Barycentre d'un système de points pondérés

Dans les encadrés, on note vect(AB) le vecteur AB.

1. Points pondérés et fonction vectorielle de Leibniz

Un point pondéré est un couple (A, α) formé d'un point A et d'un nombre réel α appelé coefficient (ou poids). Un système de points pondérés est une liste {(A₁, α₁), (A₂, α₂), …, (A_n, α_n)}.

À ce système, on associe, pour tout point M, le vecteur :

f(M) = α₁ MA₁ + α₂ MA₂ + … + α_n MA_n.

Avec la relation de Chasles, pour deux points M et O : MA_i = MO + OA_i, donc

f(M) = (α₁ + … + α_n) MO + f(O).

Tout dépend donc de la somme des coefficients Σ α_i.

• Si Σ α_i ≠ 0, il existe un unique point G tel que f(G) = 0.
• Si Σ α_i = 0, le vecteur f(M) ne dépend pas de M : c'est un vecteur constant.

2. Définition du barycentre

Définition. Soit {(A₁, α₁), …, (A_n, α_n)} un système de points pondérés tel que α₁ + … + α_n ≠ 0. On appelle barycentre de ce système l'unique point G tel que :

α₁ GA₁ + α₂ GA₂ + … + α_n GA_n = 0.

Propriété fondamentale (réduction). Si G est ce barycentre, alors pour tout point M :

α₁ MA₁ + … + α_n MA_n = (α₁ + … + α_n) MG.

En prenant M = O origine d'un repère, on obtient les coordonnées du barycentre :

x_G = α₁ x₁ + … + α_n x_nα₁ + … + α_n, y_G = α₁ y₁ + … + α_n y_nα₁ + … + α_n

(et de même pour z_G dans l'espace).

3. Le barycentre de deux points

Si α + β ≠ 0, le barycentre G de (A, α) et (B, β) vérifie αGA + βGB = 0. En prenant M = A dans la propriété de réduction :

AG = βα + β AB.

Conséquences :

• G est sur la droite (AB) ;
• si α et β ont le même signe, G est sur le segment [AB], plus près du point de plus grand coefficient ;
• si α et β sont de signes contraires, G est hors du segment, du côté du point de plus grande valeur absolue ;
• si α = β, G est le milieu de [AB].

Retour au bâton de Mamadou : le point d'appui est le barycentre de (A, 20) et (B, 30), donc AG = 3050AB et AG = 0,6 × 1,5 = 0,9 m. L'épaule doit être à 0,9 m du sac de riz, donc à 0,6 m du sac de fonio.

4. Trois propriétés essentielles

Homogénéité. On ne change pas le barycentre en multipliant tous les coefficients par un même réel non nul k. Le barycentre de (A, 20), (B, 30) est aussi celui de (A, 2), (B, 3).

Isobarycentre. Quand tous les coefficients sont égaux, on parle d'isobarycentre. L'isobarycentre de deux points est le milieu ; celui de trois points non alignés A, B, C est le centre de gravité du triangle.

Associativité (barycentres partiels). Dans un système, on peut remplacer plusieurs points par leur barycentre partiel, affecté de la somme de leurs coefficients (si cette somme n'est pas nulle), sans changer le barycentre final.

Par exemple, si G est le barycentre de (A,1), (B,1), (C,2) et I le milieu de [AB] (barycentre de (A,1), (B,1)), alors G est le barycentre de (I, 2), (C, 2) : c'est le milieu de [IC].

5. Réduire une somme de vecteurs

La propriété de réduction transforme une somme compliquée en un seul vecteur.

• Si Σ α_i ≠ 0 : Σ α_i MA_i = (Σ α_i)MG.
• Si Σ α_i = 0 : la somme est un vecteur constant, qu'on calcule en prenant pour M un des points A_i.

6. Application : des ensembles de points

Une question classique : trouver l'ensemble des points M vérifiant une égalité de normes.