| ; milieu : (z_A + z_B)/2.
4Erreurs fréquentes
- Dire que la partie imaginaire de 3 − 5i est −5i : c'est −5, un nombre réel.
- Oublier que i² = −1 en développant : (2 + 3i)(1 − 5i) contient −15i² = +15.
- Calculer le module avec i : |3 + 4i| = √(3² + 4²) = 5, et non √(9 + 16i²).
- Écrire |z + z'| = |z| + |z'| : ce n'est vrai que dans des cas particuliers (on a seulement l'inégalité ≤).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Écris sous forme algébrique.
a) (3 - 2i)(4 + i) b) (1 + i)2 c) (2 - i)3 d) i15
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 12 + 3i - 8i - 2i2 = 12 - 5i + 2 = 14 - 5i.
b) 1 + 2i + i2 = 2i.
c) (2 - i)2 = 4 - 4i + i2 = 3 - 4i, puis (3 - 4i)(2 - i) = 6 - 3i - 8i + 4i2 = 2 - 11i.
d) 15 = 4 × 3 + 3, donc i15 = i3 = -i.
2Exercice 2
Écris sous forme algébrique.
a) 51 - 2i b) 3 + i1 + i c) 2 + i2 - i
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 5(1 + 2i)(1 - 2i)(1 + 2i) = 5(1 + 2i)1 + 4 = 1 + 2i.
b) (3 + i)(1 - i)(1 + i)(1 - i) = 3 - 3i + i - i22 = 4 - 2i2 = 2 - i.
c) (2 + i)2(2 - i)(2 + i) = 4 + 4i - 15 = 35 + 45i.
3Exercice 3
Soit z = 1 - √3 i. Calcule z, zz, |z|, puis écris 1z sous forme algébrique.
Voir le corrigéCacher le corrigé
z = 1 + √3 i ; zz = 12 + (√3)2 = 4 ; |z| = √4 = 2.
1z = zzz = 1 + √3 i4 = 14 + √34i.
4Exercice 4
Résous dans mathbbC.
a) (1 + i)z = 3 - i
b) 2z + iz = 5 + 4i
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) z = 3 - i1 + i = (3 - i)(1 - i)2 = 3 - 3i - i + i22 = 2 - 4i2 = 1 - 2i.
b) Avec z = x + iy : 2x + 2iy + i(x - iy) = (2x + y) + i(x + 2y).
On identifie : 2x + y = 5 et x + 2y = 4. De la première, y = 5 - 2x ; dans la seconde : x + 10 - 4x = 4, soit x = 2, puis y = 1.
S = {2 + i}. Vérification : 2(2 + i) + i(2 - i) = 4 + 2i + 2i + 1 = 5 + 4i.
5Exercice 5
Dans le plan complexe, on donne A(-1 + i), B(3 + 2i) et C(2 - 2i).
a) Calcule les longueurs AB, BC et AC. Quelle est la nature du triangle ABC ?
b) Calcule l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) zB - zA = 4 + i, donc AB = √16 + 1 = √17.
zC - zB = -1 - 4i, donc BC = √1 + 16 = √17.
zC - zA = 3 - 3i, donc AC = √9 + 9 = 3√2.
BA = BC : le triangle ABC est isocèle en B (il n'est pas rectangle, car 17 + 17 ≠ 18).
b) ABCD parallélogramme ⇔ overrightarrowAB = overrightarrowDC ⇔ zB - zA = zC - zD, donc zD = zA + zC - zB = (-1 + i) + (2 - 2i) - (3 + 2i) = -2 - 3i.
6Exercice 6
(Type BAC)
a) Soit z = x + iy (x, y réels). Exprime z2 en fonction de x et y. Détermine l'ensemble des points M(z) tels que z2 soit réel.
b) Détermine l'ensemble des points M(z) tels que |z - 1| = |z + i|.
c) Soit P(z) = z2 - 2z + 5. Calcule P(1 + 2i) et P(1 - 2i). Que peut-on en conclure ?
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a) z2 = x2 + 2ixy + i2y2 = (x2 - y2) + 2xy i. z2 est réel ⇔ 2xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0. L'ensemble est la réunion de l'axe réel et de l'axe imaginaire.
b) Soit A(1) et B(-i). |z - 1| = AM et |z + i| = |z - (-i)| = BM. L'ensemble des points tels que AM = BM est la médiatrice de [AB].
Par le calcul : (x - 1)2 + y2 = x2 + (y + 1)2 ⇔ -2x + 1 = 2y + 1 ⇔ y = -x.
c) (1 + 2i)2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i, donc P(1 + 2i) = -3 + 4i - 2 - 4i + 5 = 0.
(1 - 2i)2 = -3 - 4i, donc P(1 - 2i) = -3 - 4i - 2 + 4i + 5 = 0.
L'équation z2 - 2z + 5 = 0, qui n'a pas de solution réelle (discriminant 4 - 20 = -16 < 0), a deux solutions complexes conjuguées : 1 + 2i et 1 - 2i. Tu apprendras à les trouver dans la leçon « Nombres complexes et résolution d'équations ».
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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