Mathématiques · Terminale SM Prépare le BAC

Leçon 16 sur 41

Nombres complexes : notation exponentielle

Je sais écrire un nombre complexe sous la forme r e^{iθ}, calculer rapidement produits, quotients et puissances, et utiliser les formules de Moivre et d'Euler.

1 h 30
6 exercices corrigés
1 schéma
QCM de 5 questions

À la fin de la leçon, tu sauras :

Définir e^{iθ} et écrire un complexe non nul sous forme exponentielle
Calculer produits, quotients, conjugués et puissances en notation exponentielle
Utiliser la formule de Moivre pour exprimer cos nθ et sin nθ
Linéariser cos^n θ et sin^n θ avec les formules d'Euler

Avant de commencer : Forme trigonométrique d'un nombre complexe (module, argument, propriétés) ; fonction exponentielle réelle (e^{a+b} = e^a e^b) ; formules de trigonométrie et primitives de cos(ax) et sin(ax).

1Je découvre

Mariama prépare le BAC avec son camarade Ousmane dans la cour de leur lycée, à Labé. Le professeur leur a donné à calculer (1 + i√3)⁶.

Ousmane commence à développer avec le binôme : sept termes, des puissances de √3 et de i… Au bout de dix minutes, il n'est pas sûr de son résultat. Mariama utilise la forme trigonométrique : 1 + i√3 = 2(cosπ3 + isinπ3), donc la puissance sixième a pour module 2⁶ = 64 et pour argument 6 × π3 = 2π. Résultat : 64. Trente secondes.

Ousmane remarque : « Multiplier les modules et additionner les arguments, c'est exactement comme les puissances : e^a × e^b = e^a+b. » Il a vu juste. Les mathématiciens ont inventé une notation qui rend cette ressemblance visible, et qui rend les calculs encore plus rapides.

Qu'est-ce que la notation e^iθ, et comment s'en servir pour calculer et pour transformer des expressions trigonométriques ?

2Je comprends

1. La notation e^{iθ}

Pour tout réel θ, on pose f(θ) = cosθ + isinθ. D'après la leçon précédente :

f(θ) × f(θ') = f(θ + θ') et f(0) = 1.

La fonction f transforme une somme en produit, comme la fonction exponentielle. C'est ce qui justifie la notation suivante.

Définition. Pour tout réel θ, on note

e^iθ = cosθ + isinθ.

e^iθ est le nombre complexe de module 1 et d'argument θ : son image est le point du cercle trigonométrique associé à θ.

Valeurs à connaître. eⁱ⁰ = 1 ; e^iπ2 = i ; e^iπ = -1 ; e^-iπ2 = -i ; e^2iπ = 1 ; et plus généralement e^{i(θ + 2kπ)} = e^iθ pour tout entier k.

Les nombres e^{iθ} sont tous sur le cercle de centre O et de rayon 1 (dessiné ici agrandi) ; θ est l'angle entre l'axe réel et OM.

2. La forme exponentielle

Si z est non nul, de module r et d'argument θ, alors z = r(cosθ + isinθ) s'écrit :

z = re^iθ (r > 0).

C'est la forme exponentielle de z. On l'obtient exactement comme la forme trigonométrique : on calcule r, puis θ.

Exemple

Écrire z = −1 + i sous forme exponentielle.

r = √(1 + 1) = √2 ; cos θ = −1/√2 = −√2/2 et sin θ = 1/√2 = √2/2 : deuxième quadrant, θ = 3π/4.

z = √2 e^{i3π/4}.

3. Règles de calcul

Pour tous réels θ, θ' et tout entier n :

Règle	Écriture
Produit	e^iθ × e^iθ' = e^{i(θ + θ')}
Inverse	1e^iθ = e^-iθ
Quotient	e^iθe^iθ' = e^{i(θ - θ')}
Conjugué	e^iθ = e^-iθ
Puissance	(e^iθ)ⁿ = e^inθ

Donc, pour z = re^iθ et z' = r'e^iθ' : zz' = rr'e^{i(θ + θ')}, zz' = rr'e^{i(θ - θ')}, z = re^-iθ et zⁿ = rⁿe^inθ.

Exemple

Calculer (1 + i√3)⁶ puis (1 − i)¹⁰.

1 + i√3 = 2e^{iπ/3}, donc (1 + i√3)⁶ = 2⁶ e^{i6π/3} = 64 e^{2iπ} = 64.

1 − i = √2 e^{−iπ/4}, donc (1 − i)¹⁰ = (√2)¹⁰ e^{−i10π/4} = 32 e^{−i5π/2}.

Or −5π/2 = −π/2 − 2π, donc e^{−i5π/2} = e^{−iπ/2} = −i. Résultat : (1 − i)¹⁰ = −32i.

Contrôle : (1 − i)² = −2i, puis (−2i)⁵ = −32 i⁵ = −32i.

4. La formule de Moivre

La règle des puissances, écrite avec cosinus et sinus, est la formule de Moivre : pour tout réel θ et tout entier n,

(cosθ + isinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

Elle permet d'exprimer cos(nθ) et sin(nθ) en fonction de cosθ et sinθ : on développe le membre de gauche avec le binôme, puis on identifie parties réelles et parties imaginaires.

Exemple

Exprimer cos 3θ en fonction de cos θ, et sin 3θ en fonction de sin θ.

On note c = cos θ et s = sin θ. Avec (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ :

(c + is)³ = c³ + 3c²(is) + 3c(is)² + (is)³ = c³ + 3ic²s − 3cs² − is³.

Partie réelle : cos 3θ = c³ − 3cs² = c³ − 3c(1 − c²) = 4c³ − 3c.

Partie imaginaire : sin 3θ = 3c²s − s³ = 3(1 − s²)s − s³ = 3s − 4s³.

Donc cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ et sin 3θ = 3sin θ − 4sin³θ.

5. Les formules d'Euler et la linéarisation

On a e^iθ = cosθ + isinθ et e^-iθ = cosθ - isinθ. En additionnant puis en soustrayant, on obtient les formules d'Euler :

cosθ = e^iθ + e^-iθ2 sinθ = e^iθ - e^-iθ2i.

Linéariser une expression comme cos³θ ou sin²θ, c'est l'écrire comme une somme de termes cos(kθ) et sin(kθ) sans puissance. C'est indispensable pour calculer une primitive ou une intégrale.

Méthode

Pour linéariser cosⁿθ ou sinⁿθ :

Je remplace cos θ ou sin θ par la formule d'Euler.
Je développe avec le binôme (ou le triangle de Pascal), en utilisant e^{ikθ} × e^{−ikθ} = 1.
Je regroupe les termes deux par deux : e^{ikθ} + e^{−ikθ} = 2cos kθ et e^{ikθ} − e^{−ikθ} = 2i sin kθ.
Je simplifie et je vérifie avec θ = 0 (les deux membres doivent être égaux).

Exemple

Linéariser cos³θ, puis calculer une primitive de cos³θ.

cos³θ = ((e^{iθ} + e^{−iθ})/2)³ = (1/8)(e^{3iθ} + 3e^{iθ} + 3e^{−iθ} + e^{−3iθ})

= (1/8)[(e^{3iθ} + e^{−3iθ}) + 3(e^{iθ} + e^{−iθ})] = (1/8)(2cos 3θ + 6cos θ).

Donc cos³θ = (1/4)cos 3θ + (3/4)cos θ.

Vérification pour θ = 0 : 1 = 1/4 + 3/4. Juste.

Une primitive est F(θ) = (1/12)sin 3θ + (3/4)sin θ.

Exemple

Linéariser sin²θ.

sin²θ = ((e^{iθ} − e^{−iθ})/(2i))² = (e^{2iθ} − 2 + e^{−2iθ})/(4i²) = (2cos 2θ − 2)/(−4).

Donc sin²θ = (1 − cos 2θ)/2. Vérification pour θ = 0 : 0 = (1 − 1)/2. Juste.

6. La technique de l'angle moitié

Pour écrire 1 + e^iθ (ou 1 - e^iθ) sous forme exponentielle, on met e^iθ2 en facteur :

1 + e^iθ = e^iθ2(e^-iθ2 + e^iθ2) = 2cosθ2 e^iθ2.

Si θ ∈ ]-π ; π[, alors cosθ2 > 0 : c'est la forme exponentielle, de module 2cosθ2 et d'argument θ2. Cette technique revient très souvent au BAC.

3Je retiens

Je retiens

e^{iθ} = cos θ + i sin θ : module 1, argument θ. e^{iπ} = −1, e^{iπ/2} = i.

Forme exponentielle : z = r e^{iθ} avec r = |z| > 0 et θ = arg z.

e^{iθ}e^{iθ'} = e^{i(θ+θ')} ; 1/e^{iθ} = e^{−iθ} = conjugué de e^{iθ} ; (e^{iθ})ⁿ = e^{inθ}.

Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ.

Euler : cos θ = (e^{iθ} + e^{−iθ})/2 et sin θ = (e^{iθ} − e^{−iθ})/(2i).

Angle moitié : 1 + e^{iθ} = 2cos(θ/2) e^{iθ/2}.

cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ ; cos³θ = (cos 3θ + 3cos θ)/4 ; sin²θ = (1 − cos 2θ)/2.

4Erreurs fréquentes

Écrire e^{iθ} + e^{iθ'} = e^{i(θ+θ')} : cette règle vaut pour le PRODUIT, pas pour la somme.
Oublier le 2i au dénominateur dans la formule d'Euler du sinus, ou le carré de i : (2i)² = −4 et (2i)³ = −8i.
Garder un module négatif : dans 2cos(θ/2) e^{iθ/2}, le facteur 2cos(θ/2) n'est le module que s'il est positif.
Ne pas réduire l'argument : e^{i10π/3} = e^{i4π/3} car 10π/3 − 2π = 4π/3.

5Je m’exerce

1Exercice 1

Écris sous forme exponentielle.

a) 2i b) -5 c) 3 - 3i d) -1 - i√3

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) 2i : module 2, argument π2, donc 2i = 2e^iπ2.

b) -5 : module 5, argument π, donc -5 = 5e^iπ.

c) |3 - 3i| = √18 = 3√2 ; cosθ = 33√2 = √22 et sinθ = -√22, donc θ = -π4 et 3 - 3i = 3√2 e^-iπ4.

d) |-1 - i√3| = 2 ; cosθ = -12 et sinθ = -√32 (troisième quadrant), donc θ = -2π3 et -1 - i√3 = 2e^-i2π3.

2Exercice 2

Écris sous forme algébrique.

a) 2e^iπ6 b) 4e^-iπ2 c) √2 e^i3π4

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a) 2(√32 + 12i) = √3 + i.

b) 4(cos(-π2) + isin(-π2)) = 4(0 - i) = -4i.

c) √2(-√22 + i√22) = -1 + i.

3Exercice 3

On donne z₁ = 2e^iπ3 et z₂ = 3e^-iπ4. Écris sous forme exponentielle z₁z₂, z₁z₂, z₁³ et z₂.

Voir le corrigéCacher le corrigé

z₁z₂ = 6e^{i(π3 - π4)} = 6e^iπ12.

z₁z₂ = 23e^{i(π3 + π4)} = 23e^i7π12.

z₁³ = 8e^iπ = -8.

z₂ = 3e^iπ4.

4Exercice 4

Calcule (√3 + i)⁶ en utilisant la forme exponentielle.

Voir le corrigéCacher le corrigé

|√3 + i| = 2, cosθ = √32, sinθ = 12, donc √3 + i = 2e^iπ6.

(√3 + i)⁶ = 2⁶e^iπ = 64 × (-1) = -64.

5Exercice 5

a) Linéarise sin³θ. b) Déduis-en I = ∫₀^πsin³θ dθ.

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) sin³θ = (e^iθ - e^-iθ2i)³ = e^3iθ - 3e^iθ + 3e^-iθ - e^-3iθ(2i)³.

Le numérateur vaut (e^3iθ - e^-3iθ) - 3(e^iθ - e^-iθ) = 2isin 3θ - 6isinθ, et (2i)³ = 8i³ = -8i.

Donc sin³θ = 2isin 3θ - 6isinθ-8i = 3sinθ - sin 3θ4 = 34sinθ - 14sin 3θ.

Vérification pour θ = π2 : 1 = 34 - 14sin3π2 = 34 + 14. Juste.

b) Une primitive est F(θ) = -34cosθ + 112cos 3θ.

F(π) = 34 - 112 = 812 = 23 et F(0) = -34 + 112 = -23.

I = F(π) - F(0) = 43.

6Exercice 6

(Type BAC) Soit θ ∈ ]-π ; π[ et z = 1 + e^iθ.

a) Montre que z = 2cosθ2 e^iθ2.

b) Donne le module et un argument de z.

c) Vérifie ce résultat pour θ = 2π3 en calculant z sous forme algébrique.

d) Pour θ = 2π3, écris z²⁰²⁶ sous forme algébrique.

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a) z = e^iθ2(e^-iθ2 + e^iθ2) car e^iθ2 × e^iθ2 = e^iθ. D'après Euler, la parenthèse vaut 2cosθ2. Donc z = 2cosθ2 e^iθ2.

b) Comme θ ∈ ]-π ; π[, θ2 ∈ ]-π2 ; π2[, donc cosθ2 > 0. Ainsi |z| = 2cosθ2 et arg z = θ2 [2π].

c) e^i2π3 = -12 + i√32, donc z = 12 + i√32. La formule donne 2cosπ3 e^iπ3 = 1 × e^iπ3 = 12 + i√32. C'est bien le même nombre.

d) z = e^iπ3, donc z²⁰²⁶ = e^i2026π3. Or 2026 = 3 × 675 + 1, donc 2026π3 = 675π + π3 = 674π + 4π3, et 674π est un multiple de 2π.

z²⁰²⁶ = e^i4π3 = -12 - i√32.

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