Karamö, le prof virtuelLeçon 18 sur 41
Nombres complexes et géométrie
Je sais traduire en nombres complexes des distances, des angles, l'alignement, l'orthogonalité et la nature d'un triangle, et déterminer des ensembles de points.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer des distances, des milieux et des angles orientés à l'aide des affixes
- Démontrer un alignement ou une orthogonalité avec le quotient (z_C − z_A)/(z_B − z_A)
- Déterminer la nature d'un triangle ou d'un quadrilatère
- Déterminer des ensembles de points (cercles, médiatrices, droites)
Avant de commencer : Nombres complexes : forme algébrique, module, argument, forme exponentielle ; angles orientés de vecteurs ; équation d'un cercle et d'une droite dans un repère orthonormé.
1Je découvre
Hawa aide son oncle, géomètre, à vérifier le plan d'une parcelle à Kindia. Sur le plan, muni d'un repère, les trois bornes d'un terrain triangulaire ont pour coordonnées A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(0 ; 4). Le propriétaire affirme que l'angle en A est droit et que les deux côtés qui partent de A ont la même longueur.
Avec les outils de Seconde, Hawa devrait calculer trois longueurs, puis utiliser la réciproque de Pythagore. Son oncle lui propose autre chose : « Associe à chaque borne un nombre complexe, et calcule un seul quotient. »
Elle pose zA = 1 + i, zB = 4 + 2i et zC = 4i, puis calcule
zC - zAzB - zA = -1 + 3i3 + i.
Elle trouve… i. Son oncle sourit : « Tout est dit : même longueur, angle droit. »
Comment un simple quotient de nombres complexes peut-il révéler les longueurs et les angles d'une figure ?
2Je comprends
1. Rappels : vecteurs, distances, milieux
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O ; u, v). Pour des points A, B d'affixes zA, zB :
- le vecteur overrightarrowAB a pour affixe zB - zA ;
- la distance AB = |zB - zA| ;
- le milieu I de [AB] a pour affixe zI = zA + zB2 ;
- ABCD est un parallélogramme si et seulement si overrightarrowAB = overrightarrowDC, c'est-à-dire zB - zA = zC - zD.
2. Angles orientés et arguments
L'argument de l'affixe d'un vecteur mesure l'angle entre u et ce vecteur : (u, overrightarrowAB) = arg(zB - zA) [2π] (pour A ≠ B).
Comme l'argument d'un quotient est la différence des arguments, on obtient la propriété fondamentale de la leçon.
Propriété. Pour quatre points avec A ≠ B et C ≠ D :
(overrightarrowAB, overrightarrowCD) = arg(zD - zCzB - zA) [2π].
En particulier, pour A, B, C distincts :
ACAB = |zC - zAzB - zA| (overrightarrowAB, overrightarrowAC) = arg(zC - zAzB - zA) [2π].
Le quotient Z = zC - zAzB - zA contient donc à la fois un rapport de longueurs (son module) et un angle (son argument).
3. Alignement, orthogonalité, nature d'un triangle
On note toujours Z = zC - zAzB - zA avec A, B, C distincts.
| Si… | alors… | car… |
|---|---|---|
| Z est réel | A, B, C sont alignés | l'angle vaut 0 ou π |
| Z est imaginaire pur | (AB) ⊥ (AC) : triangle rectangle en A | l'angle vaut ± π2 |
| lvert Zrvert = 1 | AB = AC : triangle isocèle en A | le rapport des longueurs vaut 1 |
| Z = i ou Z = -i | triangle rectangle isocèle en A | module 1 et angle ± π2 |
| Z = eiπ3 ou Z = e-iπ3 | triangle équilatéral | AB = AC et angle ± π3 |
Plus généralement, deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si zD - zCzB - zA est réel, et perpendiculaires s'il est imaginaire pur.
Méthode
Pour étudier la nature d'un triangle ABC :
- Je calcule z_B − z_A et z_C − z_A (affixes des vecteurs AB et AC).
- Je calcule Z = (z_C − z_A)/(z_B − z_A) sous forme algébrique (conjugué du dénominateur).
- Je lis : Z réel → alignés ; Z imaginaire pur → rectangle en A ; |Z| = 1 → isocèle en A.
- Si besoin, j'écris Z sous forme exponentielle pour lire l'angle exact.
- Je conclus par une phrase complète : « Le triangle ABC est … en A. »
Exemple
Retour à la parcelle de Hawa : A(1 + i), B(4 + 2i), C(4i).
z_B − z_A = 3 + i et z_C − z_A = −1 + 3i.
Z = (−1 + 3i)/(3 + i) = (−1 + 3i)(3 − i)/((3 + i)(3 − i)) = (−3 + i + 9i − 3i²)/10 = (−3 + 3 + 10i)/10 = i.
|Z| = 1 donc AC = AB, et arg Z = π/2 donc (AB ; AC) = π/2.
Le triangle ABC est rectangle isocèle en A (le propriétaire avait raison).
Exemple
Montrer que O(0), B(2) et C(1 + i√3) forment un triangle équilatéral.
Z = (z_C − z_O)/(z_B − z_O) = (1 + i√3)/2 = 1/2 + i√3/2 = e^{iπ/3}.
|Z| = 1 donc OC = OB, et (OB ; OC) = π/3. Un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut π/3 (60°) est équilatéral.
Exemple
Les points A(1 + 2i), B(3 + 3i) et C(7 + 5i) sont-ils alignés ?
z_B − z_A = 2 + i et z_C − z_A = 6 + 3i = 3(2 + i).
Z = 3 : c'est un réel, donc A, B et C sont alignés (et C est même tel que AC = 3AB).
4. Ensembles de points
Soit M un point d'affixe z. Les égalités de modules se traduisent en distances :
| Condition sur z | Traduction | Ensemble des points M |
|---|---|---|
| lvert z - zArvert = r (r > 0) | AM = r | cercle de centre A et de rayon r |
| lvert z - zArvert = lvert z - zBrvert | AM = BM | médiatrice de [AB] |
| arg(z - zA) = θ [2π] | (u, overrightarrowAM) = θ | demi-droite d'origine A privée de A |
Pour une condition du type « Z réel » ou « Z imaginaire pur », on pose z = x + iy, on calcule la partie réelle et la partie imaginaire de Z, et on reconnaît une droite ou un cercle.
Attention au signe. |z + 2 - i| = |z - (-2 + i)| : le centre a pour affixe -2 + i et non 2 - i.
Exemple
On pose A(i), B(−1) et, pour z ≠ −1, Z = (z − i)/(z + 1). Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que Z soit imaginaire pur.
On pose z = x + iy : Z = (x + i(y − 1))/((x + 1) + iy).
On multiplie en haut et en bas par (x + 1) − iy. Le dénominateur devient (x + 1)² + y².
Le numérateur vaut x(x + 1) + y(y − 1) + i[(y − 1)(x + 1) − xy] = (x² + x + y² − y) + i(y − x − 1).
Z est imaginaire pur ⇔ x² + x + y² − y = 0 ⇔ (x + 1/2)² + (y − 1/2)² = 1/2.
C'est le cercle de centre Ω(−1/2 + i/2) et de rayon √2/2, c'est-à-dire le cercle de diamètre [AB], privé de B (z ≠ −1).
Interprétation : Z imaginaire pur signifie (MB) ⊥ (MA), et l'on retrouve le cercle de diamètre [AB].
3Je retiens
Je retiens
Affixe de AB (vecteur) : z_B − z_A ; AB = |z_B − z_A| ; milieu : (z_A + z_B)/2.
ABCD parallélogramme ⇔ z_B − z_A = z_C − z_D.
(AB ; CD) = arg[(z_D − z_C)/(z_B − z_A)] ; AC/AB = |(z_C − z_A)/(z_B − z_A)|.
Z = (z_C − z_A)/(z_B − z_A) : réel ⇔ A, B, C alignés ; imaginaire pur ⇔ rectangle en A ; |Z| = 1 ⇔ isocèle en A.
Z = ±i : rectangle isocèle en A ; Z = e^{±iπ/3} : équilatéral.
|z − z_A| = r : cercle de centre A et de rayon r ; |z − z_A| = |z − z_B| : médiatrice de [AB].
4Erreurs fréquentes
- Inverser l'ordre des points : (z_C − z_A)/(z_B − z_A) mesure l'angle (AB ; AC), pas (AC ; AB) (le signe de l'angle change).
- Se tromper de centre : |z + 3 − 2i| = 4 donne le cercle de centre −3 + 2i, pas 3 − 2i.
- Oublier d'exclure un point : si z est au dénominateur, le point correspondant n'appartient pas à l'ensemble.
- Conclure « équilatéral » avec seulement |Z| = 1 : cela prouve seulement que le triangle est isocèle.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On donne A(2 - i), B(5 + 3i) et C(1 + 5i).
a) Calcule AB et l'affixe du milieu I de [AB].
b) Détermine l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) zB - zA = 3 + 4i, donc AB = √9 + 16 = 5. zI = (2 - i) + (5 + 3i)2 = 7 + 2i2 = 72 + i.
b) ABCD parallélogramme ⇔ zB - zA = zC - zD ⇔ zD = zA + zC - zB = 2 - i + 1 + 5i - 5 - 3i = -2 + i.
2Exercice 2
On donne A(1), B(3 + 2i) et C(-1 + 2i). Calcule Z = zC - zAzB - zA et déduis-en la nature du triangle ABC.
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zC - zA = -2 + 2i et zB - zA = 2 + 2i.
Z = (-2 + 2i)(2 - 2i)(2 + 2i)(2 - 2i) = -4 + 4i + 4i - 4i28 = 8i8 = i.
|Z| = 1 donc AB = AC, et arg Z = π2 donc (AB) ⊥ (AC). Le triangle ABC est rectangle isocèle en A.
3Exercice 3
Les points A(-1 - i), B(1 + 3i) et C(2 + 5i) sont-ils alignés ? Justifie.
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zB - zA = 2 + 4i et zC - zA = 3 + 6i = 32(2 + 4i).
Donc zC - zAzB - zA = 32, qui est réel : A, B et C sont alignés.
4Exercice 4
Détermine l'ensemble des points M d'affixe z tels que :
a) |z - 3i| = 2 b) |z - 1| = |z + i| c) |z + 2 - i| = 1
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a) |z - 3i| = 2 ⇔ AM = 2 avec A(3i) : cercle de centre A(3i) et de rayon 2.
b) |z - 1| = |z - (-i)| ⇔ PM = QM avec P(1) et Q(-i) : médiatrice de [PQ]. En coordonnées : (x - 1)2 + y2 = x2 + (y + 1)2 ⇔ -2x = 2y ⇔ y = -x.
c) Un nombre et son conjugué ont le même module : |z + 2 - i| = |z + 2 + i| = |z + 2 + i| = |z - (-2 - i)|. C'est le cercle de centre Ω(-2 - i) et de rayon 1.
5Exercice 5
(Type BAC) On donne A(2) et B(2i). Pour z ≠ 2i, on pose Z = z - 2z - 2i et z = x + iy.
a) Calcule la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et y.
b) Détermine l'ensemble E1 des points M(z) tels que Z soit réel.
c) Détermine l'ensemble E2 des points M(z) tels que Z soit imaginaire pur.
d) Interprète géométriquement ces deux résultats.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Z = (x - 2) + iyx + i(y - 2) = [(x - 2) + iy][x - i(y - 2)]x2 + (y - 2)2.
Numérateur : partie réelle x(x - 2) + y(y - 2) = x2 + y2 - 2x - 2y ; partie imaginaire xy - (x - 2)(y - 2) = 2x + 2y - 4.
Donc Re(Z) = x2 + y2 - 2x - 2yx2 + (y - 2)2 et Im(Z) = 2x + 2y - 4x2 + (y - 2)2.
b) Z réel ⇔ 2x + 2y - 4 = 0 ⇔ y = -x + 2, avec z ≠ 2i. E1 est la droite (AB) privée du point B (on vérifie : A(2 ; 0) et B(0 ; 2) sont sur cette droite).
c) Z imaginaire pur ⇔ x2 + y2 - 2x - 2y = 0 ⇔ (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2, avec z ≠ 2i. E2 est le cercle de centre Ω(1 + i) et de rayon √2, privé de B.
d) Z réel signifie que overrightarrowBM et overrightarrowAM sont colinéaires : M est sur la droite (AB). Z imaginaire pur (et M ≠ A) signifie (AM) ⊥ (BM) : M est sur le cercle de diamètre [AB]. On vérifie : le milieu de [AB] est 1 + i et AB2 = |2i - 2|2 = 2√22 = √2.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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