Karamö, le prof virtuelLeçon 29 sur 41
Les lignes de niveau
Je sais déterminer et représenter la ligne de niveau k d'une fonction du plan comme MA·MB, MA² + MB², MA² − MB², MA/MB ou Σ αᵢ MAᵢ².
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Comprendre ce qu'est une ligne de niveau d'une fonction numérique définie sur le plan
- Déterminer les lignes de niveau des fonctions classiques (produit scalaire, sommes de carrés, rapport de distances)
- Utiliser le barycentre pour réduire Σ αᵢ MAᵢ²
- Discuter selon la valeur de k (cercle, point, droite ou ensemble vide)
Avant de commencer : Barycentre d'un système de points pondérés ; produit scalaire (définition, propriétés, projection orthogonale) ; équation d'un cercle et d'une droite dans un repère orthonormé.
1Je découvre
Dans une zone rurale de Haute-Guinée, deux forages A et B sont distants de 6 km. Le service de l'hydraulique veut installer des bornes-fontaines et se pose plusieurs questions :
- Où placer une borne pour qu'elle soit à la même distance des deux forages ?
- Où la placer pour qu'elle soit deux fois plus loin de A que de B ?
- Où la placer pour que la somme des carrés des distances aux deux forages vaille 50 km² ?
Hawa, élève en Terminale SE, remarque que chaque question associe à un point M du plan un nombre (MA, MAMB, MA2 + MB2…), et qu'on cherche tous les points où ce nombre prend une valeur fixée. Pour la première question, elle reconnaît la médiatrice de [AB]. Mais pour les autres ?
Comment trouver l'ensemble des points M du plan où une fonction de M prend une valeur donnée k ?
2Je comprends
1. Définition
Soit f une fonction qui, à tout point M du plan, associe un nombre réel f(M). Pour un réel k donné, la ligne de niveau k de f est l'ensemble des points M du plan tels que :
f(M) = k.
Exemple simple : si f(M) = OM avec O fixé, la ligne de niveau 3 est le cercle de centre O et de rayon 3 ; la ligne de niveau 0 est le point O ; la ligne de niveau -1 est vide.
Pour trouver une ligne de niveau, on transforme l'égalité f(M) = k jusqu'à reconnaître une figure connue : MG = r (cercle), u · AM = c (droite) ou une équation cartésienne.
Dans toute la suite, A et B sont deux points distincts et I est le milieu de [AB].
2. Deux outils de base
Outil 1 : le milieu. Avec la relation de Chasles, MA = MI + IA et MB = MI + IB = MI - IA. On en déduit :
MA·MB = MI2 - IA2 = MI2 - AB24
MA2 + MB2 = 2MI2 + AB22
MA2 - MB2 = (MA - MB)·(MA + MB) = BA· 2MI = 2 IM·AB.
Outil 2 : la droite orthogonale. Si u est un vecteur non nul et A un point, l'ensemble des points M tels que u·AM = c est une droite perpendiculaire à la direction de u.
3. Les lignes de niveau classiques
| Fonction f(M) | Égalité réduite | Ligne de niveau k |
|---|---|---|
| MA·MB | MI2 = k + AB24 | cercle de centre I si k + AB24 > 0 ; le point I si = 0 ; vide si < 0 |
| MA2 + MB2 | MI2 = 12(k - AB22) | cercle de centre I, point I ou vide selon le signe |
| MA2 - MB2 | IM·AB = k2 | droite perpendiculaire à (AB) |
| u·AM | — | droite perpendiculaire à u |
| MAMB (k > 0) | MA2 - k2MB2 = 0 | médiatrice de [AB] si k = 1 ; cercle sinon |
4. La ligne de niveau de MA/MB
Pour k > 0, MAMB = k ⇔ MA2 = k2 MB2 ⇔ (MA - kMB)·(MA + kMB) = 0.
- Si k = 1 : MA = MB, c'est la médiatrice de [AB].
- Si k ≠ 1 : soit G1 le barycentre de (A, 1), (B, -k) et G2 celui de (A, 1), (B, k). On a MA - kMB = (1 - k)MG1 et MA + kMB = (1 + k)MG2. L'égalité devient MG1·MG2 = 0 : c'est le cercle de diamètre [G1G2].
5. Cas général : Σ αᵢ MAᵢ²
Soit f(M) = α1 MA12 + … + αn MAn2.
Si Σ αi ≠ 0, soit G le barycentre des (Ai, αi). En écrivant MAi = MG + GAi et en développant :
f(M) = (Σ αi) MG2 + 2 MG·(Σ αiGAi) + Σ αi GAi2.
Le terme du milieu est nul par définition de G, donc :
f(M) = (Σ αi) MG2 + f(G).
La ligne de niveau k est un cercle de centre G, le point G ou l'ensemble vide.
Si Σ αi = 0, le vecteur u = Σ αiMAi est constant et on montre que f(M) = f(O) + 2 MO·u pour un point O fixé. Si u ≠ 0, la ligne de niveau est une droite perpendiculaire à u. En pratique, on travaille souvent avec les coordonnées.
Méthode
Pour déterminer une ligne de niveau :
- J'identifie la forme de f(M) : produit scalaire, somme ou différence de carrés, rapport de distances, somme pondérée.
- Je réduis avec le milieu I ou avec un barycentre G (si la somme des coefficients n'est pas nulle).
- J'arrive à MG² = c (cercle, point ou vide selon le signe de c) ou à une égalité de produit scalaire (droite).
- Je conclus en donnant le centre et le rayon, ou un point et une direction de la droite.
- Si un repère est donné, je peux aussi calculer directement l'équation cartésienne et vérifier.
Exemple
AB = 6. Déterminer l'ensemble E₁ des points M tels que vect(MA)·vect(MB) = 7.
vect(MA)·vect(MB) = MI² − AB²/4 = MI² − 9.
MI² − 9 = 7 ⟺ MI² = 16 ⟺ MI = 4.
E₁ est le cercle de centre I (milieu de [AB]) et de rayon 4.
Exemple
AB = 6. Déterminer l'ensemble E₂ des points M tels que MA² + MB² = 50.
MA² + MB² = 2MI² + AB²/2 = 2MI² + 18.
2MI² + 18 = 50 ⟺ MI² = 16 ⟺ MI = 4 : E₂ est encore le cercle de centre I et de rayon 4.
Exemple
Dans un repère orthonormé, A(−3 ; 0) et B(3 ; 0). Déterminer l'ensemble E₃ des points M tels que MA² − MB² = 12.
Avec M(x ; y) : MA² − MB² = (x + 3)² + y² − (x − 3)² − y² = 12x.
12x = 12 ⟺ x = 1. E₃ est la droite d'équation x = 1, perpendiculaire à (AB).
Avec la formule : 2 vect(IM)·vect(AB) = 12, donc vect(IM)·vect(AB) = 6 ; comme AB = 6, le projeté H de M sur (AB) vérifie IH = 1 (du côté de B). C'est cohérent.
Exemple
Même repère. Déterminer l'ensemble E₄ des points M tels que MA = 2MB.
MA² = 4MB² ⟺ (x + 3)² + y² = 4[(x − 3)² + y²]
⟺ x² + 6x + 9 + y² = 4x² − 24x + 36 + 4y²
⟺ 3x² − 30x + 3y² + 27 = 0 ⟺ x² − 10x + y² + 9 = 0
⟺ (x − 5)² + y² = 16.
E₄ est le cercle de centre K(5 ; 0) et de rayon 4.
Contrôle avec les barycentres : G₂ = bar{(A, 1), (B, 2)} a pour abscisse (−3 + 6)/3 = 1 ; G₁ = bar{(A, 1), (B, −2)} a pour abscisse (−3 − 6)/(−1) = 9. Le cercle de diamètre [G₁G₂] a bien pour centre 5 et rayon 4.
Exemple
Même repère. Déterminer l'ensemble E₅ des points M tels que 2MA² + MB² = 36.
G = bar{(A, 2), (B, 1)} : x_G = (−6 + 3)/3 = −1, donc G(−1 ; 0), GA = 2 et GB = 4.
2MA² + MB² = 3MG² + 2GA² + GB² = 3MG² + 8 + 16 = 3MG² + 24.
3MG² + 24 = 36 ⟺ MG² = 4 : E₅ est le cercle de centre G et de rayon 2.
3Je retiens
Je retiens
Ligne de niveau k de f : ensemble des points M tels que f(M) = k.
Avec I milieu de [AB] : vect(MA)·vect(MB) = MI² − AB²/4 ; MA² + MB² = 2MI² + AB²/2 ; MA² − MB² = 2 vect(IM)·vect(AB).
vect(u)·vect(AM) = c et MA² − MB² = k donnent des droites ; MA·MB (scalaire) et MA² + MB² = k donnent un cercle de centre I, le point I ou le vide.
MA/MB = k : médiatrice de [AB] si k = 1 ; sinon cercle de diamètre [G₁G₂], G₁ = bar{(A,1),(B,−k)}, G₂ = bar{(A,1),(B,k)}.
Si Σαᵢ ≠ 0 : Σ αᵢ MAᵢ² = (Σαᵢ) MG² + Σ αᵢ GAᵢ² (G barycentre) ; ligne de niveau : cercle de centre G, point ou vide.
Si Σαᵢ = 0 : la ligne de niveau est en général une droite.
4Erreurs fréquentes
- Oublier la discussion : MI² = c n'a de solution que si c ≥ 0. Si c < 0, l'ensemble est vide ; si c = 0, c'est le seul point I.
- Confondre MA·MB (produit scalaire de vecteurs) avec le produit des longueurs MA × MB : les formules du cours concernent le produit scalaire.
- Pour MA/MB = k, oublier le cas k = 1 (médiatrice) ou prendre le centre du cercle en I : le centre est le milieu de [G₁G₂], pas le milieu de [AB].
- Réduire Σ αᵢ MAᵢ² avec un barycentre alors que la somme des coefficients est nulle.
5Je m’exerce
1Exercice 1
A et B sont deux points tels que AB = 4 et I est le milieu de [AB]. Détermine l'ensemble des points M tels que :
a) MA·MB = -3 ; b) MA·MB = -5 ; c) MA·MB = 0.
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MA·MB = MI2 - AB24 = MI2 - 4.
a) MI2 - 4 = -3 ⇔ MI2 = 1 : cercle de centre I et de rayon 1.
b) MI2 = -1 : impossible, l'ensemble est vide.
c) MI2 = 4 : cercle de centre I et de rayon 2, c'est-à-dire le cercle de diamètre [AB] (on retrouve que l'angle AMB est droit).
2Exercice 2
AB = 6. Détermine l'ensemble des points M tels que MA2 + MB2 = 26.
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MA2 + MB2 = 2MI2 + 362 = 2MI2 + 18. Donc 2MI2 + 18 = 26 ⇔ MI2 = 4 ⇔ MI = 2. C'est le cercle de centre I (milieu de [AB]) et de rayon 2.
3Exercice 3
Dans un repère orthonormé, A(-2 ; 0) et B(2 ; 0). Détermine l'ensemble des points M tels que MA2 - MB2 = -8.
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MA2 - MB2 = (x + 2)2 + y2 - (x - 2)2 - y2 = 8x. Donc 8x = -8 ⇔ x = -1. C'est la droite d'équation x = -1, perpendiculaire à (AB), située du côté de A.
4Exercice 4
Dans un repère orthonormé, A(0 ; 0) et B(4 ; 0). Détermine l'ensemble des points M tels que MA = 3MB ; vérifie avec les barycentres.
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MA2 = 9MB2 ⇔ x2 + y2 = 9[(x - 4)2 + y2]
⇔ x2 + y2 = 9x2 - 72x + 144 + 9y2 ⇔ 8x2 - 72x + 8y2 + 144 = 0
⇔ x2 - 9x + y2 + 18 = 0 ⇔ (x - 92)2 + y2 = 814 - 18 = 94.
C'est le cercle de centre (92 ; 0) et de rayon 32.
Contrôle : G2 = bar{(A,1),(B,3)} a pour abscisse 124 = 3 ; G1 = bar{(A,1),(B,-3)} a pour abscisse -12-2 = 6. Le milieu de [G1G2] est 92 et le rayon 6 - 32 = 32.
5Exercice 5
(Type BAC) Dans un repère orthonormé, A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 4). On pose f(M) = MA2 + MB2 + MC2 et g(M) = 2MA2 - MB2 - MC2.
a) Détermine le centre de gravité G du triangle ABC et calcule GA2 + GB2 + GC2.
b) Montre que f(M) = 3MG2 + 643, puis détermine la ligne de niveau 32 de f. Vérifie que A lui appartient.
c) Avec M(x ; y), exprime g(M) en fonction de x et y. Détermine la ligne de niveau 0 de g et reconnais-la.
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a) G(0 + 4 + 03 ; 0 + 0 + 43) = (43 ; 43).
GA2 = 169 + 169 = 329 ; GB2 = (83)2 + (43)2 = 809 ; GC2 = 809 de même.
Somme : 1929 = 643.
b) D'après le cours (somme des coefficients 3 ≠ 0) : f(M) = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 = 3MG2 + 643.
f(M) = 32 ⇔ 3MG2 = 32 - 643 = 323 ⇔ MG2 = 329 ⇔ MG = 4√23.
La ligne de niveau 32 est le cercle de centre G et de rayon 4√23. Comme GA2 = 329, A est sur ce cercle (et f(A) = 0 + 16 + 16 = 32).
c) g(M) = 2(x2 + y2) - [(x - 4)2 + y2] - [x2 + (y - 4)2]
= 2x2 + 2y2 - x2 + 8x - 16 - y2 - x2 - y2 + 8y - 16 = 8x + 8y - 32.
g(M) = 0 ⇔ x + y = 4. C'est une droite ; elle passe par B(4 ; 0) et C(0 ; 4) : c'est la droite (BC). (La somme des coefficients 2 - 1 - 1 est nulle : on obtient bien une droite.)
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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