Karamö, le prof virtuelLeçon 20 sur 38
Les ensembles N et Z
Je sais utiliser la divisibilité, la division euclidienne et les congruences dans ℤ, et raisonner par récurrence sur les entiers naturels.
- 1 h 30
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les propriétés de ℕ et de ℤ et raisonner par récurrence
- Utiliser la définition et les propriétés de la divisibilité dans ℤ
- Effectuer une division euclidienne dans ℤ et interpréter le reste
- Calculer avec les congruences pour trouver le reste d'une grande puissance
Avant de commencer : Calcul sur les entiers relatifs, puissances ; multiples et diviseurs vus au collège ; raisonnement par récurrence (leçon sur les suites).
1Je découvre
Sékou, élève de Terminale à Mamou, participe à un jeu organisé par l'association du quartier. On range 2 026 bouteilles d'eau dans des casiers de 7. Question du jeu : combien de bouteilles resteront hors des casiers ?
Sékou calcule vite : 7 × 289 = 2 023, donc il restera 2 026 - 2 023 = 3 bouteilles. Deuxième question, beaucoup plus difficile : « Quel est le reste de la division de 22026 par 7 ? » Ce nombre a plus de 600 chiffres : aucune calculatrice ne l'affiche en entier.
Son amie Fanta remarque : 23 = 8 = 7 + 1. « Quand on divise 23 par 7, il reste 1. Et si on multiplie des nombres qui laissent un reste de 1… peut-être qu'il reste encore 1 ? » Elle a trouvé une idée très puissante : on peut calculer directement sur les restes.
Comment décrire précisément la divisibilité et les restes dans les entiers, et comment calculer le reste d'un très grand nombre ?
2Je comprends
1. Les ensembles ℕ et ℤ
- ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …} est l'ensemble des entiers naturels.
- ℤ = {… ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; …} est l'ensemble des entiers relatifs. On a ℕ ⊂ ℤ.
La somme, la différence et le produit de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs (le quotient, en général, non).
Propriété fondamentale de ℕ. Toute partie non vide de ℕ possède un plus petit élément. C'est cette propriété qui justifie le raisonnement par récurrence : pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0,
- initialisation : on vérifie P(n0) ;
- hérédité : on suppose P(n) vraie pour un entier n ≥ n0 quelconque, et on démontre P(n + 1) ;
- conclusion : P(n) est vraie pour tout n ≥ n0.
- 1Initialisation : je vérifie que P(n₀) est vraie.
- 2Hérédité : je suppose P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀ (hypothèse de récurrence).
- 3Je démontre P(n + 1) en utilisant l'hypothèse de récurrence.
- 4Conclusion : P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀.
2. La divisibilité dans ℤ
Définition. Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b (ou que b est un multiple de a, ou que a est un diviseur de b) s'il existe un entier relatif k tel que b = ka. On note a mid b.
Exemples : 3 mid 12 car 12 = 4 × 3 ; -5 mid 35 car 35 = (-7) × (-5) ; tout entier divise 0 ; 1 et -1 divisent tout entier.
Si a mid b, alors -a mid b : les diviseurs vont par paires opposées. On cherche souvent les diviseurs positifs, puis on ajoute leurs opposés.
Propriétés. Pour tous entiers a, b, c :
- si a mid b et b mid c, alors a mid c (transitivité) ;
- si a mid b et a mid c, alors a mid bu + cv pour tous entiers u et v (combinaison linéaire) ;
- si a mid b et b ≠ 0, alors |a| ≤ |b|.
La propriété de combinaison linéaire est l'outil principal pour les exercices du type « trouver n tel que… ».
Exemple
Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise 2n + 11.
n + 3 divise n + 3, donc divise 2(n + 3) = 2n + 6.
Si n + 3 divise 2n + 11, il divise la différence (2n + 11) − (2n + 6) = 5.
Donc n + 3 ∈ {−5 ; −1 ; 1 ; 5}, soit n ∈ {−8 ; −4 ; −2 ; 2}.
Réciproquement, on vérifie : pour n = 2, 5 divise 15 ; pour n = −2, 1 divise 7 ; pour n = −4, −1 divise 3 ; pour n = −8, −5 divise −5.
S = {−8 ; −4 ; −2 ; 2}.
3. La division euclidienne
Théorème. Soient a ∈ ℤ et b ∈ ℕ^*. Il existe un unique couple d'entiers (q ; r) tel que
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
On a b mid a si et seulement si le reste r est nul.
Attention aux nombres négatifs. Le reste est toujours positif ou nul. Pour diviser -25 par 7, on n'écrit pas -25 = 7 × (-3) - 4 (reste négatif, interdit) mais -25 = 7 × (-4) + 3 : le quotient est -4 et le reste 3.
Conséquence : raisonner par restes. Tout entier n s'écrit 2k ou 2k + 1 (pair ou impair) ; 3k, 3k + 1 ou 3k + 2 ; etc. On peut alors raisonner « par disjonction des cas ».
Exemple
Montrer que pour tout entier n, n(n + 1) est pair.
Si n est pair, n = 2k et n(n + 1) = 2k(2k + 1) est un multiple de 2.
Si n est impair, n = 2k + 1 et n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) : le produit est encore un multiple de 2.
Dans tous les cas, n(n + 1) est pair (produit de deux entiers consécutifs).
4. Les congruences
Définition. Soit n un entier naturel, n ≥ 2. Deux entiers a et b sont congrus modulo n si a - b est divisible par n. On note a ≡ b [n].
De façon équivalente, a ≡ b [n] si et seulement si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. En particulier, si r est le reste de la division de a par n, alors a ≡ r [n] avec 0 ≤ r < n.
Exemples : 17 ≡ 2 [5] ; -1 ≡ 6 [7] ; 10 ≡ 1 [9].
Propriétés (compatibilité avec les opérations). Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors :
- a + c ≡ b + d [n] et a - c ≡ b - d [n] ;
- ac ≡ bd [n] ;
- ak ≡ bk [n] pour tout entier naturel k.
Attention : on n'a pas le droit de « diviser » une congruence en général.
Méthode
Pour trouver le reste de la division de a^N par n :
- Je calcule les premières puissances de a modulo n jusqu'à trouver une puissance a^p ≡ 1 [n] (ou un reste qui se répète).
- J'écris la division euclidienne de N par p : N = pq + s avec 0 ≤ s < p.
- J'écris a^N = (a^p)^q × a^s ≡ 1^q × a^s ≡ a^s [n].
- Je donne le reste, qui doit être un entier entre 0 et n − 1.
Exemple
Quel est le reste de la division de 2²⁰²⁶ par 7 ?
2¹ ≡ 2 [7], 2² ≡ 4 [7], 2³ = 8 ≡ 1 [7].
2026 = 3 × 675 + 1, donc 2²⁰²⁶ = (2³)⁶⁷⁵ × 2 ≡ 1⁶⁷⁵ × 2 ≡ 2 [7].
Le reste est 2 (Fanta avait raison : on calcule sur les restes).
Exemple
Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ, 9ⁿ − 1 est divisible par 8.
Initialisation : 9⁰ − 1 = 0, divisible par 8.
Hérédité : on suppose 9ⁿ − 1 = 8k (k entier). Alors 9ⁿ⁺¹ − 1 = 9 × 9ⁿ − 1 = 9(8k + 1) − 1 = 72k + 8 = 8(9k + 1).
Donc 9ⁿ⁺¹ − 1 est divisible par 8.
Conclusion : pour tout n, 8 divise 9ⁿ − 1.
(Avec les congruences, c'est immédiat : 9 ≡ 1 [8], donc 9ⁿ ≡ 1ⁿ = 1 [8].)
3Je retiens
Je retiens
Toute partie non vide de ℕ a un plus petit élément ; c'est la base du raisonnement par récurrence.
a divise b (a | b) ⇔ il existe k ∈ ℤ tel que b = ka.
Si a | b et a | c, alors a | bu + cv pour tous u, v entiers.
Division euclidienne (a ∈ ℤ, b ∈ ℕ*) : a = bq + r avec 0 ≤ r < b, couple (q ; r) unique.
a ≡ b [n] ⇔ n divise a − b ⇔ même reste dans la division par n.
Les congruences se conservent par addition, soustraction, multiplication et puissance.
4Erreurs fréquentes
- Donner un reste négatif : −25 = 7 × (−3) − 4 n'est pas la division euclidienne ; il faut −25 = 7 × (−4) + 3.
- Oublier les diviseurs négatifs dans ℤ : les diviseurs de 5 dans ℤ sont −5, −1, 1 et 5.
- Oublier la réciproque : dans « trouver n tel que n + 3 divise 2n + 11 », on obtient des valeurs possibles qu'il faut vérifier.
- Diviser une congruence : 6 ≡ 2 [4] n'entraîne pas 3 ≡ 1 [4] (c'est faux : 3 − 1 = 2).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne la liste des diviseurs positifs de 60, puis le nombre de diviseurs de 60 dans ℤ.
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On cherche les produits égaux à 60 : 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10.
Diviseurs positifs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (il y en a 12). Dans ℤ, on ajoute leurs opposés : 24 diviseurs.
2Exercice 2
Effectue la division euclidienne :
a) de 587 par 13 ; b) de -587 par 13.
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a) 13 × 45 = 585 et 587 - 585 = 2 : 587 = 13 × 45 + 2 avec 0 ≤ 2 < 13. Quotient 45, reste 2.
b) -587 = 13 × (-45) - 2 : le reste serait négatif. On retire un de plus au quotient : 13 × (-46) = -598 et -587 - (-598) = 11. Donc -587 = 13 × (-46) + 11 avec 0 ≤ 11 < 13. Quotient -46, reste 11.
3Exercice 3
Détermine les entiers relatifs n tels que n - 2 divise n + 5.
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n - 2 divise n - 2 ; s'il divise n + 5, il divise la différence (n + 5) - (n - 2) = 7.
Donc n - 2 ∈ {-7 ; -1 ; 1 ; 7}, soit n ∈ {-5 ; 1 ; 3 ; 9}.
Vérification : n = -5 : -7 divise 0 ; n = 1 : -1 divise 6 ; n = 3 : 1 divise 8 ; n = 9 : 7 divise 14. S = {-5 ; 1 ; 3 ; 9}.
4Exercice 4
Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n, 4n + 2 est divisible par 3.
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Soit P(n) : « 4n + 2 est divisible par 3 ».
Initialisation : 40 + 2 = 3, divisible par 3.
Hérédité : on suppose 4n + 2 = 3k avec k entier. Alors 4n+1 + 2 = 4 × 4n + 2 = 4(3k - 2) + 2 = 12k - 6 = 3(4k - 2), divisible par 3.
Conclusion : pour tout n ∈ ℕ, 4n + 2 est divisible par 3.
5Exercice 5
a) Calcule le reste de la division de 3100 par 5.
b) Démontre que pour tout entier naturel n, 34n + 1 + 2 est divisible par 5.
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a) 31 ≡ 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 12 ≡ 2, 34 ≡ 6 ≡ 1 [5]. Comme 100 = 4 × 25, 3100 = (34)25 ≡ 1 [5]. Le reste est 1.
b) 34n + 1 = (34)n × 3 ≡ 1n × 3 = 3 [5], donc 34n+1 + 2 ≡ 5 ≡ 0 [5] : c'est un multiple de 5.
6Exercice 6
(Type BAC)
a) Détermine les restes de la division de 2n par 5 pour n = 0, 1, 2, 3, 4. Que remarques-tu ?
b) Déduis-en le reste de la division de 22026 par 5.
c) Détermine les entiers naturels n tels que 2n + 3 soit divisible par 5.
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a) 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 ≡ 3, 24 = 16 ≡ 1 [5]. Les restes sont 1, 2, 4, 3, puis ils se répètent tous les 4, car 24 ≡ 1 [5].
b) 2026 = 4 × 506 + 2, donc 22026 = (24)506 × 22 ≡ 1 × 4 = 4 [5]. Le reste est 4.
c) On écrit n = 4k + s avec s ∈ {0, 1, 2, 3} ; alors 2n ≡ 2s [5].
2n + 3 ≡ 0 [5] ⇔ 2n ≡ -3 ≡ 2 [5] ⇔ s = 1.
Donc 2n + 3 est divisible par 5 si et seulement si n = 4k + 1 avec k ∈ ℕ (par exemple n = 1 : 2 + 3 = 5 ; n = 5 : 32 + 3 = 35).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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